Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Могилёвский государственный университет им. А. А. Кулешова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

с.м.чернов_квантовая механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

2.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

таких матриц. Дирак предложил один из вариантов четырехрядных матриц вида:

		$												$
		0		−iσ									δ	$
γα	=	0		−iσ	α		(α =1,2,3);				γ 4	=	δ	0			,
γα	=			$	α		(α =1,2,3);				γ 4	=	$				,
				$									$	−δ				(47.5)
	iσα			0									0	−δ				(47.5)
						$		$
						$		$
где σα -матрицы Паули (47.5), 0- и								δ – нулевая и единичная двухрядные мат-
рицы, или в развернутом виде:
	0 0 0 −i									0 0 0 −1
		0 0		−i		0					0 0 1 0
γ$	=	0 0		−i		0	;	γ$	=		0 0 1 0				;
1	0 i			0 0				2		0 1 0 0								(47.6)
			0 0 0															(47.6)

	i									−1 0 0 0
	0 0 −i					0				1 0 0 0
		0 0 0 i									0 1 0			0
γ$	=	0 0 0 i					;	γ$	=		0 1 0			0		.
3			0	0 0				4			0 0 −1 0
	i		0	0 0							0 0 −1 0
		0 −i		0 0							0 0 0 −1
Из вида матриц Дирака следует,								что м.э. удовлетворяют условию										aij = aji ,

т. е. эти операторы являются эрмитовыми .

Вернемся к условию (47.2). В это соотношение входят два альтернатив-

ных сомножителя, тогда в качестве релятивистского уравнения электрона

можно использовать либо:
(γ$k k − χ)ψ = 0,
либо:	(47.7)
(γ$k k	+ χ)ψ = 0, χ = m0c .
	h

Вообще говоря, оба эти уравнения физически эквивалентны: они отличаются формальной заменой γ$k → −γ$k , что, однако, не влияет на коммутационные условия (47.3). Дирак отдал предпочтение второму варианту, который мы и будем в дальнейшем называть уравнением Дирака.

Следует отметить, что, т.к. операторы, действующие на волновую функцию в уравнении (47.7), представляют собой 4-х рядные матрицы, то и волновая функция должна быть также 4-х компонентной матрицей, которую можно представить в виде 4-х рядного столбца:

131

ψ1

ψ = ψ2 . (47.8)ψ3ψ4

Следовательно, уравнение Дирака фактически есть система из 4-х уравнений для каждой компоненты.

§ 48. Уравнение Дирака в виде временного уравнения Шредингера

Уравнение Дирака можно записать в виде временного уравнения Шредингера:

ih	∂ψ	= H ψ .	(48.1)
	∂t

Докажем это утверждение, что позволит также построить гамильтониан для свободного движения релятивистского электрона. Для этого в уравнении Дирака

γ$		+	m0c	ψ = 0	(48.2)
	k
k
			h

выделим временной член:

1 ∂

и учтем также,

что γ$k = (γ$,γ$

4 ). Тогда

= ,

ic ∂t

уравнение Дирака запишется в виде:

∂

m0c

γ$ +

γ$

ψ = 0.

(48.3)

∂t

(−hi2cγ$

4 ), и, с

Умножим последнее равенство слева

на комбинацию:

4 = hcγ$

учетом γ$42 =1, получим:

ciγ$

γ$ (−ih )−ih

∂

+ m c2

γ$

ψ = 0 .

(48.4)

∂t

Перегруппировывая члены, и введя оператор импульса p = −ih

ih∂∂ψt =(icγ$4 γ$ p$ +m0c2γ$4 )ψ.

, получаем: (48.5)

Таким образом, мы приходим к временному уравнению Шредингера (48.1) с релятивистским гамильтонианом вида:

			2			(48.6)
H = icγ		4 γ p+m0c		γ 4	.	(48.6)

Для упрощения записи,	введем вместо матриц Дирака γ$k					новые 4-х

рядные матрицы αk , которые определим в виде:

				,	(48.7)
α = i γ	4 γ;	α4	=γ 4	,	(48.7)
	132

явный вид которых легко получить, зная структуру матриц Дирака γ k (47.5):

$		;			$		(48.8)
α = 0	σ	;	α4	= δ	0	.	(48.8)
	$			$
σ	0			0	−σ

Новые матрицы αk , как легко проверить непосредственно, также антикоммутируют между собой:


		αk αl +αl	αk = 2δkl .		(48.9)
Тогда оператор		принимает окончательный вид:
Тогда оператор	H	принимает окончательный вид:
					(48.10)
		H = c α p+ m c2		α4 .	(48.10)
			0

Так как релятивистская энергия частицы равна E =T + m0c2 , то членам в последнем выражении можно придать вполне определенный физический смысл:

			(48.11)
оператор кинетической энергии T		= c αp ;
оператор энергии покоя			(48.12)
	m0c2 α4 .

Покажем, что уравнение Дирака с гамильтонианом (48.10) сводится к системе из 4-х уравнений типа уравнений Шредингера для соответствующих компонент волновой функции. Найдем вначале явный вид матрицы оператора

H :

						0
	H = cα p+m c2		α4	= c		$
		0				$
						σ
где
					0
σ p	= p x σ x + p y σ y	+ p z σ z = p x				1
						1

$						$	0			2	$			$		$
σ	$			2		δ	0		m c		δ		cσ p						,	(48.13)
	$			2				=		0
	p + m c						$	=		$ $							$
0			0			0	$			$ $			−m0c			2	$
0						0	−δ			cσ p			−m0c			δ

1			0		−i				1 0						p z				p x −i p y
0	+	p y				0	+ p z					=										.
0			i			0			0 −1			p		x	+ i p			y		− p	z
														x				y			z

Отсюда окончательно получаем:

			m c2
			m c2
			0

			0
			0
H =

			c p z
			c p z


c p x +i p y

		0
		m c2
		0

c p x −i p y

−c p z

c p z


c p x +i p y

−m0c2


c p x −i p y


	−c p z			(48.14)
			.	(48.14)
		0
		0

	−m c2
		0

Действуя соответствующими операторами на волновую функцию-столбец (47.8), и приравнивая матричные элементы, получим искомую систему уравнений:

133

		∂ψ	1
ih		∂t	1
		∂t
		∂ψ
		∂ψ	2
ih		∂t	2
		∂t
	∂ψ3
ih	∂ψ3
		∂t
	∂ψ4
	∂ψ4
ih		∂t
		∂t

2			ψ3								;
= m0c ψ1	+c pz		ψ3	+c px −i p y					ψ4		;

2
= m0c ψ2	+c px +i p y					ψ	3	−c pz ψ4 ;
											(48.15)
2											2 ;
= −m0c ψ	3 +c pz ψ			1	+c px			−i p y ψ			2 ;

2										ψ2 .
= −m0c ψ	4	+c px +i p y ψ						1 −c pz		ψ2 .

Полученная система уравнений полностью эквивалентна уравнению Дирака (48.1) с гамильтонианом (48.10), а также исходному уравнению (47.7) для свободного релятивистского электрона.

Легко убедиться прямой подстановкой, что 4-х компонентная плоская волна де Бройля, описывающая свободное движение частицы, вида:


			A
			1	i		(p r−Et )
ψ		= A2 e
ψ		= A2 e			h
	p	A
			3
			A
			4

удовлетворяет системе уравнений (48.15), если выполняется условие:

E 2 = c2 (p2 + m02c2 ).

(48.16)

(48.17)

Эти расчеты сводятся к следующему. Дифференцируя (48.16) по времени и координатам (p$ = −ih ), получим однородную систему из 4-х алгебраиче-

ских уравнений относительно амплитуд Ai . Нетривиальное решение такой

системы существует, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Но последнее требование сводится к условию (48.17), что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, плоская волна де Бройля является решением, как уравнения Дирака, так и уравнения КГФ. Разница состоит лишь в том, что волновая функция теории КГФ является однокомпонентной, а Дирака – четырех-

компонентной.

§ 49. Уравнение непрерывности в теории Дирака

Будем исходить из уравнения Дирака в форме общего уравнения Шредингера:

	ih	∂ψ					(49.1)
	ih	∂ψ	= H ψ,				(49.1)
		∂t
				$
				$
где оператор H (48.10), с учетом равенства p = −ih , имеет вид:
			3		∂
H = cα p+m0c2	α4	= −ich∑αk			∂	+m0c2 α4 .	(49.2)
H = cα p+m0c2	α4	= −ich∑αk			∂x	+m0c2 α4 .	(49.2)
			k=1		k

В развернутом виде уравнение Шредингера можно записать в виде:

134

	∂ψ	3	∂ψ
ih	∂t	= −ich∑αk		+ m0c2 α4	ψ .
ih	∂t	= −ich∑αk	∂x	+ m0c2 α4	ψ .
		k =1	k

В последнем уравнении, как уже отмечалось, волновая функция ψ ляет собой матрицу-столбец:

ψ1 ψ = ψ2 .

ψ3ψ4

(49.3)

представ-

(49.4)

Введем для дальнейшего эрмитово сопряженную волновую функцию:
( 1 2 3 4 )	.	(49.5)
ψ + = ψ ,ψ ,ψ ,ψ

Для получения уравнения для этой функции, произведем эрмитовое сопря-

жение всех членов уравнения (49.3), с учетом свойства самосопряженности

+
α	=α :

−ih	∂ψ +	3	∂ψ +	(49.6)
−ih	∂t	= ich∑	∂x αk + m0c2ψ + α4 .	(49.6)
		k =1	k

Далее, умножим уравнение (49.3) слева на ψ + , а уравнение (49.6) – справа на ψ , и, вычитая полученные уравнения, придем к соотношению вида:

∂

(

)

∂

= −ich

∑

или:

ψ ψ

ψ αk ψ

∂t

k =1

∂xk

∂

(

)

∂

∑

cψ αk ψ

= 0

(49.7)

∂t

ψ ψ

k=1 ∂xk

Последнее соотношение можно записать в виде традиционного уравнения не-

прерывности:

	∂ρ	+ divj = 0 ,	(49.8)
где плотность вероятности:	∂t
			(49.9)
	ρ =ψ +ψ,
плотность тока вероятности:		j = cψ + α$ψ .	(49.10)

Заметим, что важнейший параметр ρ становится положительно определен-

ной величиной, в отличие от теории КГФ:

									ψ1

+			,ψ		,ψ		,ψ		ψ	2	=	ψ		2	+	ψ		2	+	ψ		2	+	ψ		2	≥ 0 .	(49.11)
+									ψ	2				2				2				2				2
ρ =ψ ψ = ψ
	(	1		2		3		4 )					1				2				3				4
	(	1		2		3		4 )					1				2				3				4
									ψ3
									ψ	4

Это позволяет сохранить в силе основной постулат № 3 квантовой механики,

определяющий физический смысл волновой функции.

Замечание. С формальной точки зрения, из формулы (49.10) можно

ввести оператор скорости частицы: $ = $ . v cα

135

§ 50. Решения уравнения Дирака с отрицательной энергией. Понятие о позитроне

Так как для свободной частицы гамильтониан не зависит явно от времени, то уравнение Дирака можно записывать для всех стационарных задач в

форме стационарного уравнения Шредингера:

(50.1)

H ψ = Eψ

В этом уравнении, разумеется, ψ – 4-х рядный столбец, а оператор

имеет

вид:

(50.2)

H = c α p+m0c

α4

= c i γ

p+m0c

γ 4 .

Покажем, что, если некоторая функция ψ

удовлетворяет уравнению

Дирака (50.1) с положительной энергией E ≥ 0 , то существует такая линейная комбинация компонент этой функции, также удовлетворяющая этому уравне-

нию, но принадлежащая собственному значению оператора H , равная −E ≤ 0 . Покажем, что искомая функция имеет вид:

ψ′ =γ$1γ$

2 γ$

3ψ =γ$

5ψ,

(50.3)

где, для краткости, введено обозначение: γ$5 ≡ γ$1γ$2 γ$3 .

Таким образом, нам необходимо доказать,

что функция ψ ′

удовлетворяет

уравнению:

′

(50.4)

Hψ

= −Eψ .

Для доказательства, умножим уравнение (50.1) слева

на γ$

и учтем

коммутационные свойства матриц Дирака:

γ$k γ$l + γ$l γ$k = 0,

(k ≠ l );

(50.5)

γ$k2 = 1,

(k = l ).

или,

вводя обозначение:

В этом случае, получим γ

5 H ψ =

E γ 5

′ = γ

5 H ,

приходим к уравнению:

(50.6)

H ′ψ = Eψ′.

Преобразуем оператор

H ′, используя условия (50.5):

+ m0c

H ′ = γ 5 H

= γ

5 ic

4 γ p

= γ1

γ 3

4 ic

γ1 px

+γ 2 p y +

γ 3 pz

(50.7)

3 = −

+ m0c

= − ic γ 4 γ p+ m0c

1 γ

ic γ

4 γ p

γ 5

= − H γ 5 .

Таким образом, матрица γ$

антикоммутирует с релятивистским гамильтониа-

ном (50.2). Тогда уравнение (50.6) сводится к условию:

− H γ 5

ψ = E γ

5 ψ , т.е.

136

	′	′	(50.8)
H ψ		= −Eψ ,	(50.8)

что и требовалось доказать.

Вывод: Если существуют состояния с волновыми функциями ψ , кото-

рые являются решениями уравнения Дирака с положительной энергией E ≥ 0 , то должны существовать также и решения с волновыми функциями ψ ′, для

которых энергия отрицательна.

Общее требование полноты собственных функций оператора H не позволяет игнорировать решения с отрицательной энергией. Поэтому из усло-

вия E2 = m02c4 +c2 p2 необходимо выражать энергию с учетом обоих знаков перед квадратным корнем:

E = ± m02c4 +c2 p2 .

(50.9)

Учитывая, что область изменения импульса 0 ≤ p ≤ ∞ , энергетическую диаграмму свободной релятивистской частицы с массой покоя m0 можно представить в виде рисунка:

m0c2


- m0c2	2m0c2

Однако, классическая интерпретация состояний с Е<0 приводит к аб-

сурдным выводам. Укажем здесь три принципиальные проблемы. Во-первых, при Е<0 масса частицы m = cE2 <0, и такая частица под дей-

ствием, например, тормозящей силы будет не замедляться, а ускорятся, что противоречит опыту.

Во-вторых, минимальная возможная энергия не равняется энергии покоя m0c2 , а стремится к −∞. Тогда при переходе частицы в состояние с мень-

шей энергией она излучала бы бесконечное количество энергии, что также физически не допустимо.

В-третьих, с классической точки зрения, энергия частицы не может изменяться скачкообразно, поэтому переход из области с положительной энергией в область отрицательных энергий невозможен из-за наличия запрещенной зоны ширины 2m0c2 . Таким образом, частицы должны вечно находиться

лишь в состоянии с положительной энергией.

Поэтому в классической теории, включая СТО, существование области с Е<0 считалось физически невозможным.

137

Напротив, в квантовой механике игнорирование области с Е<0, которая описывается волновой функцией ψ ′, не допустимо.

Во-первых, скачкообразные переходы в квантовых системах являются

преобладающими.

Во-вторых, удаление состояний с волновой функцией ψ ′ делает систе-

му собственных функций релятивистского гамильтониана H не полной, что противоречит общим принципам квантовой механики.

Для решения указанной проблемы, Дирак, по аналогии с зонной теорией диэлектриков, предположил, что, например, электроны могут находиться на отрицательных уровнях энергии. Причем они полностью заполнены в соответствии с принципом запрета Паули. Однако эти электроны не способны менять свою энергию, не создают никакого собственного поля и следовательно являются ненаблюдаемыми. Такое состояние назвали физическим вакуумом.

Если перевести электрон физического вакуума в область положитель-

ных энергий, то он становится реальной частицей, наблюдаемой эксперимен-

тально. При этом в зоне отрицательных энергий образуется вакантное место

(дырка, по терминологии полупроводников). Эта дырка ведет себя как частица с положительной энергией и массой, равной массе электрона, но с положительным электрическим зарядом +е. Такая частица названа античастицей по отношению к электрону, или позитроном. Рождение электрон-позитронной

пары можно экспериментально осуществить, например,	под действием
γ -квантов, пролетающих вблизи ядра с энергией Eγ ≥ 2m0c2	= 2 0,511МэВ =

= 1,02 МэВ. В отсутствие третьей частицы процесс становится невозможным из-за действия законов сохранения энергии и импульса.

Обратный переход электрона на вакантное место сопровождается излучением 2-3-х γ -квантов, и приводит к исчезновению e−e+ -пары. Этот процесс называется реакцией уничтожения или аннигиляцией. Предсказанный Дира-

ком позитрон был экспериментально обнаружен в космических лучах Андерсеном в 1932 г. Это явилось огромным триумфом теории Дирака.

§ 51. Введение спина электрона в теории Дирака

До сих пор мы рассматривали свободное движение электрона, которое описывается уравнением Дирака (в форме общего уравнения Шредингера):

	∂ψ		ψ .	(51.1)
ih		= H 0
	∂t

Если учесть стандартную зависимость волновой функции от времени как для свободной частицы, так и при наличии стационарных силовых полей:

− i Et

ψ (r,t )= e h ψ (r),

то уравнение Дирака (51.1) для координатной части волновой функции при-

мет вид стационарного уравнения Шредингера: 138

	(51.2)
H ψ (r)= Eψ (r).

В дальнейшем мы ограничимся лишь стационарным вариантом теории, который описывается уравнением (51.2).


Для свободного релятивистского электрона оператор H = H 0

H 0	= c α p+ m c2	α4 .
	0

а волновая функция представляет собой 4-х рядный столбец:

ψ1 ψ = ψ2 ≡ Φ .

ψ3 χψ4

имеет вид: (51.3)

(51.4)

Здесь мы формально ввели две 2-х рядные функции Φ и χ согласно условию:

ψ	1	;	ψ	3		(51.5)
Φ =	1	;	χ =	3	.	(51.5)
ψ2			ψ	4

Этот шаг дает нам возможность представить одно уравнение (51.2) для 4-х компонентной функции ψ в виде системы двух уравнений для 2-х компо-

нентных функций Φ и χ . Для этого запишем оператор H 0

m c2

H = c α p+ m c2

α4

= c

p+m c2

σ 0

0 −σ

c σ p

в виде (48.13):

c σ p	.


−m c2 σ
0

Тогда уравнение (51.2), с учетом (51.4), легко можно привести к системе уравнений вида:

m0c2Φ+cσ$ p$χ = EΦ; cσ$ p$Φ −m0c2 χ = Eχ.

Или после перегруппировки членов, окончательно имеем:

(E −m0c		$	$	(51.6)
	2	)Φ = cσ pχ;

(E +m0c		$	$	(51.7)
	2	)χ = cσ	pΦ.

Полученная система уравнений полностью эквивалентна исходному уравне-

нию Дирака и является его новой формой.

Для дальнейшего, произведем предельный переход к нерелятивист-

скому пределу, сохранив лишь члены первого порядка малости по параметру

. Выделяя

полной

энергии

кинетический

член E =T + m0c2 ,

получим:

E + m c2

=T + 2m c2 = 2m c2

≈ 2m c2 . Здесь

мы пренебрегли

поправкой

2m c

m v2

. Тогда из уравнения (51.7) можно выразить функцию χ че-

2m c2

4m c2

рез Φ:

139


	$ $
χ =	σ p		Φ .		(51.8)
χ =	2m c		Φ .		(51.8)
	2m c
		o
Множитель перед Φ имеет порядок		p	v	. Следовательно, функция	χ в не-
Множитель перед Φ имеет порядок		m c	v	. Следовательно, функция	χ в не-
		m c	c
	0

релятивистском пределе является малой по сравнению с функцией Φ, и квантовое уравнение Дирака с точностью до членов порядка vc сводится к двухкомпонентному уравнению для Φ, которое следует из (51.6):

2		1	$ $	2
(E −m0c	)Φ =		(σ p)		Φ.	(51.9)
(E −m0c	)Φ =	2m	(σ p)		Φ.	(51.9)
		0

Фактически, последнее уравнение представляет собой задачу на собст-

венные значения для свободной частицы:

			=TΦ,			(51.10)
где оператор Гамильтона равен:	H Φ		=TΦ,			(51.10)
где оператор Гамильтона равен:					2
		1			2
H =				σ p .		(51.11)
H =		2m0		σ p .		(51.11)
		2m0

Уравнение Дирака в нерелятивистском пределе (51.10) называется уравнением Паули.

Рассмотрим один из важнейших вопросов релятивистской квантовой механики: введение спина и спинового магнитного момента электрона, кото-

рый на эмпирическом уровне был определен в виде соотношения (33.6):

$		e $		eh $
μs	= −		S = −		σ.	(51.12)

		m0		2m0

Так как спин проявляет себя в магнитных экспериментах, то рассмот-

рим уравнение Паули для электрона в магнитном поле.

В электродинамике магнитное поле описывается вектором магнитной индукции B или векторным потенциалом A , связанные условием:

B = rotA =×A.

(51.13)

При этом правильные динамические уравнения получаются, если в гамильто-

ниане свободной частицы произвести формальную замену p → g ,	где обоб-
щенный импульс частицы в магнитном поле равен:
g = p −eA .	(51.14)

Производя эту замену и переходя к соответствующим операторам, тогда гамильтониан (51.11) примет вид:

	1		2
H =		σ g$	.
H =	2m0	σ g$	.
	2m0

Не сложно доказать равенство (см. замечание):

				2	2
			σ g$	= g		− ehσ B .

Тогда оператор		(51.15) примет вид:
Тогда оператор	H	(51.15) примет вид:

(51.15)

(51.16)

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.2015501.2 Кб566решебник.docx
#
18.04.201513.95 Кб13россия.docx
#
11.07.201913.89 Mб14Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии.rtf
#
22.08.201930.64 Кб5русский СЕЛЕЗНЁВА(ТРХ-111).docx
#
25.09.201969.55 Кб7с группы.docx
#
22.03.20162.6 Mб61с.м.чернов_квантовая механика.pdf
#
18.04.2015197.73 Кб38савицкая .docx
#
18.04.2015173.57 Кб13Сведения о родителях 2014-2015.doc
#
18.04.2015447.02 Кб13Сельский туризм.pdf
#
15.08.201956.85 Кб0сем1.docx
#
11.11.2019243.71 Кб9Семаго содер и организ.doc