с.м.чернов_квантовая механика

§14. Представление волновых функций и операторов

вматричной форме

Рассмотрим основное равенство, являющееся фактически определением

оператора Q :

который, для определенности, имеет дискретный спектр с.з. с с.ф. ψn . Согласно общей теории с.ф. ψn обладают двумя фундаментальными свойства-

ми:

что непосредственно следует из разложения (14.3) путем скалярного умноже-

ределяется совокупностью соответственно коэффициентов an и bk , которые можно представить в виде столбца или строки, т.е. матриц порядка (∞×1) или

(1×∞):

Найдем теперь матричную форму оператора Q .

Для этого обратимся к основному равенству (14.1), и учтем разложения

(14.3), а также свойство линейностиQ :

∑bkψk = ∑an Qψn .

Умножим последнее равенство скалярно слева ψm :

31

Физически это означает, что квантовая система первоначально находится в состоянии ψk , в котором физическая величина R имеет определенное

значение, равное с.з. ˆ . На это состояние действует оператор ˆ , переводя-

R Q

щий квантовую систему в новое состояние с в.ф. f . В частности, в соответствии с соотношением (14.4), имеем:

терпретировать как вероятность квантового перехода из k-го состояния в

Чтобы записать (14.14) в матричном виде, учтем, что в R-представлении

где ϕ и f – матрицы-столбцы, которые также можно рассматривать как операторы. Для дальнейшего введем матрицу-строку вида:

Замечание. Формализм квантовой механики по Дираку.

Согласно Дираку, волновую функцию f называют вектором состояния или kem-вектором и обозначают в виде:

(bracket бракет). Бра и кeт-векторы связаны условием эрмитового сопряжения

<ψ |=|ψ >+ или |ψ >=<ψ |+ . (14.22)

Таким образом, скалярное произведение <ϕ | f > является произведением брана кет-вектор. Если волновая функция в координатном представлении имеет вид ψn (x) , где n – набор квантовых чисел, называемые индексом со-

стояния, то в дираковских обозначениях векторы состояния можно записать в виде:

тор состояния становится симметричным. Это дает право, в частности, матричные элементы эрмитового оператора записывать в симметричном виде:

§ 15. Определение собственных функций и собственных значений операторов, представленных в матричной форме

Задача о нахождении с.ф. и с.з. сводится к решению уравнения:

ˆϕ = ϕ . (15.1)

Q q

Рассмотрим произвольное R-представление, когда задан вспомогатель-

ный оператор R , обладающий своим набором с.ф. ψn . В этом случае можно

построить матрицу оператора ˆ с м.э.

Q

Таким образом, предполагается, что все м.э. Qmn известны. 35

R-представлении предполагая известными. Для определения этих коэффициентов необходимо каждое с.з. qk последовательно подставить в систему ал-

гебраических уравнений (15.6), решая которую мы найдем соответствующие наборы cn и. следовательно, искомые с.ф. ϕk , соответствующие с.з. qk .

Если матрица Qmn определена в своем собственном представлении, то все недиагональные элементы равны нулю и вековое уравнение примет вид:

Корни этого уравнения равны q1 = Q11 , q2 = Q22 , K и мы приходим к из-

вестному свойству: диагональные м.э. в собственном представлении совпада-

ет с с.з. оператора ˆ .

Q

Отсюда следует полезный вывод: чтобы привести матрицу Qmn к диа-

гональному виду, нужно составить вековое уравнение (15.8) и найти его корни. Эти корни и будут элементами матрицы после приведения ее к диагональному виду.

§ 16. Общее (временное) уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера (УШ) в нерелятивистской квантовой механике играет такую же фундаментальную роль, как и законы Ньютона в механике или уравнения Максвелла в электродинамике. Эти законы являются самыми общими законами Природы, и не могут быть “выведены” из других более общих принципов, а являются лишь обобщением опытных данных. Поэтому дальнейшее изложение не является строгим выводом УШ, а лишь иллюстрацией “разумности” записи УШ, согласованного с основными постулатами квантовой механики и, в конечном итоге, со всей совокупностью имеющихся экспериментальных данных.

Рассмотрим сначала свободное движение частицы с массой m вдоль оси x со скоростью vnc . Затем обобщим задачу на трехмерный случай и наличие силовых полей. В конце нашего курса будет также представлен анализ

ирелятивистского случая v c (теория Дирака).

Всоответствии с гипотезой де Бройля, свободное движение частицы с энергией Е и импульсом рх описывается плоской волной вида (постулат № 1):

где для свободной нерелятивистской частицы энергия и импульс связаны условием:

Непосредственной подстановкой легко проверить с учетом (16.2), что ψ р является решением дифференциального уравнения вида:

Это уравнение можно записать на языке операторов, если учесть, что гамильтониан свободной частицы

Тогда уравнение (16.3) примет вид:

Предположим, что последнее уравнение справедливо не только для свободного движения, но и при наличии произвольного силового поля U (r,t ) и

для трехмерного движения. В этом случае, разумеется, волновая функция не совпадает с ψ p , а гамильтониан будет иметь вид:

Тогда уравнение (16.5) в развернутой форме примет окончательный вид:

Уравнение (16.7) описывает динамику движения не очень быстрых микрочастиц в произвольном силовом поле U (r,t ), и называется общим или вре-

менным уравнением Шредингера.

Замечание. Принцип причинности в квантовой механике.

Из курса математического анализа известно, что для однозначного решения дифференциального уравнения к-го порядка необходимо задать к дополнительных условий. Так как уравнение Шредингера содержит лишь первую производную по времени, то для его однозначного решения необходимо задать единственное начальное условие, например, волновую функцию Ψ(r,0) при t = 0. Тогда, решая уравнение Шредингера, мы получим волно-

вую функцию Ψ(r,t ) при любом t > 0.

Полезно вспомнить, что в классической механике принцип причинности требует задание сразу двух параметров, например, r (0) и v (0), что принци-

пиально невозможно в микромире.

38