с.м.чернов_квантовая механика
.pdfU (x)≈U (a)+ dUdx (x − a)= E + dUdx (x − a).
Тогда импульс можно записать в виде:
|
|
p = |
2m(E −U (x)) ≈ |
|
− |
dU |
(x − a) |
|
, |
||||||||||||
|
|
2m |
dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда найдем: |
|
dU |
|
= |
|
p2 |
|
|
|
, а из неравенства (35.23) окончательно полу- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
2m |
|
x − a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
|
. |
h |
≈ 0,04λ, |
|
|
(35.24) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где λ = 2πph – длина волны де Бройля.
§ 36. Стационарная теория возмущения для невырожденных состояний дискретного спектра
Как уже отмечалось, точные решения УШ известны только для небольшого числа модельных силовых полей. Однако часто оказывается, что реальные физические системы не очень сильно отличаются от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этих случаях приближенное решение задачи сводится к нахождению поправок к точному решению модельной задачи. По существу теория возмущения представляет собой метод последовательных приближений, позволяющих находить поправки любого порядка малости к собственным функциям и собственным значениям возмущённого гамильтониана.
Рассмотрим вначале стационарную теорию возмущения, когда спектр собственных значений энергии является дискретным и невырожденным.
Пусть гамильтониан H^ не зависит явно от времени и может быть представлен в виде:
H |
^ ^ |
^ |
ˆ |
+ λU , |
(36.1) |
= H0 |
+ H |
′ = H0 |
где ˆ – гамильтониан задачи, допускающей точное решение, которое опи-
H0
сывается стационарным УШ:
|
|
|
ˆ |
0 |
0 |
0 |
, |
|
(36.2) |
|
|
|
H0 |
ψn |
= Enψn |
|
|||
причем, ψ 0 |
и |
E0 |
считаются известными, |
а спектр |
E0 |
является невырож- |
|||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
денным. В соотношении (36.1) H^′ – оператор возмущения, который для на-
глядности можно представить в виде H^′ = λUfl , где Ufl – оператор того же
ˆ
порядка малости, что и H0 , а λ – малый безразмерный параметр. Критерий “малости”, будет определен ниже.
91
Динамика движения частицы с учетом оператора возмущения H^′, |
будет |
|||||||||||
описываться УШ вида: |
|
(Hfl |
+Hfl |
′ )ψ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
= E ψ |
. |
(36.3) |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n n |
|
|
|
Будем искать приближенные решения последнего уравнения в виде ря- |
||||||||||||
дов: |
|
|
E = E0 |
+ |
E(1) |
+ |
|
E(2) +K |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
n |
|
(36.4) |
|
|
|
ψ |
|
=ψ 0 |
+ |
ψ (1) |
+ |
ψ (2) |
+K |
||
|
|
|
n |
|
||||||||
где E(1) |
и |
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
ψ (1) |
– поправки одного и того же порядка малости, что и возму- |
|||||||||||
щение |
E(2) |
и |
ψ (2) – поправки, квадратичные по возмущению и т.д. Так как |
|||||||||
невозмущенные волновые функции ψn0 образуют полную систему, то иско- |
||||||||||||
мую волновую функцию можно также представить в виде разложения: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ψn = ∑cnkψk0 , (n=1, 2, 3…) |
(36.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
сводится к отысканию коэффи- |
||
Следовательно, задача нахождения ψn |
циентов cnk , которые по аналогии с разложением (36.4) можно записать в виде соответствующего ряда:
cnk = cnk0 + cnk1 + cnk2 +K |
(36.6) |
Очевидно, в нулевом приближении из (36.5) следует, что cnk0 |
=δnk . Бо- |
лее наглядно разложения (36.4) и (36.6) можно записать через малый параметр λ в виде:
E |
= E0 |
+λE(1) |
+λ2 E(2) |
+K |
|
||
n |
|
n |
|
n |
n |
|
(36.7) |
c |
=δ |
|
|
+λc(1) |
+λ2c(2) |
+K |
|
nk |
|
||||||
nk |
|
nk |
nk |
|
|
где En(i) и cnk(i) величины одинакового порядка малости с соответствующими
величинами невозмущенной задачи. Тогда возмущенная волновая функция ψn (36.5) примет вид:
ψn =ψn0 +λ∑cnk(1)ψk0 |
+λ2 ∑cnk(2)ψk0 +K |
(36.8) |
k |
k |
|
Подставляя указанные разложения в УШ, получаем:
(H0 |
+λU )(ψn |
+λ∑cnkψk +λ |
∑cnkψk +K) = |
|||
ˆ |
ˆ |
0 |
(1) 0 |
2 |
(2) 0 |
|
|
|
|
k |
|
k |
|
= (En0 +λEn(1) +λ2 En(2) +K)(ψn0 |
+λ∑cnk(1)ψk0 |
+λ2 ∑cnk(2)ψk0 +K). |
||||
|
|
|
|
|
k |
k |
Раскрывая скобки, сгруппируем члены одного порядка малости по λ .
92
H0ψn +λ(∑cnk H0ψk |
+Uψn ) + |
|||||||
ˆ |
0 |
|
|
(1) |
ˆ |
0 |
ˆ |
0 |
+λ |
(∑cnk |
k |
0ψk |
+∑cnkU |
0ψk ) +K= |
|||
H |
||||||||
2 |
|
(2) |
ˆ |
0 |
|
|
(1) ˆ |
0 |
|
k |
|
|
|
|
k |
|
(36.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= En0ψn0 |
+λ(En0 ∑cnk(1)ψk0 +En(1)ψn0 ) + |
|||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
+λ2 (En0 ∑cnk(2)ψk0 |
+En(1) ∑cnk(1)ψk0 +En(2)ψn0 ) +K |
|||||||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
Далее учтем, что для невозмущенной задачи в силу УШ (36.2):
ˆ ψ0 = ˆ ψ 0
H0 n E0 n
Для дальнейшего, умножим все члены уравнения (36.9) слева на ψm0* и проин-
тегрируем по всему пространству. При этом учтем свойство ортонормированности невозмущенных волновых функций
∫ψm0*ψk0 dυ = δmk ,
и введем обозначения:
0* ˆ 0 |
(36.10) |
Umk = ∫ψmUψk dυ, |
называемые матричными элементами оператора ˆ , взятыми по невозму-
U
щенным волновым функциям, которые, по предположению, также считаются известными. Тогда уравнение (36.9) примет вид:
λ(∑Cnk(1)δmk Ek0 +Umn ) +
k |
(∑Cnk(2)δmk Ek0 |
+ ∑Cnk(1)Umk ) +K= |
|
|
+λ2 |
|
|||
|
k |
k |
(36.11) |
|
= λ(En0 ∑Cnk(1)δmk + En(1)δmn ) + |
||||
|
||||
|
k |
|
|
|
+λ2 |
(En0 ∑Cnk(2)δmk + En(1) ∑Cnk(1)δmk +En(2)δmn ) +K |
|
||
|
k |
k |
|
Очевидно, в суммах по k , содержащих δmk , отличны от нуля только слагаемые с k = m , следовательно (36.11) примет вид:
λ(Cnm(1) Em0 +Umn ) +λ2 (Cnm(2) Em0 + ∑Cnk(1)Umk ) +K= |
|
k |
(36.12) |
= λ(En0Cnm(1) + En(1)δmn ) + λ2 (En0Cnm(2) + En(1)Cnm(1) |
+ En(2)δmn ) +K |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим ряд алгебраических уравнений:
(λ) Umn = Cnm(1) (En0 − Em0 ) + En(1)δnm |
(36.13) |
(λ2 ) ∑Cnk(1)Umk = Cnm(2) (En0 − Em0 ) + En(1)Cnm(1) + En(2)δnm |
(36.14) |
k
……………………………………………
93
На практике достаточно найти лишь линейные поправки к волновой функции и квадратичные к уровням энергии. С этой целью положим в (36.13) m = n, тогда
(1) |
0* ˆ 0 |
En |
=Unn = ∫ψn Uψndυ . |
Таким образом, поправка первого порядка к энергии равна
En |
= λEn |
= λUnn |
= ∫ψn |
H ψndυ |
(36.15) |
(1) |
(1) |
|
0* |
ˆ ' 0 |
|
и представляет собой среднее значение от оператора возмущения, взятому по невозмущенным волновым функциям.
Пусть теперь в (36.13) m ≠ n , тогда находим
(1) |
|
Umn |
|
(36.16) |
|
Cnm |
= |
|
|
;(m ≠ n) |
|
0 |
0 |
||||
|
|
En |
− Em |
|
|
Случай с m = n требует особого рассмотрения. Покажем, что из условия нормировки волновой функции получается Cnn(1) = 0 . Действительно:
1 = ∫ψn*ψndυ = ∫(ψn0* +λ∑cnk(1)*ψk0* +K)(ψn0 |
+ λ∑cns(1)ψs0 +K)dυ = |
||||
|
|
|
k |
s |
|
|
|
∑cns(1) |
∫ψn0*ψs0dυ + ∑cnk(1)* |
|
|
= ∫ ψn0*ψn0 dυ +λ |
∫ψk0*ψn0 dυ |
= |
|||
|
|
s |
k |
|
|
=1+λ(c(1) |
+ c(1)* ). |
|
|
|
|
nn |
nn |
|
|
|
|
Откуда Cnn(1) +Cnn(1)* = 0 . Так как волновая функция определена с точно-
стью до произвольного фазового множителя, то будем считать коэффициент
Cnn(1) действительным числом. Тогда Cnn(1) = 0 . Следовательно, в первом приближении
(1) |
(1) |
|
H ' |
|
|
|
|
mn |
; (m ≠ n) |
||
Cnm |
= λCnm |
= |
|
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
En |
− Em |
|
а для волновой функции с точностью до членов, линейных по возмущению, окончательно получаем:
ψn =ψn0 + ∑ |
Hmn' |
ψm0 . |
(36.17) |
E0 − E0 |
|||
m≠n n m |
|
Для нахождения квадратичной поправки к энергии положим в уравне-
нии (36.14) m = n, и учтем, что Cnn(1) = 0 :
En(2) = ∑Cnk(1)Unk |
= ∑ |
Ukn |
Unk . |
E0 − E0 |
|||
k |
k ≠n n k |
94
Учитывая, что Ukn =Unk* , находим квадратичную поправку к энергии:
En(2) = λ2 En(2) = ∑ |
|
|
H ' |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
kn |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
E0 |
− E |
0 |
||||||
k ≠n |
|
n |
|
|
k |
Окончательно волновая функция с точностью до линейных членов, а энергия с поправками, квадратичными по возмущению, равны:
ψn =ψn0 + ∑ |
Hmn' |
ψm0 |
|
|
(36.18) |
|||||||
E0 − E0 |
|
|
||||||||||
|
m≠n |
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
' |
+ ∑ |
|
|
H ' |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
nm |
|
|
, |
(36.19) |
||||
En = En |
+ Hnn |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||||
E0 |
− E0 |
|||||||||||
|
|
|
|
m≠n |
|
n |
|
|
m |
|
|
|
' |
0* |
ˆ ' |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где матричные элементы Hmn = ∫ψn |
H ψk dυ . |
|
|
|
|
|
Замечание 1. Метод теории возмущения дает хорошие результаты, если ряды быстро сходятся. Необходимым условием является малость каждой следующей поправки по сравнению с предыдущей. Из (36.19), в частности, следует, что условием применимости теории возмущений является неравенство:
H ' |
n |
E0 |
− E0 |
, |
(36.20) |
mn |
|
n |
m |
|
|
то есть недиагональные матричные элементы оператора возмущения малы по сравнению с разностями соответствующих энергий невозмущенной задачи.
Замечание 2. По определению энергия основного уровня минимальна. Если n соответствует основному уровню, тогда En0 < Em0 , и следовательно поправка
второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.
§ 37. Стационарная теория возмущения при наличии вырождения
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Пусть оператор Гамильтона квантовой системы H может быть пред- |
||||||
ˆ ˆ |
ˆ ' |
, где H^′ |
– “малый” оператор возмущения по срав- |
|||
ставлен в виде H = H0 |
+ H |
|||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
нению с невозмущенным гамильтонианом H0 . При этом считается известным |
||||||
решение невозмущенной задачи, описываемой стационарным УШ вида: |
||||||
|
|
ˆ |
0 |
0 0 |
|
(37.1) |
|
|
H0ψni |
= Enψni |
|
||
Предполагается также, что уровни энергии |
En0 |
являются дискретными |
||||
и вырожденными с кратностью вырождения k , |
т.е. |
собственному значению |
En0 соответствует k различных собственных функций ψn01,ψn02 K,ψnk0 . Задача состоит в том, чтобы найти приближенно изменения уровней энергии и вол-
новых функций при включении дополнительного возмущения ˆ ' .
H
95
Для простоты, не умаляя общности, рассмотрим случай двукратного вырождения, когда невозмущенной энергии E0 соответствует две собствен-
ные функции ψ1 и ψ2 . Предполагается, что эти функции удовлетворяют условию ортонормированности:
∫ψi*ψk dν = δik ;i, k =1, 2, |
(37.2) |
|||
а уравнение (37.1) запишется в виде системы двух УШ: |
|
|||
ˆ |
0 |
0 |
i =1, 2 . |
(37.3) |
H0ψi |
= E0ψi ; |
При включении возмущения ˆ ' , естественно, изменяются как уровни
H
энергии E0 , так и волновые функции ψ1 и ψ2 . В этом случае движение частицы также будет описываться стационарным УШ с полным гамильтонианом
ˆ = ˆ + ˆ '
H H0 H :
ˆ |
(37.4) |
Hψ = Eψ . |
Для практических приложений найдем приближенно волновую функцию системы в нулевом приближении, а уровни энергии с точностью до членов, линейных по возмущению. В этом приближении можно записать:
ψ = C1ψ1 +C2ψ2 |
. |
(37.5) |
E = E + E' |
||
0 |
|
|
Таким образом, задача сводится к нахождению трех параметров: C1,C2 и E' . Для их определения подставим разложения (37.5) в уравнение (37.4):
ˆ |
ˆ ' |
)(C1ψ1 +C2ψ |
' |
)(C1ψ1 |
+C2ψ2 ) . |
(H0 |
+ H |
2 ) = (E0 + E |
Раскрывая скобки и учитывая условия (37.3), получаем:
ˆ ' |
' |
ˆ ' |
' |
)ψ2 ) = 0 . |
C1 (H |
− E |
)ψ1 +C2 (H |
− E |
Умножим последнее уравнение на ψ1* |
и ψ2* и проинтегрируем по всему про- |
|||||||||
странству: |
(∫ψ1H ψ |
1dν − E |
|
∫ψ1ψ1dν) +C2 (∫ψ1H ψ |
2dν − E |
∫ψ1ψ |
2dν) = 0 |
|||
C1 |
|
|||||||||
|
' ˆ ' |
' |
|
|
' |
' ˆ ' |
' |
|
' |
. |
C1 |
(∫ψ2 H ψ1dν − E |
|
∫ψ |
2ψ1dν) +C2 (∫ψ2 H ψ2dν − E |
|
|||||
' |
∫ψ1ψ2dν) = 0 |
|||||||||
|
' ˆ ' |
|
|
' |
' ˆ ' |
|
' |
' |
|
Учитывая условие ортонормированности (37.2), и вводя обозначения
для матричных элементов от оператора возмущения ˆ ' , взятых по невозму-
H
щенным волновым функциям:
Hik' = ∫ψi* H 'ψk dν;i, k =1, 2, |
(37.6) |
96
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов C1,C2 вида:
|
|
' |
|
' |
|
' ' |
= 0 |
|
C1 |
(H11 − E |
) +C12 H12 |
(37.7) |
|||||
|
|
|
+C |
(H ' |
|
. |
||
C H ' |
− E' ) = 0 |
|
||||||
|
1 |
21 |
2 |
|
22 |
|
|
|
Система однородных уравнений (37.7) имеет нетривиальное решение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных равен нулю:
|
(H ' |
− E' ) |
H ' |
|
= 0 . |
(37.8) |
|
|
11 |
' |
' |
12 |
|
||
|
|
' |
|
|
|
||
|
H21 |
(H22 |
− E |
) |
|
|
В свою очередь уравнение (37.8) является алгебраическим уравнением
относительно искомой поправки E' . Данное условие (37.8) получило название векового или секулярного уравнения. Раскрывая определитель (37.8) получим:
(H11' − E' )(H22' − E' ) − H12' H21' = 0 ,
и учитывая условие эрмитовости оператора |
ˆ |
' |
, т.е. равенство |
' |
= H |
'* |
, мы |
H |
|
H12 |
21 |
приходим к квадратному уравнению относительно E' :
E'2 − E' (H11' + H22' ) +(H11' H22' − H12' 2 ) = 0 .
Решение последнего уравнения можно записать в виде:
E1,2' = |
H11' + H22' |
± |
1 |
(H11' − H |
22' )2 + |
|
H12' |
|
2 . |
|
(37.9) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вообще говоря, корни векового уравнения могут не совпадать ( E1' ≠ E2' ). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
' |
двукратно |
Это означает, что при включении дополнительного возмущения H |
|
||||||||||
вырожденный уровень E0 расщепляется на два близких подуровня: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ E |
|
|
||||
|
|
|
|
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
E0 E0 |
+ E' = 0 |
1 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
E |
+ E' |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Для определения волновых функций в нулевом приближении необхо- |
|||||||||||
димо найти коэффициенты C1,C2 , которые определяются из системы алгеб- |
|||||||||||
раических уравнений (36.7), если вместо E' |
подставить в нее последователь- |
но корни векового уравнения E1' , E2' .
В общем случае k -кратно вырожденных уровней линейные поправки E' находятся как решения векового уравнения вида:
|
' |
' |
) |
' |
' |
|
|
|
|
(H11 |
− E |
H12 |
K H1k |
|
|
|
|
|
H21' |
|
(H22' − E' ) L H2' k |
|
= 0 |
(37.10) |
||
|
KKK |
|
KKK |
K KK |
|
|||
|
H ' |
|
H ' |
|
|
|
|
|
|
|
K (H ' − E' ) |
|
|
||||
|
|
k1 |
|
k 2 |
kk |
|
|
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
С математической точки зрения уравнение (37.10) представляет собой уравнение k −гопорядка относительно E' . Решив его, мы получаем, вообще говоря, k различных корней E1' , E2' KEk' . Это означает, что включение допол-
нительного возмущения |
ˆ ' |
приводит к расщеплению k -кратно вырожденно- |
||||
H |
||||||
го |
уровня |
на |
k |
близко |
расположенных |
подуровней |
E1 |
= E0 + E1' , E2 |
= E0 + E2' ,KEk |
= E0 + Ek' . Иногда может оказаться, |
что некото- |
рые корни векового уравнения (36.10) совпадают, так что число различных корней s < k . Следовательно, вырожденный уровень E0 расщепляется на s < k
подуровней, и вырождение в системе снимается лишь частично. Физически это соответствует тому, что возмущение сохраняет некоторую симметрию задачи.
Зная корни векового уравнения, и подставляя их последовательно в систему алгебраических уравнений типа (37.7), можно найти соответствующие коэффициенты Ci , и тем самым определить волновые функции каждого состояния в нулевом приближении.
98
ГЛАВА V
Основы теории многих частиц
§ 38. Принцип тождественности одинаковых микрочастиц
Частицы называются тождественными, если свойства системы одинаковых частиц не изменяются при перестановке любой пары частиц.
Рассмотрим общие свойства волновой функции системы из N тождественных частиц. Пусть qi – набор всех параметров i -ой частицы. Тогда волно-
вая функция будет зависеть от всех параметров частиц, т.е.
ψ =ψ (q1,q2 ,....,qN ) .
|
|
|
|
Для дальнейшего введем оператор перестановки i -ой и k -ой частиц Pik : |
|||
|
ψ(q1...qi ...qk ...qN ) =ψ(q1...qk ...qi...qN ) . |
(38.1) |
|
Pik |
|||
В силу принципа тождественности ψ |
% |
|
|
и ψ являются физически эквива- |
|||
|
% |
|
|
лентными, то согласно общим принципам квантовой механики |
|
||
|
|
=ψ = λψ . |
(38.2) |
|
ψ = λψ или Pik ψ |
||
|
% |
% |
|
Таким образом принцип тождественности требует, чтобы волновая функция системы одинаковых частиц должна быть собственной функцией оператора перестановки.
Найдем собственные значения оператора Pik . Для этого подействуем
Pik на последнее равенство:
2 |
|
|
|
|
|
Pik ψ = Pik Pik ψ = Pik λψ = λ Pik ψ = λ2ψ . |
|
||||
С другой стороны, очевидно: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pik ψ =ψ . |
|
|
Следовательно λ2 =1; λ = ±1, т.е. |
qk ...qN ) = ±ψ (q1 qk ...qi qN ) . |
(38.3) |
|||
ψ =ψ (q1 |
...qi ... |
||||
% |
% |
|
|
|
|
Отсюда следует важный принцип: в природе реализуются лишь такие состояния, волновые функции которых либо симметричны, либо антисимметричны относительно перестановки тождественных частиц.
Можно доказать, что это свойство симметрии является интегралом движения, т.е. никакое взаимодействии не может нарушить свойство симмет-
|
|
рии. Для того необходимо доказать, что оператор Pik коммутирует с H . Для простоты, рассмотрим систему из двух тождественных частиц.
H^ = − |
h2 |
|
+U(rr) − |
h2 |
|
+U(rr) +U ( |
|
rr |
−rr |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
2m 1 |
1 |
2m 2 |
2 12 |
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подействуем оператором перестановки P на H , и получим: 99