с.м.чернов_квантовая механика

Определение 6. Если в результате действия оператора Ffl на некоторую функцию ψ в результате получается та же функция ψ, умноженная на посто-

янную λ ( Ffl ψ = λψ ), то ψ – называется собственной функцией оператора Ffl (с.ф.), принадлежащей собственному значению λ (с.з.).

Определение 7. Совокупность всех с.з. оператора Ffl называется его

спектром. Спектры бывают дискретные, непрерывные (сплошные) и смешанные.

Определение 8. Если каждому с.з. λ соответствует единственная с.ф., то спектр называется невырожденным. Если одному с.з. λ соответствует к различных с.ф. ψ1, ψ2, … ψк, то спектр называется вырожденным с кратностью вырождения к.

Определение 9. Скалярным произведением двух функций ψ и φ называ-

ется число, равное интегралу вида:

где интегрирование проводится по всей области значений независимых переменных функций ψ и φ. Обозначение скалярного произведения в виде ψ ϕ

введено в квантовую механику П. Дираком. В частности, условие нормировки волновой функции в этих обозначениях запишется в виде:

Среднее значение физической величины равно:

Отметим некоторые свойства скалярного произведения, которые непосредственно вытекают из определения (9):

Определение 10. По аналогии с векторной алгеброй, будем называть функции ψ и φ ортогональными, если выполняется условие:

§11. Операторы в квантовой механике

Вквантовой механике существует следующая группа операторов, которые для произвольных функций ψ и φ определим в виде таблицы:

22

оператора с одной функции на другую под интегралом можно осуществить,

используя процедуру интегрирования по частям:

б) Вычисления в последнем примере также можно записать в виде:

в) В соответствие с определением № 4, получаем:

Из приведенного примера можно сделать некоторые полезные выводы:

1) Операции комплексного и эрмитового сопряжения не совпадают

Q≠ Q .

2)Сравнивая соотношения (11.3)-(11.5), легко заметить, что операция эрмитового сопряжения можно свести к двум операциям: транспонирования

икомплексного сопряжения. Этот результат не случаен, а носит общий характер.

3) Важно также отметить, что оператор px относится к классу самосо-

пряженных (эрмитовых) операторов (опр. № 5). Этот результат также является принципиальным для квантовой механики.

Укажем фундаментальные свойства линейных самосопряженных (эрмитовых) операторов:

Теорема 1. Собственные значения эрмитовых операторов есть действительные числа.

Пусть оператор Q является эрмитовым и, для простоты, обладает дис-

кретным спектром собственных значений qn, т.е. Qψn = qnψn . Рассмотрим

среднее значение от оператора Q , которое, согласно общим правилам квантовой механики, равно:

24

С другой стороны, на основании свойства эрмитовости, имеем:

Сравнивая (6) и (7), окончательно получаем:

qn = qn . (11.8)

Теорема 2. Собственные функции эрмитовых операторов взаимно ортогональны.

Пусть оператор Q , как и в предыдущем случае, является эрмитовым и

обладает дискретным спектром собственных значений qn, т.е. Qψn = qnψn . Докажем, что

С другой стороны, учитывая свойство эрмитовости Q и результаты теоремы 1, можно записать:

Вычитая из первого равенства второе, получим условие:

В этом случае ψ1 ψ2 ≠ 0. Покажем, что всегда можно выбрать другую пару волновых функций φ1 и φ2 , которые физически эквивалентны первоначаль-

ным, т.е. принадлежат тем же собственным значениям оператора Q , но будут, однако, ортогональны друг другу.

В силу линейности оператора Q , любая линейная комбинация функций

ψ1 и ψ2 является собственной функцией Q , соответствующая собственному значению q. Действительно, пусть ϕ = c1ψ1 +c2ψ2 , тогда

Так как с1 и с2 – произвольные числа, то выберем два варианта: а) с1 = 1; с2 = 0 (ϕ1 =ψ1 ), б) c1 = −ψ1 ψ2 ; c2 =1 (ϕ2 = c1ψ1 +ψ2 ). Новые функции φ1 и φ2 принад25

лежат собственному значению q, однако, являются ортогональными, действительно:

ϕ1 ϕ2 =ψ1 c1ψ1 +ψ2 = c1 ψ1 ψ1+ψ1 ψ2 = c1 +ψ1 ψ2 = −ψ1 ψ2 +ψ1 ψ2 = 0.

В случае к-кратного вырождения, аналогичным образом, всегда можно выбрать к других ортогональных линейных комбинаций первоначальных функций, принадлежащих тому же собственному значению q.

Таким образом, в дальнейшем всегда будем считать, что собственные функции любого линейного эрмитового оператора являются ортогональными.

ψn ψm =ψn ψn =1 (n = m) можно объединить в виде единого формального

Теорема 3. Совокупность всех собственных функций любого линейного эрмитового оператора образует полную систему.

Пусть ψ1,ψ2 ,... – набор всех собственных функций некоторого линейного

эрмитового оператора Q . Свойство полноты состоит в том, что произволь-

Для наглядности, можно провести аналогию с векторной алгеброй. Например, любой вектор а в трехмерном пространстве можно разложить по полной системе ортонормированных векторов (i, j,k ): a = axi + ay j + azk .

Некоторые авторы это утверждение относят к разряду одного из постулатов квантовой механики. Мы будем считать, что “обоснование” этой тео-

ремы содержится в принципе суперпозиции состояний (постулат 5).

§12. Операторы и измеряемые величины

Всвязи со статистическим характером квантовой механики, экспериментально измеряемыми параметрами являются средние значения физических величин, которые вычисляются по формуле:

где ψ – нормированная волновая функция, описывающая состояние кванто-

вой системы, а F – оператор соответствующей измеряемой величине. 26

Известно, что все измеряемые параметры прежде всего должны быть вещественными. Следовательно, операторы физических величин должны иметь толь-

ко действительные спектры собственных значений, но такими свойствами обладают только эрмитовые операторы (теорема 1). Поэтому в дальнейшем

все физические операторы будем считать эрмитовыми.

Рассмотрим общий случай, когда состояние квантовой системы описывается произвольной (нормированной) функцией φ. Учитывая свойство полноты собственных функций эрмитовых операторов ψk (теорема 3), можно

записать разложения:

ϕ = ∑ckψk ;

Вычислим среднее значение F по общей формуле (1), используя свойство ортонормированности функций ψk (теорема 2):

(12.3)

Из теории вероятности известно, что, если λ1,λ2 ,... – возможные значения случайной величины F, появляющиеся с вероятностями w1, w2 ,... , то

можно сделать общий вывод: при измерении физической величиныF для квантовой системы, находящейся в произвольном состоянии с волновой функцией

ϕ мы получим собственные значения λ1,λ2 ,... оператора F , при этом величина cn 2 равна вероятности измерения n-го собственного значения λn .

Полученные результаты носят фундаментальный характер, которые логично включить в качестве дополнительных постулатов квантовой механики:

Постулат 6. В квантовой механике каждой физической величине ставится в соответствие некоторый линейный эрмитовый оператор.

Постулат 7. При измерении физической величины F получается

спектр собственных значений соответствующего оператора F .

До сих пор обсуждался вопрос об измерении одной физической величины. Рассмотрим теперь проблему измерения сразу нескольких величин. Ранее мы видели, что в микромире имеются случаи принципиальной невозможности одновременного измерения нескольких физических величин (соотноше-

ния неопределенности Гейзенберга).

27

Пример 1. При умножении квадратной матрицы порядка n ×n на столбец порядка n ×1 получается матрица-столбец порядка n ×1:

×=

Следует сразу заметить, что обратное произведение столбца на квадратную матрицу не определено:

Этот результат еще раз подтверждает некоммутативность произведе-

ния матриц.

Произведение матрицы-строки на квадратную матрицу дает матрицустроку:

× =

Однако, обратное произведение также не определенно:

Умножение матрицы-строки порядка 1×n на матрицу-столбец порядка n ×1 дает квадратную матрицу порядка 1×1, т.е. число:

× =

Обратное произведение – не определено:

×× – не определено

Определение 6. Следом (шпуром) квадратной матрицы порядка n ×n

называется сумма его диагональных элементов:

i=1

30