с.м.чернов_квантовая механика

использовано значение интеграла Френеля:

Тогда вероятность пребывания осциллятора вне классических границ

поля, очевидно, равна: w2 =1 − w1 = 0,317 .

3.5. Вычислить ток холодной эмиссии электронов из металла с энергией Ферми F , помещенного во внешнее постоянное однородное электрическое поле напряженностью ε.

Решение:

При включении электрического поля потенциальная энергия электрона вне металла равна: U (x)=U0 − eεx , где U0 – потенциал на границе металл-

вакуум (х=0). Таким образом, электроны, расположенные на уровне Ферми, отделены от внешней области треугольным потенциальным барьером, который они способны преодолеть в результате туннельного эффекта.

Вычислим вначале коэффициент проницаемости этого барьера:

где граничные точки равны: x1 = 0, x2 = U0e−ε F . Введя замену переменных t =U0 − eεx − E , интеграл в условии (1) элементарно вычисляется:

где параметр с зависит от свойств конкретного металла, и определяется формулой:

Аналогично формуле (2), ток холодной эмиссии (вольтамперная характеристика) будет иметь вид:

J= J0 exp −εc .

3.6.Вычислить коэффициент проницаемости потенциального барьера при α-распаде ядра с зарядом (Z + 2)e в случае, когда кинетическая

энергия α-частицы EnU0 , где U0 – высота кулоновского барьера. Срав-

161

3.8. Частица движется в центральном поле U(r), удовлетворяющему

условию:

limr2U(r)= 0,

r→0

(т.е. растет в нуле не быстрее r12 ). Оценить вероятность нахождения час-

тицы вблизи силового центра (r → 0).

Решение:

Совершая предельный переход (r → 0) в радиальном УШ для функции f (r ), получим уравнение:

Будем искать решение последнего уравнения в виде степенной функции f (r )= Ark , где k – подлежит определению. Подставляя это решение в пре-

дыдущее уравнение, получим условие, которое выполняется в двух случаях: k1 = l +1, k2 = −l . Второе решение не удовлетворяет граничным условиям

f (0)= 0 , и таким образом, решение предыдущего уравнения, удовлетворяю-

щее стандартным условиям, должно иметь вид:

f(r )= Arl +1,

арадиальная волновая функция R (r )= Arl .

Плотность вероятности обнаружение частицы вблизи силового центра в

полях, удовлетворяющих условию задачи, равно:

w(r )= f (r )2 = A2r2(l+1),

т.е. w(r) убывает с ростом l . Физически это можно объяснить возрастанием центробежного отталкивания с увеличением момента импульса частицы.

3.9. Частица движется в центральном поле U(r), исчезающее на бес-

конечности:

lim U(r)= 0 .

r→∞

Оценить вероятность нахождения частицы на далеких расстояниях от силового центра.

Решение:

При r → ∞ радиальное УШ для функции f (r ) примет вид:

d 2 f + 2m0 E f = 0. dr2 h2

164

Будем различать два случая: E ≥ 0 и E ≤ 0 .

В первом случае (E ≥ 0) решение уравнения имеет вид: f (r)= Asin (kr +α),

где введено обозначение: k 2 = 2mh20 E ≥ 0.

Этот случай соответствует сферически расходящимся от центра волнам:

R (r )= A sin (kr +α ) r

и вероятность пребывания частицы на бесконечном удалении от центра w(r ) = A2 sin2 (kr +α ) ≠ 0 не исчезает при r → ∞ (инфинитное движение).

Во втором случае (E ≤ 0) решение уравнения, удовлетворяющее усло-

вию ограниченности, имеет вид:

f (r)= Be−χr ,

где введено обозначение: χ2 = − 2mh20 E ≥ 0.

Плотность вероятности нахождения частицы на больших расстояниях от центра w(r ) = B2e−2χr → 0 при r → ∞, что соответствует связанному состоя-

нию (финитное движение).

Замечание. Можно строго доказать, что волновая функция состояния с

дискретным спектром энергии E квадратично интегрируема, т.е.

∫ψ 2dV ≤ ∞, а волновые функции состояния сплошного спектра E не могут

быть квадратично интегрируемы.

На основании этой теоремы можно сделать общий вывод: в случае E ≥ 0

спектр энергии является сплошным, и частица может уйти на бесконечно удаленные расстояния от центра (ионизация атома); в случае E ≤ 0 частица с дискретным спектром энергии образует связные состояния.

3.10. Вычислить для 1s-электрона в атоме водорода среднеквадратичный разброс координат ( r2 )1 2 .

Решение:

Для основного состояния атома водорода (1s-состояние) радиальная волновая функция R10 (r ) равна

где a0 – первый боровский радиус.

165

Тогда вводя функцию f10 (r ) = rR10 (r ), можно вычислить

связь между Uo иro для дейтрона с энергией связи ε=2,226 МэВ. Оценить

Uo , если ro = 2 Фм. Сравнить качественно ядерные силы с электромагнитным взаимодействием.

Решение:

Так как поле U (r) является сферически симметричным, то для решения задачи воспользуемся радиальным УШ. для функции f (r) = rR(r) :

Для выбранной модели сферической прямоугольной ямы потенциал U(r) имеет вид:

166

При наличии двух равенств типа (8) удобнее разделить второе уравне-

ние на первое, т.е. приравнять логарифмические производные ( f ′ f = (ln f )′)

в точке r = ro , что приводит к равенству:

нии нулевой энергии связи дейтрона мы получаем:

Заметим, что наши расчеты зависят от характерной комбинации параметров потенциала Uoro2 , который будем называть эффективностью потенциала.

Для численных оценок, учтем, что из мезонной теории следует, что ro = 2

Фм, тогда из формулы (10) окончательно получаем Uo = 51,2 МэВ. Важно заметить, что энергия связи дейтрона ε = 2,226 МэВ мала по сравнению с глубиной потенциальной ямы, следовательно, приближение нулевой энергии связи является разумным приближением.

Для сравнения ядерных сил с электромагнитным взаимодействием можно оценить, например, потенциальную энергию кулоновского отталкивания двух протонов, находящихся на расстоянии ro = 1,414 Фм:

3.12.Оценить “эффективные размеры” дейтрона и относительное время нахождения нуклонов в области действия ядерных сил τ

(r < ro = 1,41 Фм).

Решение:

Эффективным размером дейтрона Rd можно назвать такое значение r, при котором нуклонная плотность в ядре падает в e раз. Так как нуклонная плотность на периферии ядра в соответствии с формулой (7) равна f22 (r )= B2 exp (−2γr ), то в соответствии с нашим определением:

Следовательно, дейтрон имеет размеры, превышающие радиус действия ядерных сил, и поэтому является “рыхлой” системой. Об этом говорят и

168

оценки относительного времени нахождения нуклонов в области действия ядерных сил τ :

В выражении (3) и (4) учтены условия (8) и (10) предыдущей задачи. Из формулы (2) окончательно получаем:

Следовательно, в области ядерного притяжения нуклоны в среднем находятся лишь 24% времени, а вне потенциальной ямы – 76%. Этот эффект качественно объясняет малость энергии связи дейтрона (ε nUo ) .

Ответ: Rd = 2.2 Фм; τ = 0, 24.

3.13. Показать, что связанного состояния двух нуклонов с относительным орбитальным моментом l ≠ 0 не существует.

Решение:

Необходимым условием того, что NN – система находится в связанном состоянии, является условие отрицательности полной энергии системы (Е < 0). Если l ≠ 0 , то из-за центробежных эффектов должны появляться силы отталкивания, потенциальная энергия которых по порядку величины равно:

Тогда полная энергия дейтрона будет равна:

Отсюда видно, что при любых l ≠ 0 (l = 1, 2, 3, ...) энергия Е > 0, и дейтрон не имеет возбужденных уровней энергии.

3.14. Определить явный вид матриц Паули σ$x и σ$y в случае, если матрица σ$z диагональная (z-представление):

169