Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Могилёвский государственный университет им. А. А. Кулешова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

с.м.чернов_квантовая механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

2.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	2				2
	g		eh		g
H =		−		σ B =		+ μs B ,	(51.17)
	2m0		2m0		2m0

где введен спиновой магнитный момент электрона (51.12).

Важно отметить, что появление спина и спинового магнитного момента электрона автоматически получается из уравнения Дирака (или уравне-

ния Паули), без дополнительных гипотез или ссылок на эксперимент.

Замечание. Вывод соотношения (51.16).

Учитывая свойства матриц Паули (34.15) и (34.16):

σ x σ y = iσ z ;

σ y σ x

= −iσ z ;

σ x =σ y =σ z =1,

преобразуем выражение:

$ 2

2 2

σ g

σ x g x +σ y g y +σ z g z

= g x + g y + g z +

σ x σ y g x g y +σ y σ x g y g x

σ x σ z g x g z +σ z σ x g z g x

+ σ y

σ z g y g z +σ z σ y g z

g y

= g

+iσ z g x g y − g y g x

+iσ y g z g x − g x

g z

σ x g y g z − g z g y

(g$×g$)

×g$)

= g

+i σ z

+σ y (g$

+σ x (g$ ×g$)

= g

+i σ g$×g$.

(51.18)

(51.19)

Далее, рассмотрим комбинацию:

$ $	$	$	$	$	(51.20)
g ×gψ = (p		−eA)×(p −eA)ψ = −e(p×A + A×p)ψ.
	$	(оператор дифференцирования) действует последо-
Учитывая, что оператор p

вательно на все функции, стоящие справа от него, можно записать:

$	$	$	$
p ×Aψ = p × Aψ +p ×Aψ = −ih( ×A)ψ −A ×pψ =				(51.21)
		$	$

= −ih rotAψ − A ×pψ = (−ihB − A ×p)ψ

В последнем равенстве символом отмечена функция, на которую действует оператор дифференцирования p$. Тогда равенство (51.20) в операторной форме принимает вид:

g$×g$ = iehB .

(51.22)

Используя равенство (51.19), окончательно получаем необходимое условие

(51.16):

	2	2
σ g$	= g		− ehσ B .

141

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Задачи к главе I

1.1. Показать, что в теории Планка средняя энергия радиационных осцилляторов определяется формулой (1.9). Считать, что вероятность распределения осцилляторов по энергиям описывается законом Больц-

мана wn

= c exp -

Решение:

В теории Планка En = nhω . Тогда

hω

∞

∑Enwn

∑nhωc exp −n

∑ne−nx

n=0

= hω

n=0

∞

hω

∞

∑wn

∑c exp

−n

∑e−nx

n=0

= −hω d ln ∑e−nx = −hω d ln

= hω = hω

∞

n=0

1−e−x

ex −1

hω

e kT

−1

hω

где было введено обозначение x ≡

и использована формула для суммы

бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1.2. Вычислите сдвиг длины волны света, рассеянного на покоящихся электронах (эффект Комптона).

Решение:

Запишем законы сохранения энергии и импульса для системы: фотон и

электрон:

= hω

+ mc

;

hω0 + m0c

hk0 = hk + mv.

ω)

+ m0c

= mc

;

h(ω0 −

h(k

−k)= mv.

Возведем последние равенства в квадрат:

h2ω02 − 2h2ω0ω + h2ω2 + m02c4 + 2hm0c2 (ω0 −ω)= m2c4 ;

(1)

k0k cosθ

;

учтем, чтоk =

− 2h

+ h

= m

h2ω2

− 2h2ω ωcosθ + h2ω2

= m2v2c2 .

(2)

Вычтем из (1) уравнение (2):

142

(ω0

−ω)

−

−2h

ω0ω(1

− cosθ )+ mo c

+ 2h

= m

= m0 c

где m =

1 −

hω0ω

= 2hω0ω sin2 θ

−ω =

(1 −cosθ )

m c2

2πc

Переходя к длинам волн ω

, получаем:

2h (

2πc)2

2πc

−

sin

m c

λ λ

Отсюда приходим к формуле Комптона:

λ =λ −λ

= 4πhsin2 θ = 2Λsin2 θ ,

m0c

где

Λ = 2πh = 2,42 10−12 м – комптоновская длина волны электрона. m0c

Ответ: 2Λsin2 θ2 .

1.3. Найти направление вылета электрона отдачи по отношению к направлению движения налетающего рентгеновского фотона частоты ω0 , рассеиваемого на покоящихся электронах под углом θ.

		Решение:
Ро		Р
Ро		ϑ
		ϕ
		ϕ
		Ре

По закону сохранения импульса P0 = P + Pe , или в проекциях:

Ox :	P0 = Pcosθ + Pe cosϕ;
Oy :	Psinθ = P sinϕ;	P = P	sinθ	.

	e	e	sinϕ

P0 = P cosθ + Psinθ ctgϕ .

143

−cosθ

ctgϕ =

sinθ

С другой стороны P = hk =

2πh

λ0

Из формулы Комптона находим

=1 + 2

sin2 θ .

Тогда:

λ0

2sin2

2Λsin2

hω0

ctgϕ =

1 − cosθ

+ 2Λsin

= tg

sin

m0c

2sin

Ответ: ctgϕ = tg θ

hω0

2 cos 2

m c

1.4. Согласно теории Планка, осуществляются лишь такие состояния линейного гармонического осциллятора, энергия которого равна

E =	p2	+	mω2 x2	= nhω, n = 0,1, 2, ...
	x
	2m		2

Показать, что фазовая траектория осциллятора представляет собой эллипс с дискретной площадью.

Примечание: Фазовой плоскостью называется плоскость с осями

(x, px ).

Решение:

Из формулы Планка легко получить на фазовой плоскости каноническое уравнение эллипса:

x2	+	p	x	2	=1
a 2		b2

с полуосями a =	2πh	, b = 2mnhω.
	mω

Площадь эллипса равна:

S =ο∫pxdx =πab =2πh n, n =0,1,2,...

В последнем соотношении отсутствует какая-либо информация об особенностях осциллятора (m,ω). Поэтому естественно предположить, что такое

условие квантования справедливо и для любой механической системы. В общем случае состояние механической системы с k степенями свободы описывается k обобщенными координатами (q1, q2 ,..., qk ) и обобщенными импуль-

сами (p1, p2 ,..., pk ), которые должны быть связаны k условиями квантования:

144

ο∫ pidqi = 2πh ni

где i =1, 2,..., k; ni = 0,1, 2,..., а интегрирование ведется вдоль замкнутой тра-

ектории на фазовой плоскости. Полученные соотношения называются усло-

виями квантования Бора-Зоммерфельда. Заметим, что количество квантован-

ных чисел ni равно числу степеней свободы k .

1.5. Показать, что в атоме водорода возможны лишь такие круговые орбиты электрона, для которых момент импульса L = mvr = nh

(n = 1,2,3,…).

Решение:

В качестве обобщенной координаты удобно взять азимутальный угол q =ϕ (0 ≤ϕ ≤ 2π ). Для вращательного движения роль линейной скорости

v играет угловая скорость ω (v =ωr), а роль массы – момент инерции

I = mr2 . Следовательно, обобщенный импульс электрона равен

p0 = Iω = mr2ω = mvr = L .

Таким образом, при вращательном движении обобщенный импульс равен моменту импульса. При равномерном вращении электрона по круговой орбите L = const , и на основании условия квантования Бора-Земмерфельда имеем:

2π

ο∫ p0dq = ο∫ Ldϕ = L ∫ dϕ = L 2π = 2πh n

и, следовательно L = nh (n = 0,1, 2,...).

Следует, однако, отметить, что случай n = 0 следует исключить как не имеющий физического смысла. Почему?

1.6. Используя условие квантования Бора-Зоммерфельда, найти возможные значения энергии E частицы массы m, движущейся в одномерной потенциальной яме U(x) ширины ac бесконечно высокими стенками:

			0, 0 ≤ x ≤ a	.
		U(x)=		.
		∞, x ≤ 0, x ≥ a
		Решение:
				&
Обобщенные координаты и импульс равны: q = x, p0 = px = mx
Частица может двигаться лишь внутри ямы с постоянным по модулю
импульсом	px	= const. Тогда на	основании условия квантования Бора-
Зоммерфельда имеем очевидную цепочку равенств:
		a	a
		ο∫ pdq = 2∫ px dx = 2 px ∫dx = 2 pxa = 2πhn.
0			0
			145

Отсюда находим условия квантования импульса и энергии

πhn

;

π2h2

E =

n = 0,1,2,...

2ma2

Следует отметить, что последний результат совпадает со строгим кван- тово-механическим расчетом (за исключения случая n = 0).

1.7. Показать, что частота излучения водородоподобного атома, соответствующего переходу электрона с (n + 1)-ой орбиты на n-ю, равна

частоте обращения на n -й орбите, лишь если n.1 (принцип соответствия Бора).

Решение:

В соответствии с формулой

= RZ

−

частота излучения ато-

ма водорода равна:

(2n +1)

ω =

RZ 2

−

(n +

Частоту обращения электрона на п-й круговой орбите ω0

найдем из ус-

ловия

mv2

Ze2

4πε0r2

mv2 = mω2r =

Ze2

ω =

Ze2

4πε0r2

4πε0mr3

Подставляя

последнюю

формулу

радиус

п-й боровской орбиты

4πε

me2

r =

, a

и вводя постоянную Ридберга

R =

, имеем:

me2

2h3 (4πε

0 )2

ω =

2RZ 2

(2n +1)n3

Для отношения

окончательно получаем:

ω0

2n2

(n +1)2

При переходе с первого возбужденного уровня на основной уровень

атома

водорода(n =1)

. Однако,

при

высоких

квантовых числах

n → ∞,

→1 ,

т.е. результат для квантовой системы совпадает с классиче-

146

ским, (принцип соответствия Бора). Данный результат имеет общий характер и выполняется для всех квантовых систем.

1.8. Оценить с помощью соотношений неопределенности Гейзенберга “размеры” и энергию основного состояния атома водорода и гелия.

Решение:

Для оценок параметров этой задачи будем считать, что электроны атома движутся внутри сферы радиуса r с импульсом p , связанным соотношением

неопределенности:

r p h.	(1)
(Для атомов конечных размеров, p p и r	r , так как средние значе-

ния p= 0, r= 0 ). Полная энергия атома водорода (для неподвижного, точечного ядра) равна:

E = E

+ E

−

(2)

2m 4πε0r

или с учетом (1):

E =

−

(3)

2mr2

4πε

Минимизируя энергию атома по r , находим искомые параметры

r = a

= 4πε0h

= 0,528 A;

min

me4

(4)

E0 = −

me4

= −13,6эВ.

2h2 (4πε0 )2

Следует отметить, что оценки “размеров” и энергии основного состояния атома водорода (4) совпадают с результатом теории Бора и точными квантовомеханическими расчетами, хотя это совпадение следует считать случайным.

Для атома гелия, предполагая, что в среднем электроны располагаются на противоположных концах диаметра, имеем:

E = 2

− 2

2e2

−

7 e2

−

7 e2

. (5)

(4πε0 )r

(4πε0 )2r

2 (4πε0 )r

2mr 2

2 (4πε0 )r

Найдя минимум функции (5), для атома гелия получаем:

		4 4πε	0 h	2		4 a		o
r	=	4 4πε	0 h		=			= 0,30 A

		7 me2
min		7 me2				7	0

E	= −	49	me4		= −79	эВ.	(6)
			(4πε	0 )2
0		16 h2

Уменьшение “размеров” атома гелия по сравнению с атомом водорода объясняется увеличением заряда ядра атома вдвое.

147

Для сравнения приведем экспериментальное значение энергии основного состояния гелия:

Еэксп = −83 эВ.

Таким образом, соотношения неопределенности позволяют сделать оценки атомных параметров с относительно хорошей точностью.

1.9. Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Почему в ядре не может находиться электрон или другая “легкая” частица?

Решение:

Укажем вначале характерные пространственные и энергетические масштабы ядерной физики, полученные экспериментально.

“Размер” ядра: ro ≈ 10-14 м, удельная энергия связи:

E0 = EAсв 8,6 МэВ ≈1, 4 10−12 Дж.

Качественно на поставленный вопрос можно ответить, сравнивая кинетическую энергию элементарной частицы массы m , движущейся в области r0 , с удельной энергией связи E0 . Критерием устойчивости ядра может слу-

жить неравенство:

Ek ≤ E0 .	(1)
Оценим Ek , используя соотношение неопределенности

r p h; E =	p2	h2	0,5 10−40	(Дж).
	2m	2mr2	m

		0
Для электронов (m = me = 9,11 10−31 кг)			Еке = 50 10−12 Дж.
Для протонов (m = mp =1,67 10−27 кг)			Екр = 0,03 10−12 Дж.

Сравнивая проведенные оценки с критерием (1), мы видим, что в состав ядра могут входить лишь тяжелые частицы типа p, n (нуклоны).

Известно, что в природе существуют частицы – гипероны, массы которых превышают массу нуклонов. Поэтому следует ожидать наличие в природе ядер, содержащих кроме нуклонов также и гипероны (гиперядра). В настоящее время обнаружены экспериментально более двух десятков одиночных и двойных Λ-гиперядер, а также ∑-гиперядра.

1.10. Группа волн имеет эффективную ширину x и перемещается с групповой скоростью vx . Показать, что время прохождения волнового

пакета через некоторую точку пространства t и неопределенность кинетической энергии частицы E связаны соотношением t E h.

148

Задачи к главе II

2.1. Возвести в квадрат оператор F = x +

Решение:

Для произвольной функции ψ имеем:

+1 ψ ,

F ψ

= F Fψ = x + d xψ + dψ

= x2 + 2x d +

тогда

= x2 + 2x

+1.

dx2

2.2. Доказать, что операция эрмитового сопряжения эквивалентна двум независимым операциям: транспонирования и комплексного со-

+	*
+
пряжения, т.е. Q = Q .
	Решение:
По определению эрмитового сопряжения: ψ			=	+	ϕ .


		Qϕ		Q ψ

С другой стороны, используя операции транспонирования и комплекс-

ного сопряжения, а также свойства скалярного произведения, получаем:


ψ		= ϕ		=		ϕ
ψ	Qϕ	= ϕ	Qψ	=	Qψ	ϕ

		ϕ	=
=	Qψ	ϕ	=

Q ψ ϕ .

Сравнение двух последних условий доказывает наше утверждение.

2.3. Доказать операторные равенства:

-1-1	**	++
a) Q	= Q; b) Q	= Q; c) Q	= Q.

2.4. Доказать операторные равенства:

* *

a)(AB)* = A B ;



b) (AB) = B A;
	-1 -1
c) (AB)-1	= B A ;

+ +

d) (AB)+ = B A ;

e)AI$ = I$A = A;

f)(αA)+ = α* A .

149

2.5. Доказать, что, если

– эрмитовый оператор,

то операторы

B = Q AQ

и C = Q AQ также являются эрмитовыми.

2.6. Операторы A, B и C, удовлетворяющие коммутационному ус-

ловию

[A,B] = C, преобразуются в штрихованные операторы согласно условию

= I$). Доказать, что новые

A′ = Q AQ

, где Q – унитарный оператор (QQ

операторы удовлетворяют тому же коммутационному условию.

2.7. Доказать, что,

если операторы F и

R имеют общие собствен-

ные функции, то такие операторы между собой коммутируют:

[F, R] = 0.

Решение:

Пусть

ψ –

общая

собственная функция

операторов

R , т.е.

Fψ = λψ, Rψ = μψ . Тогда

[F, R]ψ = (F R− R F)ψ = λμψ − μλψ = 0.

Такое же равенство имеет место и для произвольной функции φ, если

учесть свойство полноты (11.14) и линейность операторов F и R .

2.8.

то они

Доказать, что если операторы F и

R коммутируют,

имеют общие собственные функции.

Решение:

Не умаляя общности, ограничимся случаем невырожденных собствен-

		=λψ) и
ных значений. Пусть ψ – с.ф. оператора F	(Fψ	=λψ) и	F R = R F , необходи-

мо доказать, что Rψ = μψ.
Рассмотрим цепочку очевидных соотношений:

F (Rψ ) = R(Fψ ) = λ(Rψ ).
		являются с.ф. оператора
Отсюда следует, что функции ψ и ϕ = Rψ		являются с.ф. оператора		F ,

соответствующие одному и тому же с.з. λ, т.е. они являются физически эквивалентными и могут отличаться лишь на произвольное число μ, т.е.

Rψ = μψ.

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.2015501.2 Кб566решебник.docx
#
18.04.201513.95 Кб13россия.docx
#
11.07.201913.89 Mб14Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии.rtf
#
22.08.201930.64 Кб5русский СЕЛЕЗНЁВА(ТРХ-111).docx
#
25.09.201969.55 Кб7с группы.docx
#
22.03.20162.6 Mб61с.м.чернов_квантовая механика.pdf
#
18.04.2015197.73 Кб38савицкая .docx
#
18.04.2015173.57 Кб13Сведения о родителях 2014-2015.doc
#
18.04.2015447.02 Кб13Сельский туризм.pdf
#
15.08.201956.85 Кб0сем1.docx
#
11.11.2019243.71 Кб9Семаго содер и организ.doc