с.м.чернов_квантовая механика

В частности, H0 =1; H1 = 2ρ; H2 = 4ρ2 − 2; H3 =8ρ3 −12ρ, ... Легко проверить,

что полиномы Чебышева-Эрмита удовлетворяют рекуррентному соотноше-

нию:

В целом, в.ф. осциллятора (22.9) удовлетворяет условию ортонормированно-

сти:

Рассмотрим более подробно структуру энергетических уровней квантового осциллятора (22.8).

Во-первых, отметим, что расстояние между соседними уровнями энергии

одинаково для все уровней, независимо от n:

E = En+1 − En = hω.

Такие энергетические уровни называются эквидистантными.

Во-вторых, в отличие от классической и планковской теорий, наи-

которая называется энергией нулевых колебаний.

Экспериментально энергия нулевых колебаний наблюдается в опытах по рассеянию света на монокристаллах, находящихся при абсолютном нуле температуры. На примере данной задачи, мы видим справедливость выполне-

ния важного принципа: в микромире запрещен абсолютный покой!

Покажем, что это свойство связано с корпускулярно-волновыми свойст-

вами материи, следствием которых являются соотношения неопределенности Гейзенберга.

Линейный осциллятор представляет собой частицу, которая совершает

Минимальное значение функции (22.15) достигается при x02 = 2mhω , и

составляет Emin = E0 = 12 hω.

51

Замечание. Решение уравнения (22.7), удовлетворяющее стандартным условиям.

Рассмотрим решение уравнений вида:

Найдем вначале асимптотику волновой функции при ρ →∞. В этом случае уравнение (22.16) примет вид:

d2ψ −ρ2ψ =0 dρ2

Непосредственной подстановкой легко проверить, что решением этого уравнения, убывающим на бесконечном удалении, является функция

−1 ρ2

ψ = e 2

.

Следовательно, решение исходного уравнения, имеющего правильную асимптотику, можно записать в виде:

Чтобы не было расходимости волновой функции ψ при ρ →0 , необходимо потребовать, чтобы показатель низшей степени k ≥ 0. Подставляя разложение (22.19) в уравнение (22.18), получим уравнение вида:

k (k −1)ak ρk −2 + k (k +1)ak +1ρk −1 + (k + 2)(k +1)ak+2 −(2k +1−λ)ak ρk +... = 0 .

Так как последнее уравнение должно выполняться тождественно при любомρ ,то все коэффициенты следует приравнять нулю (с учетомk ≥ 0):

Так как ряд (22.19) может начинаться либо со степени k = 0, либо со степени k =1, то рекуррентная формула (22.21) определяет два ряда, содержащие либо четные, либо нечетные степени ρ :

Hчет = a0 + a2 ρ2 + a4ρ4 +...

52

Hнеч = a1ρ + a3ρ3 + a5ρ5 +...

Эти ряды являются независимыми частными решениями уравнения (22.18).

Исследуем поведение полученных рядов при ρ →∞. Рассмотрим, например, ряд с четными степенями ρ , и покажем, что при больших ρ он ведет себя асимптотически как exp(ρ2 ). Действительно:

зом, требование ограниченности в.ф. приводит к необходимости оборвать ряд на конечном члене k = n , так что функция H (ρ)превращается в полином

n -ой степени Hn (ρ):

Таким образом, искомая функция должна иметь вид полинома:

В силу линейности уравнения (22.18), множитель an может быть взят произвольным, но для согласования с математическими построениями Чебышева – Эрмита будем использовать an = 2n.

§ 23. Линейный гармонический осциллятор. Операторная форма

Решим предыдущую задачу, используя абстрактный формализм операторов квантовой механики. Причем, ограничимся поиском лишь уровней энергии осциллятора.

Для одномерного осциллятора гамильтониан имеет вид:

где операторы x$ и p^ x удовлетворяют коммутационному условию:

Покажем, что только на основании этих коммутационных условий можно определить энергетические уровни осциллятора. Прежде всего, перейдем от

размерных параметров x$ и p^ x к безразмерным характеристикам X^ и P^x

согласно условию:

Далее, введем новые операторы, физический смысл которых выясним ниже: a^ ≡ X^ +iP^x; a^ + = X^ + − iP^+ = X^−i P^x. (23.6)

Здесь мы воспользовались свойством эрмитовости операторов координаты и импульса. Обратный переход имеет вид:

Отсюда, в частности, легко получить следующие полезные соотношения:

Докажем, например, первое равенство с учетом (23.9):

Отсюда видно, что осциллятор имеет дискретные, равноудаленные на hω уровни энергии.

Найдем, наконец, минимальную энергию осциллятора. Пусть ψ0 – с.ф.

осциллятора, соответствующая наименьшему значению энергии E0 . Это означает, что a$ψ0 = 0, тогда:

дит его в состояние с энергией (E − hω), т.е. “отбирает” квант энергии hω . Поэтому оператор a$ имеет смысл оператора уничтожения. Напротив, опе-

55

ратор a$+ переводит квантовую систему в состояние с энергией (E + hω) и на-

зывается оператором рождения. Учитывая, что энергия осциллятора (23.15) линейно зависит от целого числа n , то этому выражению можно придать иную физическую интерпретацию. В частности, можно утверждать, что наша система состоит из n одинаковых квазичастиц с энергией hω каждый, называемые фононами (по аналогии с квантами электромагнитного поля – фотонами). Эта идея нашла широкое распространение в физике (экситоны, поля-

роны, плазмоны и т.д.), и является отражением корпускулярно-волновых свойств материи.

Введенные операторы играют фундаментальную роль в квантовой теории поля, описывающей процессы излучения и поглощения энергии, и позволяют в общем виде определять свойства любых квантовых систем с переменным числом частиц.

§ 24. Прохождение частиц через потенциальный барьер

Пусть частица массой m движется вдоль оси 0x с энергией E и на своем встречает потенциальный барьер U(x), максимальная высота которого

(Рис. 6).

U (x)

U0

E

Px2 = E −U (x)< 0 , что физически недопустимо. Следовательно, она может

2m

двигаться лишь в области x ≤ x1 .

Однако квантовая частица может проходить через барьер без измене-

ния полной энергии. Это явление называют туннельным эффектом. Количе-

ственно туннельный эффект будем описывать параметром:

sh2 χa ≈ 14 e2 χa .

Тогда в этом приближении D можно записать в виде:

Замечание 1.

Туннельный эффект играет основную роль лишь в областях микроскопических явлений. Рассмотрим, например, масштабы ядерной физики:

следовательно D ≈ e−1 ≈ 0,3.

Таким образом, 30% ядерных частиц постоянно участвуют в туннельном эффекте (α-распад ядер).

Тогда полный коэффициент проницаемости для всех ступенек:

где интегрирование проводится по запрещенной области x1 ≤ x ≤ x2 , где потенциальная энергия U (x)≥ E .

Замечание 3.

Рассмотрим вопрос о знаке кинетической энергии под барьером. Для этого рассмотрим барьер бесконечной ширины, в котором волновая функция имеет вид:

Из вида волновой функции видно, что вероятность нахождения частиц под барьером экспоненциально уменьшается, то есть можно считать, что час-

тица заходит на расстояния не далее x ~ χ1 . Тогда из соотношения неопре59

деленности Гейзенберга: px ~ px > hx =hχ= 2m(U(x)−E), и неопределенность кинетической энергии превышает величину

.

Отсюда следует, что частица беспрепятственно пролетает над ямой,

как и классическая частица, когда D=1. При этом возможны два случая:

1. k1 = k2 , (U0 = 0); физически это соответствует отсутствию потенциальной ступеньки.

с уровнями энергии в бесконечно глубокой потенциальной яме, то есть частица беспрепятственно проходит над барьером при определенных дискретных значениях энергии. В противном случае, D<1 и частица испытывает надбарьерное отражение. Этот эффект отсутствует в классической физике.

§ 25. Одномерная модель кристалла Кронига-Пенни

Известно, что кристаллические твердые тела состоят из периодически расположенных в пространстве положительно заряженных ионов, в поле которых движутся свободные электроны. Можно представить себе одномерную модель кристалла, когда электроны движутся в периодическом поле в виде прямоугольных барьеров.

Пусть имеется бесконечно протяженное периодическое поле вида:

60