с.м.чернов_квантовая механика

Электронный аналог печатного издания:

Чернов С.М. Квантовая механика : курс лекций

Могилев : МГУ имени А.А. Кулешова, 2013. – 196 с. : ил.

ISBN 978-985-480-886-4

Курс лекций содержит теоретический материал и задачи с решениями по дисциплине «Квантовая механика». Представлен краткий обзор экспериментов, которые составляют основу квантовой физики. На этой базе построен математический аппарат квантовой механики, который применяется для решения задач, описывающих динамику движения микрочастиц в одномерных и центрально-симметричных силовых полях. Рассмотрены задачи, допускающие точные и приближенные решения в рамках ВКБ-метода и стационарной теории возмущения. Обсуждается основа теории многих частиц, которая применяется для описания свойств атома гелия и других многоэлектронных систем. Квантовая теория упругого рассеяния ограничена лишь первым борновским приближением. Построены релятивистские квантовые уравнения для бесспиновых частиц и электронов и обсуждаются некоторые их следствия. Теоретические положения иллюстрируются многочисленными задачами с решениями.

Курс лекций рекомендуется студентам физико-математических факультетов университетов.

УДК 530.145 (075.8) ББК 22.314я73

Чернов С.М. Квантовая механика. – Электр. данные. – Курс лекций.

– Могилев : МГУ имени А.А. Кулешова, 2013. – Загол. с экрана.

212022, г. Могилев,

ул. Космонавтов, 1

Тел.: 8-0222-28-31-51 E-mail: alexpzn@mail.ru http://www.msu.mogilev.by

©Чернов С.М., 2013

©МГУ имени А.А. Кулешова, 2013

©МГУ имени А.А. Кулешова, электронный аналог, 2013

ВВЕДЕНИЕ

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.

Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»

Квантовую механику с полным правом можно назвать величайшим достижением Человечества в ХХ в. Более трех десятков авторов этой науки были удостоены Нобелевской премии по физике. В настоящее время квантовая механика не только предоставляет нам возможность любоваться яркими красками микромира, но и обеспечивает принципиально новые комфортные условия современной жизни в веке нанотехнологий.

Настоящий курс лекций не претендует на полноту и оригинальность, а отражает лишь многолетний опыт преподавания курса «Квантовой механики» в Могилевском государственном университете имени А.А. Кулешова для студентов физико-математического факультета. Курс рассчитан на 100 часов аудиторных занятий и содержит 7 глав и дополнение в виде некоторых задач с краткими решениями.

Впервой главе в виде обзора представлены основные экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой механики. Краткость изложения этих важных вопросов оправдается тем, что эта дисциплина изучается после курса общей физики «Квантовая физика», где рассматриваются основные эксперименты более детально.

Вторая глава посвящена построению математического аппарата квантовой механики – теории линейных эрмитовых операторов, включая ее матричную форму. Центральным звеном здесь является выбор исходных «постулатов» квантовой механики. Разные авторы учебных пособий, включая классиков науки, предлагают различные наборы основных положений квантовой механики, которые могут служить базой для построения теории. В данном издании приводимые основные постулаты следует рассматривать лишь как одну из возможных версий, имеющее экспериментальное обоснование. Построение этого аппарата завершается получением фундаментальных уравнений нерелятивистской квантовой механики – временного и стационарного уравнений Шредингера.

Втретьей главе рассматриваются задачи, допускающие точные аналитические решения для одномерного случая, а также для частиц, движущихся в центрально-симметричных полях. Кроме академического интереса, эти задачи играют значительную роль и в решении реалистических проблем атомной

имолекулярной физики, физики твердого тела и атомного ядра. В этой же главе построена полуэмпирическая теория спина электрона.

3

Глава четвертая знакомит студентов с некоторыми приближенными методами решения квантовых задач, которые расширяют круг решаемых проблем, для которых нельзя построить точные аналитические решения. В частности, это касается систем, построенных из многих (более двух) взаимодействующих частиц. Важное место в приближенном анализе занимают оценки области применимости метода расчета и ожидаемая точность вычислений.

Впятой главе рассмотрены особые свойства квантовых систем, состоящие из тождественных микрочастиц, проявление которых продемонстрировано на примере атома гелия. Приведены принципы построения периодической системы элементов Менделеева и полуэмпирические правила, отражающие структуру сложных атомов.

Одним из мощных методов экспериментального исследования свойств материи на атомном и субатомном уровне является метод рассеяния элементарных частиц на других частицах и ядрах. Поэтому в шестой главе приведен простейший вариант квантовой теории упругого рассеяния в первом борновском приближении, который позволил построить, например, резерфордовское сечение рассеяния.

Наконец, в седьмой главе проводится объединение двух великих теорий

ХХв.: квантовой механики и специальной теории относительности. Это объединение позволило построить релятивистскую квантовую теорию бесспиновых микрочастиц Клейна-Гордона-Фока и релятивистскую теорию электронов Дирака. В этих теориях удается корректно ввести спин электрона и предсказать существование античастиц и физического вакуума. По своему эвристическому значению теорию Дирака можно сравнить с теорией электромагнетизма Максвелла.

Вданном курсе лекций вопросы теории иллюстрируются многочисленными задачами с решениями, обсуждение которых можно провести как на лекциях, так и на семинарских занятиях.

По-видимому, объем информации, приведенный в курсе лекций, является минимальным для современного студента вуза физико-математических специальностей.

4

ГЛАВА I

Экспериментальные основы квантовой механики

К концу XIX в. сложилось общепринятое мнение о том, что любые физические процессы, начиная от космических масштабов до микромира, могут быть описаны, как с качественной, так и с количественной точки зрения в рамках классической физики.

Однако, лорд Кельвин в своих знаменитых лекциях в Балтиморском университете (1900) отметил, что “на безупречно ясном небосводе физики имеется 2 темных облачка: отрицательный результат опыта МайкельсонаМорли и невозможность объяснения спектра излучения абсолютно черных тел”. Из этих “облачков” и выросла вся современная физика.

§ 1. Излучение абсолютно черных тел

Опыт показывает, что все тела излучают тепловую энергию в виде электромагнитных волн. Это происходит из-за преобразования хаотического теплового движения атомов и молекул нагретого тела в энергию излучения. Существуют и другие механизмы свечения (фосфоресценция, электролюминесценция, хемилюминесценция и т.д.). Здесь речь идет о тепловом или тем-

пературном излучении.

Для количественного описания теплового излучения необходимо научиться его накапливать и сохранять (рис. 1).

T = const

Рис. 1. Модель термостата с полостью.

Рассмотрим равновесное состояние, когда поле излучения находится в термодинамическом равновесии со стенками полости при температуре T. Основным количественным параметром, характеризующим излучение, заключённое в полости термостата, является так называемая спектральная плот-

ность излучения ρω . Это энергия излучения, находящаяся в единичном объёме

полости, приходящаяся на единичный интервал частот.

Любые колебательные процессы (включая стоячие электромагнитные волны) в классической физике описывают в модели линейного осциллятора

5

б) Закон Стефана-Больцмана: полная излучательная способность, т.е. энергия S, излучаемая нагретым телом с единицы площади за единицу времени для волн всех частот и по всем направлениям в пространстве, равна

В 1900 г. М. Планк на заседании Берлинского физического общества предложил интерполяционную формулу, правильно описывающую все указанные эмпирические законы:

Из этой формулы, в частности, следуют все известные результаты:

Вскоре Планк построил теорию, объясняющую эмпирическую зависимости ρω . Центральным местом этой теории было предположение о том, что

радиационные осцилляторы могут обладать только дискретными (кванто-

ванными) значениями энергии E = En = n hω (n = 0,1, 2,...). Таким образом, по Планку, для одномерного гармонического осциллятора:

Формирование такого поля излучения может осуществляться лишь в том случае, если атомы, из которых построены стенки полости термостата,

излучают и поглощают энергию лишь порциями величиной hω .

Это предположение в корне противоречит всем классическим представлениям. Во-первых, в классической физике любая колебательная система могла иметь любые (непрерывные) значения энергии. Во-вторых, в микромире не справедлива теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы, так что на одну колебательную степень свободы должна приходиться энергия не kT , а

7

e kT −1

Работа М. Планка была удостоена Нобелевской премии (1918).

§ 2. Планетарная модель атома. Спектральные серии излучения атома водорода

В истории физики было предложено две модели атомов: модель Томсона (1903) и Резерфорда (1911). Здесь рассмотрим лишь вторую модель.

Рассеивая α-частицы на тонких пленках золота, Резерфорд экспериментально доказал, что атом имеет сложную структуру, состоящую из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома, с размерами Rя 10−14 м, вокруг которого движутся электроны в облас-

ти Ra 10−10 м (Нобелевская премия, 1908 г.).

Однако эта модель поставила целый ряд проблем перед классической электродинамикой. Во-первых, согласно теореме Ирншоу, невозможно построить устойчивое распределение точечных неподвижных зарядов. Следовательно, атом представляет собой динамическую систему. Однако, согласно электродинамике, ускоренно движущиеся заряды должны излучать энергию, и электроны должны “упасть” на ядро. Таким образом, классическая элек-

тродинамика не в состоянии объяснить сам факт существования устойчивых атомных состояний планетарной модели.

Вторая “атомная” проблема, возникшая в начале XX в., касается спек-

тров излучения возбужденных атомов. Если электрон обращается вокруг яд-

ра с частотойω0 , то возможный спектр излучения должен иметь вид ω = kω0

( k =1, 2, 3…). Опыт показывает, что, например, простейший атом водорода способен излучать целый набор частот, удовлетворяющих условию

где R = 2,07 1016 c−1 – постоянная Ридберга.

В частности,

а) Ультрафиолетовая область => серия Лаймана ( k = 1; n = 2, 3…)

б) Видимая и ближняя ультрафиолетовая область => серия Бальмера

( k = 2; n = 3, 4, 5…)

в) Инфракрасная область =>

серия Пашена (k=3; n = 4, 5, 6…)

серия Бреккета (k = 4; n = 5, 6, 7…)

серия Пфунда (k = 5; n = 6, 7, 8…) и т.д.

8

§ 3. Постулаты Бора. Опыты Франка – Герца

Для решения указанных проблем Бор (1913) выдвинул 2 постулата:

Постулат 1. Атомы могут находиться длительное время в так называемых стационарных состояниях, не излучая и поглощая энергию. Энергия этих состояний образует дискретный ряд значений E1, E2 ,... .

Постулат 2. При переходе атома из одного состояния с энергией Ek в другое – En , излучается(Ek >En ) или поглощается(Ek < En ) квант энергии, равный

Наличие дискретных уровней энергии атомов было экспериментально доказано в опытах Франка и Герца (1914). Опыт состоял в пропускании электронов различных энергий через вакуумную трубку, содержащую пары ртути. В случае неупругого столкновения электронов с атомами ртути, последние переходили в возбужденные дискретные состояния, а электроны, потерявшие часть энергии, приводили к уменьшению величины тока в анодной цепи. Измеряемая вольтамперная характеристика и доказывала наличие дискретных состояний у атомов ртути. (Нобелевская премия, 1925 г.)

Указанные постулаты Бора, однако, не позволяют проводить количественные расчеты без дополнительных условий. Обобщая теорию Планка для линейного гармонического осциллятора, Бор показал, что в атомах возмож-

ны лишь такие круговые орбиты электронов, момент импульса которых кратен постоянной Планка:

Наконец, энергия водородоподобного атома для неподвижного ядра можно записать в виде:

Уравнения (3.2) - (3.4) составляют основу боровской теории атома водорода, которые позволяют рассчитать радиусы электронных орбит и дискретные уровни энергии:

первый боровский радиус;

энергия связи основного состояния атома водорода.

Из условия частот Бора (3.1), с учетом (3.5), получаем формулу Ритца (2.1), где постоянная Ридберга равна:

Следует заметить, что R в теории Бора совпадает с экспериментальным значением с точностью до 10 значащих цифр. Эйнштейн охарактеризовал теорию Бора как “наивысшую музыкальность в области мысли”. (Нобелевская премия – 1922 г.).

Следует, однако, отметить, что боровскую теорию атома нельзя считать последовательной, непротиворечивой теорией. Укажем основные недостатки теории Бора:

1.Непонятно существование стационарных состояний с точки зрения классической электродинамики;

2.Не ясен механизм квантового перехода с одной орбиты на другую;

3.Нет объяснения различной интенсивности спектральных линий;

4.Не удалось описать спектры многоэлектронных атомов, включая атом гелия;

5.Нет объяснения мультиплетной структуры атомных спектров.

§ 4. Фотоэффект

Следует отметить, что Планк и Бор, признавая свойство дискретности актов излучения и поглощения света атомами, считали, однако, что излучаемая порция света распространяется в пространстве как классическая электромагнитная волна. Эйнштейн предположил, что само излучение также носит дискретный характер, представляющее скорее как поток частиц – корпускул, впоследствии названные фотонами, и применил эту идею к объяснению фотоэффекта (Нобелевская премия – 1921 г.).

Явление выбивания электронов из вещества (металлов) под действием света называется внешним фотоэффектом. Впервые это явление наблюдал

Герц (1888), а эмпирические законы фотоэффекта были сформулированы

Столетовым (1890):

1.Число выбиваемых электронов с поверхности металла за единицу времени прямо пропорционально интенсивности излучения.

2.Кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности падающего излучения, а зависит лишь от частоты света и материала вещества.

10