с.м.чернов_квантовая механика
.pdf3.16. Найти результат действия операторов σ$x , σ$y , σ$z на базовые спи-
новые функции:
|
|
1 |
|
; |
|
0 |
|
|
α = |
0 |
|
β = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: σ x α = β; |
σ y α = iβ; σ z α =α; |
|
|
||||
σ x β =α; |
σ y β = −iα; |
σ z β = −β. |
|
|
3.17. Показать, что в системе из двух электронов спиновые функции φs,ms , соответствующие значению полного спина s = 1, описываются
симметричными функциями, а в случае s = 0 – антисимметричными функциями вида:
|
s = 0 |
φ00 |
= α1β2 - α2β1 ; |
|
|||
|
ms = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
φ |
= α α |
|
s = 1 |
|
|
|
11 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
ms = 0, ±1 |
|
|
φ10 = α1β2 + α2β1 |
||||
|
|
|
φ |
= β β |
2 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1-1 |
1 |
где s и ms – квантовые числа суммарного спина |
|
$ |
$ |
$ |
, определяющие |
|||||||||||||||
|
S = S1 |
+ S2 |
||||||||||||||||||
$ |
2 |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с.з. операторов S |
|
и Sz . |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Образуем вектор спина двухэлектронной системы: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
$ |
$ |
$ |
|
h |
$ |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = S1 |
+ S2 |
= |
|
(σ1 |
+ σ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и построим операторы S |
и S z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
h |
2 |
2 2 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||||
S = |
|
σ |
1 +σ 2 + 2 σ1 σ2 ; |
|
S z = |
σ |
1z + |
σ 2 z |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для примера рассмотрим лишь один вариант решения задачи. Например, до-
кажем, что функция ϕ11 |
является с.ф. |
операторов |
|
$ |
2 |
и |
|
$ |
соответствующая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
S z , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с.з. S 2 = h2 s (s +1) = 2h2 и |
S |
z |
|
= hm = h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
h |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S |
|
ϕ |
|
= |
|
|
|
σ |
1 +σ2 |
+ 2σ1 σ2 |
α α |
|
= |
|
|
3δ+3δ |
+2 |
|
σ1x σ2x +σ |
1y σ2 y +σ1z σ |
2z |
α α |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
6δ α α |
+ 2 |
|
σ |
1x α σ2x |
α |
2 |
+ |
σ1y α σ2 y α |
2 |
+σ1z |
α σ2z |
α |
2 |
|
= |
h |
|
|
6δ α α |
|
+2(β β |
|
+iβ iβ |
2 |
+α α |
|
) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
1 2 |
|
1 2 |
|
1 |
1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
h2 |
(6α α |
2 |
+ 2α α |
2 |
)= 2h2α α |
2 |
|
= h2s (s +1)ϕ |
, |
|
где s =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S z |
ϕ11 = |
|
|
|
|
|
σ1z |
+σ |
2 z α1α2 |
= |
|
|
|
α2 σ1z |
α1 +α1 σ 2 z |
α2 |
= hα1α2 |
= hm |
ϕ11 , |
где m |
s |
= |
+1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались результатами задач (3.12) и (3.13). 171
Задачи к главе IV
4.1. Найти волновую функцию частицы, движущейся в поле U(x), в квазиклассическом приближении с точностью до членов квадратичных по h .
Решение:
Подставляя в стационарное уравнение Шредингера
− |
h |
d 2ψ (x) +U (x)ψ (x) = Eψ (x) |
(1) |
||||
2m |
|||||||
волновую функцию вида |
dx2 |
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
S (x) |
, |
(2) |
||
|
|
ψ(x) = eh |
|||||
|
|
|
|||||
для S(x) получаем дифференциальное уравнение: |
|
||||||
|
ihS'' −S'2 +2m(E −U ) = 0 , |
(3) |
где введено обозначение для производной S ' = dSdx .
Представим S(x) в виде разложения по степеням h точностью до квадратичных членов:
S(x) ≈ S |
0 |
(x) + hS (x) + h2 S |
2 |
(x) . |
(4) |
|
1 |
|
|
Тогда из уравнения (3) получаем:
[2m(T −U ) − S0'2 ] +h[iS0'' − 2S0' S1' ] +h2[iS1'' − S1'2 −2S0' S2' ] ≈ 0 .
Здесь мы отбросили члены со степенями по h выше двух. Приравнивая нулю множители перед h , получаем систему уравнений для Si (x) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0'2 = 2m(E −U ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
' |
= |
|
i |
|
|
S0'' |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 S0' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2' |
= |
|
iS'' −S'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S0' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вводя импульс частицы |
p = |
|
2m(E −U ) , для соответствующих поправок |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0' = ± p S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S0'' |
|
|
|
= ±∫ pdx |
|
|
(6) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S ' |
= |
|
i |
|
= |
i |
|
p' |
; dS |
|
= |
i |
dp |
S |
|
= |
i |
ln p = i ln p . |
(7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 S0' |
|
2 p |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 p |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Учитывая, что S'' = |
i |
|
p'' |
p − p'2 |
|
, для S |
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
S ' |
= |
1 |
(− 1 |
p'' p − p'2 |
|
+ 1 |
p'2 |
) = |
3 p'2 |
− |
p'' |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 p3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 p 2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 p2 |
|
4 p2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
∫ |
p'2 |
1 |
p''dx |
|
S2 = |
8 |
|
dx − |
4 |
|
|
p3 |
p2 |
Второй интеграл можно проинтегрировать по частям:
|
|
|
|
|
|
|
p''dx |
|
1 |
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p' + 2∫ |
p'2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
d ( dx ) = |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
p2 |
|
p2 |
|
p2 |
|
p3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 p' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = − |
4 |
|
|
|
− 8 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Производную p' можно выразить через силу F, действующую на части- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цу: |
|
|
|
|
|
|
|
= dp |
= dp |
dt |
|
|
|
|
|
F |
= mF ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p' |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dt dx |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 mF |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = − |
8 m |
|
|
|
|
dx − |
4 p3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, искомая волновая функция в рассматриваемом прибли- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жении имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
S ( x) |
|
|
i |
(S |
+hS |
+h2S |
) |
|
|
|
i |
S +iS |
|
+ihS |
2 ≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ψ = eh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= eh 0 |
|
1 |
2 |
|
|
= eh |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
A |
1− imh |
F |
|
− ihm |
2 |
|
F |
2 |
|
e± |
i |
|||||||||||||||||||||||||
≈ e |
|
S0 +iS1 (1+ihS |
) = |
|
|
|
|
dx |
|
∫pdx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
|
|
|
h |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
4 p |
3 |
|
|
|
|
|
|
8 ∫ |
p |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненциальном множителе эквивалентно появлению такой же поправки в фазе волновой функции, причем эта поправка пропорциональна h.
∞ U (x) |
|
|
4.2. |
Получить правило квантования |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
энергетических уровней и найти соответст- |
|
|
|
|
En |
|
|
|
|
вующие |
им квазиклассические волновые |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции в случае потенциала, изображенного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
на рисунке 17. Получить квазиклассические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уровни энергии частицы в однородном поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тяжести в случае, когда ее движение ограни- |
|
|
0 |
|
a |
x |
|||||
|
|
чено снизу идеально отражающей плоскостью. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17.
Решение:
В квазиклассическом приближении волновые функции слева и справа от точки остановки (x = a) имеют вид:
173
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
exp(− 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ψ ( x) = |
|
|
|
∫ |
|
p |
|
dx), |
при x>a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
|
p |
|
= |
|
|
2m(U ( x) − E ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ (x) = |
|
|
|
|
sin( 1 |
∫ pdx + π ), при 0 ≤ x<a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где p = |
|
|
2m(E −U (x)); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ψ (x) = 0, |
|
|
при x ≤ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Из последних двух условий находим искомое правило квантования: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
π ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
(0) = sin( |
∫ pdx + |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ 2m(E −U )dx + |
= πn |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как левая часть всегда положительна, то n=1, 2, 3… |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h ∫ 2m(E −U )dx = π(n + |
1) − 4 |
= π(n + 4) , где n=0, 1, 2… |
(1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В однородном поле тяжести U(x)=mgx, уровни энергии находим из ус- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ловия (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, где a = |
. |
|
|
||||||||
I = ∫ 2m(E − mgx)dx = πh(n + |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
mg |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл в левой части легко вычисляется подстановкой |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
t = 2m(E − mgx); dt = −2m2 gdx; |
|
c пределами t = 2mE, t |
2 |
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
) , |
|
|
|
|
|||
|
|
I = |
|
|
|
(2mE) |
2 |
= πh(n + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3m2 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
отсюда окончательно получаем: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E = ( |
|
mg2h2 )3 |
(n + |
3)3 |
, n = 0,1, 2... |
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обычно, квазиклассическое приближение применимо при n.1, но в |
данном случае получено хорошее приближение и при n 1. В частности, при
n=0 из (4.2) получаем E |
|
1 |
, причем точное значение для основного |
||
0 |
=1,84(mg 2h2 )3 |
||||
|
|
|
|
|
|
уровня равно: E |
|
|
|
1 |
|
0 |
=1,86(mg 2h2 )3 . |
|
|||
|
|
|
|
|
174
Полученный результат (7) совпадает с точным решением (3), следовательно, поправки третьего и более высоких порядков будут тождественно равны нулю. Это подтверждается и непосредственными расчетами.
4.5. Считая ядро равномерно заряженным шариком радиуса
R = 10-14 м, рассмотреть смещение основного уровня и расщепление возбужденного уровня энергии водородоподобного атома, обусловленные конечными размерами ядра.
Решение:
Для точечного ядра, когда потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром является кулоновской, невозмущенный гамильтониан имеет вид:
|
|
h |
2 |
|
Ze |
2 |
. |
|
H 0 |
= − |
|
− |
|
||||
2m |
4πε |
0r |
||||||
|
|
|
|
Решение УШ в этом случае хорошо известно:
ˆ |
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
H0ψnem = Enψnem ; |
|
|
|
|
|||||||
E |
0 |
= − |
me4 |
|
|
Z 2 |
|
; |
|
(1) |
|
|
2h2 (4πε0 )2 n2 |
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
ψ |
0 |
|
= R Y m (θ |
,ϕ), |
|
|
|
|
|||
nlm |
|
nl l |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Ze – заряд ядра; n=1,2,3…; |
l=0,1,2…(n-1); m = 0, ±1,..., ±l; |
Y m |
– шаровая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
функция. Уровни энергии E0 |
являются k = n2 |
– кратно вырожденными, при- |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чем вырождение по l является спецификой кулоновского потенциала, а по m –
центральной симметрией поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В частности, |
основное |
|
состояние |
|
|
(n=1, |
l=0, m=0) невырождено |
||||||||||||||
( k = n2 =1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
m e4 |
|
|
|
|
|
1 Z 2e2 |
||||||
|
|
|
E0 |
|
= − |
|
|
|
Z |
2 = − |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
2h2 |
(4πε |
0 ) |
2 a |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ψ 0 |
|
|
≡ |
ψ |
0 |
= R (r)Y 0 |
(θ,ϕ); |
|
||||||||||
|
|
|
100 |
|
|
|
|
10 |
|
|
0 |
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
R |
|
(r) = 2 |
|
Z 3 |
e−Z a ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y 0 |
(θ,ϕ) = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h2 (4πε0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где a = |
= 0,528 |
10−10 м – первый Боровский радиус. Первое возбужден- |
|||||||||||||||||||
m e2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное состояние (n=2; l=0,1; m=0, ±1) четырехкратно вырождено k = n2 = 4 :
178
E |
0 |
|
= − |
|
|
m e4 |
|
|
|
|
|
Z |
2 |
= − |
Z 2e2 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2h2 (4πε0 )2 22 |
8a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ψ |
200 |
= R |
(r)Y 0 |
(θ,ϕ) ≡ψ 0 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
20 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z 3 e− 2 |
|
|
|
(1− Z |
r |
); |
|
|
|
|||||||||||||
R |
|
|
(r) = |
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
= R |
|
(r)Y m (θ,ϕ) ≡ψ |
|
0 , (m |
|||||||||||||||||||
ψ |
21m |
|
|
= 0, ±1); |
|||||||||||||||||||||||
|
21 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z 3 |
e− |
Z r |
Z |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
|
|
(r) = |
|
2 |
|
a |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
6a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Y |
0 |
(θ,ϕ) = |
3 |
cosθ |
;Y ±1(θ,ϕ) = |
3 |
sinθ e±iϕ ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, уровню энергии E2 соответствует четыре волновые
функции {ψ200 ,ψ210 ,ψ211,ψ21−1} ≡{ψ1,ψ2 ,ψ3 ,ψ4}.
Для построения оператора возмущения необходимо вычислить потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром в виде шара радиуса R и зарядом Ze . Этот результат хорошо известен из курса электродинамики:
|
|
|
|
− |
Ze |
2 |
|
|
|
( |
3 |
− 1 |
r |
2 |
), |
|
r ≤ R; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
R (4πε0 ) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
U (r) = |
|
|
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
Ze2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r > R. |
|
|
||||||||
|
|
|
(4πε0 )r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравнивая последнее выражение с кулоновским потенциалом для то- |
||||||||||||||||||||||||||
чечного ядра, когда U (r) = − |
|
Ze2 |
|
, |
для оператора возмущения получаем вы- |
|||||||||||||||||||||
(4πε0 )r |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ражение вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze |
2 |
|
|
|
|
|
|
ze |
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
( |
− |
1 |
|
r |
), r ≤ R; |
|
|||
' |
=U (r) −U0 (r) |
|
(4πε0 )r |
|
|
|
(4πε0 )R |
2 |
|
2 |
(5) |
|||||||||||||||
H |
|
= |
|
|
|
|
|
|
2 R |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r > R. |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Смещение основного уровня энергии атома.
Так как основной уровень не вырожден, то можно применять стационарную теорию возмущения для невырожденных состояний. В частности, поправка первого порядка малости равна диагональному матричному элементу:
E |
' |
' |
* ˆ ' |
|
|
|
(6) |
|
= H00 |
= ∫ψ0 H ψ0 dV . |
ˆ ' |
(5), а также |
|
||
Используя волновую функцию (3), оператор |
2 |
drdΩ |
|||||
H |
dV = r |
и условие нормировки ∫Y00 2 dΩ =1 , получаем:
179
|
Z |
3 |
|
R |
−2Z |
r |
|
|
2 |
|
Ze |
2 |
3 |
|
1 |
r |
2 |
|
|
E' = 4 |
|
|
drr2e |
|
a Ze |
|
− |
( |
− |
|
) . |
(7) |
|||||||
(4πε0 )a |
3 |
|
R |
2 |
2 R |
2 |
|||||||||||||
|
|
∫0 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае a 10−10 м, R 10−14 м, и даже при Z 100 показатель экспоненты 2ZRa < 2 10−2 является малым, и во всех дальнейших оценках будем
заменять exp(− 2aZr ) ≈1 . Тогда смещение основного уровня, вызванное конечностью размеров ядра, будет равно:
E' ≈ 4 |
Z 4e2 |
|
R |
3 |
r2 |
|
1 |
|
r4 ) = |
2 Z 4e2 |
R 2 |
(8) |
||||
|
|
dr(r − |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(4πε0 )a |
3 |
2R |
2R |
3 |
5 a |
|
||||||||||
|
|
∫0 |
|
|
|
|
a |
|
Оценим относительное смещение основного уровня (2):
|
E' |
|
|
2 Z 4e2 |
R 2 |
|
1 Z 2e2 |
|
4 |
|
2 |
|
R 2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
δ = |
|
|
|
= |
|
|
|
/ |
|
= |
|
Z |
|
|
|
|
, |
0 |
5 a |
2 a |
5 |
|
|
||||||||||||
|
E1 |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
что даже для Z 100 является весьма малым δ 10−4 .
б) Расщепление первого возбужденного уровня энергии.
Так как поле “реального” ядра хотя и остается центральносимметричным, но уже не является кулоновским. Поэтому следует ожидать расщепление этого уровня на два подуровня, соответствующие различным l=0,1.
Так как уровень E20 является 4-х кратно вырожденным, то для нахождения первой поправки E' необходимо решить вековое уравнение вида:
|
(H ' − E' ) |
H ' |
H ' |
H ' |
|
|
|
||
|
11 |
(H ' |
12 |
13 |
|
14 |
|
|
|
|
H ' |
− E' ) |
H ' |
H |
' |
|
= 0 , |
(9) |
|
|
21 |
22 |
|
23 |
|
24 |
|
||
|
H31' |
H32' |
(H33' − E' ) |
H34' |
|
|
|
||
|
' |
|
' |
' |
' |
|
|
|
|
|
H |
|
' |
|
|
||||
|
H41 |
42 |
H43 |
(H44 |
− E ) |
|
|
где матричные элементы равны:
' |
0* ˆ ' 0 |
* ˆ ' |
2 |
m* m ' |
. |
|
Hmn = |
∫ψm H ψndν = ∫Rm H |
Rnr |
dr ∫dΩYe Ye ' |
|||
Так как шаровые функции ортонормированны как по верхнему, так и |
||||||
по нижнему индексу, т.е. |
Hmn' = ∫dΩYem*Yem' |
' =δee'δmm' , |
|
|||
|
|
то все недиагональные элементы ( m ≠ n ) равны 0. Диагональные матричные элементы с учетом (3) в пренебрежении малыми членами, содержащими от-
ношение Ra 10−4 , будут равны:
180