- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
Доведення
Візьмемо . Очевидно, що існує коло таке, що точка лежить в середині цього кола (не на колі). З того, що функція аналітична в області і з того як розміщується точка відносно кола (і де лежить )за інтегральною формулою Коші будемо мати,
(1)
Розглянемо функцію . Для неї , , а раз так, то остання функція є сумою геометричної прогресії із знаменником і тому будемо мати,
, (2)
причому цей ряд на колі є рівномірно збіжний. Розглянемо функцію на колі . Для неї справедлива нерівність,
,
де , , а отже, ця функція є обмеженою на колі . Значить ряд (2) можна на неї домножити і він залишиться на рівномірно збіжним. Звідси і з рівності (1), підставивши в інтеграл (1) замість підінтегральної функції ряд, який одержується з (2) домноженням на і можливістю почленного інтегрування ряду будемо мати,
,
де
(3)
і отже, потрібний нам розклад в крузі одержаний. Формула (3) дає можливість обчислювати коефіцієнти цього степеневого ряду. Теорема доведена.
Таким чином теорема 2, взагалі кажучи, не тільки стверджує можливість розкладу в степеневий ряд у відповідному крузі, але й формулою (3) дає можливість знаходити коефіцієнти розкладу. (Тут коло − довільне коло з центром в точці , яке лежить в крузі ). Помноживши обидві частини формули (3) на ми, скориставшись інтегральною формулою Коші отримаємо:
. (4)
Це ще одна формула для обчислення коефіцієнтів розкладу. Але на практиці легко користуватися формулами (3), коли похідна довільного порядку легко шукається.
Розклади синуса, косинуса і експоненти ми мали з самого означення. Використовуючи формулу (4), можна одержати розклади довільної вітки по степенях , а звідси розклад якої-небудь вітки по степенях . Аналогічно можна зробити і з функцією (з якою-небудь її віткою) по степенях , а звідси одержимо розклад по степенях і звідси одержимо також біноміальний ряд.
Зауважимо, що і в комплексному аналізі при розкладі функції в степеневий ряд теж переважно користуються не формулами (3) і (4), а відомими класичними розкладами і якимось штучними прийомами.
Повернемося знову до доведеної вище теореми. По-перше, якщо областю аналітичності є вся комплексна площина, то . На практиці, якщо область аналітичності не вся комплексна площина, то практично означає відстань від точки до найближчої особливої точки цієї функції. По-друге зауважимо, що одержані результати дозволяють прояснити ситуацію, чому деякі функції на дійсній прямій розкладаються в ряд на якомусь інтервалі скінченої довжини, хоча вони на всій прямій мають гарні властивості. Так, наприклад, функція і цей розклад має місце тільки на інтервалі , хоча сама функція є «гарною» на всій числовій прямій. Пояснює це явище вихід в комплексну область, на якій функція має на колі дві особливі точки та . Повернемося тепер до формули (3). Будемо мати,
.
Ми отримали, що для
. (5)
Нерівності (5) називають нерівностями Коші для коефіцієнтів степеневого ряду. З цих нерівностей в якості наслідку випливає
Теорема 3. (Ліувіль)
Кожна аналітична і обмежена на всій комплексній площині функція є константою.