с.м.чернов_квантовая механика

В нулевом приближении U (r) = 0 , и уравнение Шредингера примет вид:

Замечание. Рассмотрим решение уравнения (44.5), которое было получено в электродинамике.

В электродинамике электрическое поле можно описать скалярным потенциалом ϕ(r, t) , который создается электрическими зарядами с плотностью ρ(r, t) . Причем, из уравнения Максвелла получено уравнение,

связывающее ρ с ϕ (волновое уравнение или уравнение Даламбера):

Подставляя (44.8) и (44.9) в уравнении Даламбера (44.6), для координатных частей ρ0 (r) и ϕ0 (r) получаем уравнение:

121

Найдем асимптотическое поведение функции (44.13) при больших т.е. на расстояниях, много больших размеров области действия сил. Запишем

R ≈r(1−rr2r' ) .

Так как рассеянные волны распространяются по радиальным направлениям и волновой вектор k || r . то можно записать:

при рассеянии. Найдем модуль этого вектора для случая упругого рассеяния

( k = k0 ):

q2 =(k0 −k)2 =k02 +k2 −2k0k cosθ =2k02 (1−cosθ) =4k02 sin2 θ2

122

Сравнивая (44.17) с необходимой асимптотикой вида (44.8), окончательно для амплитуды рассеяния в первом борновском приближении получаем:

Рассмотрим важный для практических приложений случай, когда взаимодействие U (r' ) =U (r' ) обладает свойством центральной симметрии. В этом случае, амплитуда рассеяния не зависит от ϕ , а только от угла рассеяния θ , который можно отсчитывать от направления вектора qr'

dV' =2πsinθdϑr'2dr'2

Вычислим внутренний интеграл:

A(θ) =−h22mq ∞∫U(r' )sin qr'r'dr' (символ штрих можно опустить).

0

Таким образом, в первом борновском приближении при рассеянии частицы массы m в центрально-симметричном поле U(r) дифференциальное сечение рассеяния равно:

123

ГЛАВА VII

Релятивистская теория частиц со спином 0 и 12

§45. Элементы специальной теории относительности (СТО)

Воснове СТО (Эйнштейн, 1905) лежат два основных постулата, подтвержденные многочисленными опытными данными:

1)Все физические явления происходят одинаково в любых инерциальных системах отсчета (ИСО). Это означает, что уравнения, описывающие эти явления, должны быть неизменными (инвариантными) при переходе от одной ИСО к любой другой ИСО.

2)В природе существует максимально предельная скорость перемещения материальных объектов, численно равная скорости света в вакууме

с=3 108 мс.

Из указанных постулатов вытекает важный закон, утверждающий, что

пространственные и временные переменные не являются независимыми, но преобразуются друг через друга при переходе от одной ИСО к другой.

В частности, координаты и время при переходе от неподвижной СО (К) к другой ИСО (К′), которая равномерно перемещается относительно К со ско-

ростью v вдоль направления x , связаны уравнениями:

Преобразования (45.1) называются преобразованиями Лоренца, и в случае малых скоростей переходят в преобразования Галилея:

Из преобразований Лоренца следуют парадоксальные (с точки зрения классической физики) результаты:

1) Расстояния между двумя пространственными точками, измеренные в один и тот же момент времени, связаны условием:

124

(Лоренцовое сокращение движущихся масштабов).

2) Промежуток времени между двумя событиями, происходящими в од-

т.е. движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

Существует, однако, определенная комбинация пространственных и временных координат, которая имеет одинаковое значение во всех ИСО, на-

зываемая релятивистским интервалом:

Для дальнейшего удобно объединить пространственные и временные координаты в виде 4-х вектора пространства-времени, имеющего компоненты:

Тогда интервал, будучи квадратом соответствующего 4-х вектора, и, следовательно, релятивистским скаляром, одинаковым во всех ИСО, можно записать как:

Тогда, квадрат 4-х вектора, скалярное произведение двух 4-х векторов и т.д. будут являться 4-х мерными скалярами, и следовательно будут инвариантными во всех ИСО.

Полученные преобразования Лоренца позволили построить 4-х мерную динамику, согласно которой, в частности, энергия и импульс свободной частицы имеют вид:

(45.16), с учетом автоматического суммирования по повторяющимся индексам.

Рассмотрим, наконец, 4-х мерный аналог оператора Лапласа :

Здесь символом обозначен т.н. оператор Даламбера.

§ 46. Релятивистское уравнение Клейна – Гордона – Фока (КГФ) для бесспиновых микрочастиц

Рассмотрим свободное движение частиц, не обладающих спином. Такие частицы называются скалярными (π-, K- мезоны…).

В нерелятивистском случае связь энергии и импульса имеет вид:

причем движение частицы описывается волновым УШ:

С формальной точки зрения, последнее уравнение можно получить из уравнения (46.1) путем введения операторов:

где первые три компоненты оператора импульса определены в (46.3), а четвертая имеет вид:

127

вующих операторов на волновую функцию ψ , тогда последнее уравнение

Уравнение (46.6) является релятивистским волновым уравнением для свободной бесспиновой частицы и называется уравнением Клейна – Гордона – Фока

(КГФ). Это уравнение инвариантно относительно преобразований Лоренца, если ψ – четырехмерная скалярная функция.

Всвязи с уравнением КГФ возникает два вопроса:

1)Так как уравнение КГФ описывает свободное движение частицы, то

всоответствие с постулатом №1, плоская волна де Бройля:

но с релятивистским соотношением (45.10), должна быть решением полученного уравнения.

2) Из уравнения КГФ необходимо получить уравнение непрерывности с положительно определенной плотностью вероятности, с тем, чтобы дать стандартную физическую интерпретацию волновой функции.

Рассмотрим вначале первый вопрос. Для этого подставим выражение (46.7) в уравнение КГФ:

что является очевидным с учетом условия (45.10).

Получим, наконец, уравнение непрерывности в релятивистском случае. Для этого запишем уравнение КГФ для функций ψ и ψ :

Умножив первое уравнение слева на ψ , а второе – на ψ , и, вычитая одно из другого, получим:

ψ 2kψ −ψ 2kψ = k (ψ kψ −ψ kψ )= 0.

128

Для согласования с нерелятивистским случаем, умножим последнее равенст-

Для сравнения с нерелятивистским пределом, воспользуемся заменой: ih∂∂ψt Eψ; −ih∂∂ψt * Eψ .

Тогда, для ρ получаем ρ = mcE 2 ψ ψ , которое при vc n1 и, следовательно,

E ≈ mc2 , приводит к ожидаемому результату: ρ = ψ 2 .

Однако, в релятивистском случае выражение (46.14) не является положительно определенной величиной, что противоречит принципиальным положениям квантовой механики.

Другим важным недостатком теории КГФ является невозможность опи-

сания релятивистского электрона с учетом наличия у него спина. Чтобы описать спиновые состояния электрона, его волновая функция должна быть, по крайней мере, двухкомпонентной, в соответствии с теорией Паули (§ 34).

§ 47. Уравнение Дирака

Для решения всех проблем, возникших в теории КГФ, Дирак (1928) предположил, что состояние релятивистского электрона должно описываться линейным дифференциальным уравнением первого порядка, и предложил следующую схему линеаризации уравнения КГФ.

129

Разумеется, будем исходить из уравнения КГФ, так как это уравнение, во-первых, отражает правильную связь между релятивистской энергией и импульсом, во-вторых, является релятивистки инвариантным, в-третьих, допускает правильный предельный переход к нерелятивистскому случаю.

Запишем уравнение КГФ:

вой части уравнения КГФ запишем в виде:

где k,l =1,2,3,4; по повторяющимся индексам (которые называются “немы-

ми”) предполагается суммирование; γ$k – некоторые неизвестные операторы,

которые, по предположению, не действуют на пространственно-временные переменны xk . Тогда, в частности, эти операторы коммутируют с операто-

рами k .

Найдем условия, которым должны удовлетворять операторы γ$k . Для

этого обратимся к уравнениям (47.2), которые справедливы, если:

= 2k =γ$k γ$l k l = 12 (γ$k γ$l k l +γ$l γ$k l k )= 12 (γ$k γ$l +γ$l γ$k ) k l .

Здесь мы учли, что операторы дифференцирования k и l коммутируют

между собой, а также с операторами γ$k . Очевидно, последнее условие справедливо, если выполняются коммутационные соотношения вида:

Заметим, что в последнем равенстве отсутствует суммирование по к. Ранее было показано (§ 34), что полученным коммутационным соотно-

шениям удовлетворяют 2-х рядные матрицы Паули σα (α =1,2,3):

Поэтому, естественно предположить, что искомые операторы также являются матрицами, удовлетворяющие соотношениям (47.4). Однако, таких матриц должно быть не 3, а по меньшей мере 4, что непосредственно следует из условий (47.3). Простые соображения показывают, что и размерность этих матриц также должно равняться четырем. Имеется несколько альтернативных

130