§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел

Візьмемо два комплексні числа , і обчислимо . Зрозуміло, що це буде відстань між точками і . Тут ми можемо задати метрику (норму). А це означає (оскільки справа відстань між двома точками в ), що величина − це метрика і отже, - метричний простір. Оскільки на множині є операція додавання і множення на скаляри, які задовольняють аксіомам лінійного простору, то буде також і нормованим простором, а значить на цій множині ми можемо розглядати все те, що розглядали в метричних і нормованих просторах. А отже, ми можемо говорити про збіжність в цьому просторі.

Нехай деяка послідовність комплексних чисел.

Означення. Комплексне число називається границею послідовності , якщо

׀

і записують .

Неважко здогадатися, що множина точок для яких виконується умова є відкритий круг з центром в точці і радіусом (див. рис.4), який ми будемо називати-околом точки і позначати . тоді в цьому означенні останню нерівність можна замінити включенням . Оскільки з кожним комплексним числом зв’язано два дійсних числа, то задати послідовність комплексних чисел рівнозначно тому, що задати дві послідовності дійсних чисел (1-ша послідовність дійсних частин, 2-га − коефіцієнтів при уявних частинах).

Простий аналіз означення, приведеного вище, наводить на думку, що мало би бути справедливе наступне твердження:

Для того, щоб послідовність комплексних чисел була збіжною до числа необхідно і достатньо щоб обидві послідовності дійсних чисел, вказані вище, збігалися відповідно до чисел і .

Пропонуємо читачеві самостійно довести цей простий факт.

З’ясуємо чи матиме місце аналог попереднього твердження для модулів і аргументів. Легко одержується наступне твердження:

Якщо послідовності модулів і аргументів деякої послідовності комплексних чисел збігаються відповідно до деяких чисел і , то дана послідовність комплексних чисел збігається до комплексного числа .

Подивимося чи буде мати місце обернене твердження (коли брати головні значення аргументів, що належать ). Розглянемо послідовність , де

.

З рис. 5 видно, що , , . Звідси видно, що послідовність границі не має.

Цей приклад показує, що із збіжності послідовності комплексних чисел до деякого комплексного числа не випливає збіжність послідовності головних значень її аргументів. А якщо брати не головні значення аргументів? Спробуйте і з цією проблемою справитися самостійно.

При цьому зрозуміло, що із збіжності послідовності комплексних чисел до деякого комплексного числа випливає збіжність модулів члені цієї послідовності до модуля границі.

§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція

Подібно до того як це ми робили в дійсному аналізі домовимось під нескінченно віддаленою точкою комплексної площини розуміти точку, до якої збігаються все можливі послідовності з такою властивістю,

.

(Послідовність розбігається в усі кінці. Див. рис. 6).

Для того, щоб тонше збагнути, що собою являє нескінченно віддалена точка і переконатися, що вона не „гірша” за інші точки площини, скористаємося так званою стереографічною проекцією, яка здійснюється на сфері Рімана. Сферою Рімана назвемо сферу радіуса 1, розміщену так, що площина проходить через її центр (рис. 7).

Точку з цього рисунка, яка лежить на сфері Рімана, назвемо стереографічною проекцією точки на -площині. Така відповідність між точками -площини і всіма точками сфери Рімана без точки буде взаємо однозначною.

Простий аналіз показує, що якщо взяти послідовність , яка привела нас до поняття нескінченно віддаленої точки і знайти стереографічні проекції її членів, то легко бачити, що послідовність цих проекцій „прямує” до точки . А це дозволяє нам вважати, що точки є стереографічною проекцією нескінченно віддаленої точки. Якщо до скінченних точок комплексної площини приєднати нескінченно віддалену точку, то цю множину ми називатимемо розширеною комплексною площиною. Таким чином стереографічна проекція встановлює взаємо однозначну відповідність між множиною всіх точок сфери Рімана і розширеною комплексною площиною.

З’ясуємо який зв’язок існує між координатами точки в - площині і координатами точки на сфері Рімана (див. рис.8). Будемо користуватися географічною термінологією для зображення точки : широта і довгота.

Широта -- це кут, який утворює радіус-вектор точки з екваторіальною площиною (- площиною), , якщо точка знаходиться над екватором і , якщо точка знаходиться під екватором. Для вимірювання довготи будемо користуватися нульовим меридіаном, який пройде через вісь і . Отже, довгота − це кут, який утворює радіус-вектор з площиною нульового меридіана , якщо точка має ординату і , якщо точка має від’ємну ординату. Встановимо зв’язок між координатами точки (,) і координатами точки -площини. З маємо,

, (1)

Формули (1) вирішують питання про зв’язок між координатами (сказаними вище). З 1-ї рівності будемо мати

.

Пов’яжемо далі координати точки на -площині з декартовими (а не географічними) координатами точки . Нехай − декартові координати точки (де осі абцис і ординат співпадають з відповідними осями на - площині, а вісь аплікат „іде ” по діаметру ).

З рис. 6 видно, що матимуть місце рівності

(з і )

(з )

(з ).

Далі будемо мати

;

.

Звідси і з попередніх рівностей будемо мати

.

Останні 3 формули дають можливість виражати декартові координати стереографічної проекції точки через її координати в -площині.

Розв’яжемо далі обернену задачу: виразимо координати точки, яка знаходиться в -площині через декартові координати її стереографічної проекції. Будемо мати, скориставшись формулами (1),

Отже,

.

Остання формула вирішує поставлену вище задачу. Отримані вище формули дають можливість одержати кругову властивість стереографічної проекції, а саме: прямі і кола на площині відображаються з допомогою неї в кола на сфері Рімана (причому прямі на площині перейдуть в кола на сфері Рімана, які проходять через північний полюс). Переконайтесь в цьому самостійно.