с.м.чернов_квантовая механика

Аналогично для антисимметричной координатной функции Φa полу-

чаем: Eka = K − A. .

Таким образом, поправка первого порядка есть среднее значение куло-

новской энергии взаимодействия, но вычисленное по законам квантовой ме-

ханики с учетом принципа тождественности электронов и свойств симметрии волновых функций. Тем не менее, разделение средней кулоновской энергии на собственно кулоновскую и обменную части оказывается плодотворным при объяснении многих физических явлений в области микромира.

Очевидно, что появление обменной энергии существенно тогда, когда электроны сближаются на малые расстояния, где волновые функции сильно перекрываются. Действительно, если ψ1 имеет максимум там, где ψ2 практи-

чески равно нулю, то

ρ12 = −eψ1* (r1 )ψ2 (r1 ) ≈ 0,

и обменная энергия исчезает A ≈ 0 и Eka,s = K .

Замечание 1. Наличие обменных эффектов при сближении электронных облаков приводит к двукратному расщеплению уровней (пара- и ортогелий), причем величина расщепления целиком определяется обменным интегралом E = 2A . При этом уровни ортогелия ( E0 + K − A ) с параллельной ори-

ентацией спинов расположены ниже, и, следовательно, являются более устойчивыми с энергетической точки зрения. Таким образом, если сблизить атомы с сильно вытянутыми электронными облаками, когда становятся существенными обменные эффекты в зоне перекрывания облаков, то спины (спиновые магнитные моменты) электронов стараются выстроиться в одном направлении, и могут возникнуть гигантские области спонтанной намагничен-

ности (домены), что качественно объясняет природу ферромагнетизма.

Замечание 2. Из приведенного анализа видно, что появление “дополнительных” обменных взаимодействий является спецификой не только куло-

новских сил, но и любых других взаимодействий в природе. Таким образом,

принцип тождественности и, как следствие, наличие определенной симметрии волновых функций, приводящие к появлению обменной энергии, имеет многочисленные проявления в микромире. Обменное взаимодействие не име-

ет аналогов в классической физике, и ее открытие является одним из фундаментальных и новых результатов квантовой физики.

§42. Периодическая система элементов Менделеева

В1869 г. русский химик Д.И. Менделеев расположил известные в то время 63 химических элемента в таблицу по порядку возрастания атомного веса и обнаружил, что через определенное число элементов химические свойства повторяются. И только через 50 лет Н. Бор (1922) дал теоретическое

111

объяснение структуры периодической системы. Современный вид этой таблицы хорошо известен каждому:

В основе построения периодической системы элементов Менделеева положены 3 основные принципа:

1)Структура атомов определяется атомным номером Z , равным заряду ядра. В электронейтральном атоме число электронов также равно Z .

2)Электроны в атомах заполняют энергетические уровни так, что полная энергия системы должна быть минимальной (принцип минимума энергии).

3)В каждом атоме не могут быть более одного электрона с одинаковыми наборами 4-х квантовых чисел n,l,me ,ms (принцип запрета Паули).

Напомним численные значения и физический смысл указанных квантовых чисел:

В атоме водорода энергия зависит лишь от n и не зависит от (l,me ,ms ) .

Вырождение по l есть особенность кулоновского потенциала, вырождение по me и ms вызвано центральной симметрией поля.

В сложных атомах каждый электрон движется в поле ядра, экранированном остальными (Z −1) -электронами. В этом случае эффективная потен-

циальная энергия отличается от кулоновской, вырождение по l снимается и уровни энергии зависят и от n и от l , что становится более существенным при больших l = 2,3....

Определение 1. Совокупность всех электронных состояний атома с заданными значениями n и l называется оболочкой.

В соответствии с принципом Паули данная оболочка может вмещать электроны с различными наборами me ,ms и, следовательно, на данной обо-

лочке может находиться не более k = 2(2l +1) электронов.

Определение 2. Совокупность оболочек с фиксированным n , но различными значениями l называется слоем атома.

Максимальное число возможных различных состояний в слое равно

n−1

k = 2∑(2l +1) = 2n2.

l=0

Рассмотрим вначале идеальную схему, когда свойства сложных атомов совпадают со свойствами атомов водорода, и энергия электронов определяется лишь главным квантовым числом n .

Даже в этой идеальной схеме проявляется периодичность в заполнении слоев и, следовательно, в физико-химических свойствах атомов. Однако в реальной таблице Менделеева периоды составляют иную последовательность числа химических элементов (2,8,8,18,18,32,32,...) . Для объяснения этого несоответствия, следует учесть зависимость уровней энергии в сложных атомах

113

не только от n , но и от l . В частности, анализ показывает, что энергия 4s - состояния лежит ниже 3d-уровня.

Учет этого обстоятельства приводит к следующей схеме заполнения слоев и оболочек.

Порядок заполнения состояний определяется эмпирическими правилами Клечковского:

([89,103]). Это обстоятельство связано с тем, что элементы в каждой группе имеют одинаковую конфигурацию внешних валентных р-электронов, а заполнение идет глубоких d- и f-оболочек, не участвующих в химических соединениях. Поэтому эти элементы приписаны к одной клеточке периодической таблицы.

Замечание. Как уже отмечалось, в сложных атомах электроны распределены по оболочкам с заданными значениями n и l. Обозначения электронных состояний атома совпадает с обозначениями оболочек (nl). Если k электронов имеют одинаковые значения n, l, то их число указывается в виде показателя степени l. Например, конфигурация азота (Z = 7), где по 2 электрона находятся на 1s- и 2s-оболочках и 3 электрона – на 2p-оболочке, имеет симво-

N (1s2 2s2 2 p3 ).

114

Для характеристики атома в целом часто бывает удобным ввести суммарные величины орбитального, спинового и полного моментов всех электронов:

Такая процедура сложения механических моментов называется LS-схемой или схемой Рассела – Саундерса (1925).

В кантовой механике модули вращательных моментов являются дискретными параметрами:

Атомные уровни энергии принято в спектроскопии обозначать так же, как и отдельные электроны, заданием квантовых чисел: L, J, S, где L обозначается в виде больших букв латинского алфавита: S, P, D, F,G, H ,... Слева вверху указывается цифровой символ, равный числу возможных проекций полного спина

(2S +1), справа внизу указывается значение квантового числа полного момента J:

ном и т.д. уровне. Для практических целей важно знать полное число возможных состояний многоэлектронных атомов и порядок их расположения по энергиям, если известны квантовые числа n, l каждого электрона.

Для решения этих вопросов можно руководствоваться следующими 3-мя эмпирическими правилами Хунда (1925), теоретически обоснованными

Хартри и Фоком:

1)Из всех уровней наименьшей энергией обладает терм с наибольшим значением полного спина S.

2)При данном S наименьшую энергию имеет терм с наибольшим значением L.

3)Если число эквивалентных электронов (т.е. имеющие одинаковые значения n, l) в оболочке атома меньше, чем половина от полного возможно-

115

го числа электронов, то уровни возрастают в порядке роста J (нормальные мультиплеты).

Если же число эквивалентных электронов больше или равно половине от полного числа электронов, то мультиплеты будут обращенными.

Первые два правила определяют последовательность уровней энергии при исключении СО-сил, третье положение регулирует порядок заполнения уровней в пределах мультиплета с учетом СО-взаимодействия.

116

ГЛАВА VI

Квантовая теория упругого рассеяния

§ 43. Амплитуда и сечение рассеяния

Под рассеянием понимают отклонение частицы от первоначального направления движения при взаимодействии с другой частицей при столкновении. Различают упругие и неупругие столкновения.

Упругим называют такое рассеяние, при котором не изменяется внутреннее состояние и состав сталкивающихся частиц.

Неупругим рассеянием называют такое столкновение, когда изменяются внутреннее состояние одной или обеих частиц, а также процессы рождения новых частиц. (В дальнейшем рассмотрим лишь процессы упругого рассеяния).

Задачу о рассеянии можно рассмотреть с точки зрения двух ИСО.

С точки зрения неподвижной второй частицы (называется Л-системой), на которой рассеивается первая частица.

p1

некотором силовом центре, помещенным в точку ц.м. С.

p2

В этом случае вводится один угол рассеивания ϑ . В классической (и в квантовой механике) найдена связь углов рассеивания:

117

В дальнейшем процесс рассеяния удобно рассматривать в виде стационарного процесса. При таком подходе предполагается, что имеется непрерывный поток частиц, летящий из бесконечности, который после взаимодействия с силовым полем превращается в стационарный же поток рассеянных частиц.

Количественно процесс упругого рассеяния характеризует

дифференциальным и полным сечениями рассеяния.

Пусть dN – число частиц, рассеянных в единицу времени в телесный угол dΩ , взятый в направлении углов (θ,ϕ), пересекает элементарную

площадку в перпендикулярном направлении: dS = r2dΩ. Пусть jпад и jрасс –

плотности потоков падающих и рассеянных частиц на бесконечном удалении от рассеивающегося центра. Тогда дифференциальным сечением рассеяния

называют отношение:

Обычно дифференциальное сечение рассчитывается для единичного телесного угла:

Если уравнение (43.1) проинтегрировать по всем углам или по замкнутой поверхности, окружающий рассеивающий центр, то мы получим так называемое полное эффективное сечение рассеяния:

σ =ο∫ dσ = j1 ο∫ jрасcdS. (43.3)

пад

Предполагается, что область действия сил ограничена в пространстве r ≤ a (m – приведенная масса систем столкнувшихся частиц).

118

Для рассеянных частиц, которые движутся по радиальным направлениям:

Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния равно квадрату модуля амплитуды рассеяния. Однако, нахождение в.ф. и амплитуды рассеяния требует решения УШ для заданного потенциала U (r), точное

решение которого часто не известно. Поэтому рассмотрим приближенное решение этой задачи в первом приближении теории возмущения (борновское приближение).

§ 44. Борновское приближение в теории рассеяния

Будем считать рассеивающее поле слабым, мало искажающее состояние падающих частиц, так что в.ф. можно представить в виде:

состоит в нахождении ψ (1) и ее асимптотическое представление в виде (43.8) с целью нахождения амплитуды рассеяния A(θ,ϕ).

Для решения этой задачи обратимся к УШ (43.7):