Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u_lectures

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

2.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

k
W ( p) = T 2 p2 + 2ξTp +1,
где T = T2 , 2ξT = T1 .
Откуда определим ξ =	T1	< 1 - показатель колебательности.
	2T

Корни характеристического уравнения будут равны

r	=	− 2ξT ± 4ξ2T 2	− 4T	2
r	=			=α ± jβ,
1,2		2T 2
		2T 2
где α = −	ξ	– вещественная	часть корней; β =		1	1−ξ 2	– мнимая часть
где α = −	T	– вещественная	часть корней; β =		T	1−ξ 2	– мнимая часть
	T				T

корней.

Если на вход поступает воздействие x1=1(t), то найдем переходной процесс. x*2=k;

x2 =[k+eαt (C1cos βt+C2 sin βt)]1(t)

Пусть при t=0; (x2)0=0 и (x΄2`)0=0

(x2)0 =k +C1 =0	C1 =−k
(x2′)0 =αC1 +βC2 =0	C2	=−	αC1	=	αk
			β		β

x2 = h(t) = K[1 − eαt (cos βt − αβ sin βt)] 1(t).

Переходный процесс изображен на рис. 4.15. На основе полученной переходной функции можно определить параметры передаточной функции.

Из рис. 4.15 следует:

k(1+eαt)

2π

β =

; α =

;

h(t)

α2 +β 2 =

но

, тогда

получим

k(1-eαt)

τ=2π/β

Т=	1	; ξ = −αT .
	α 2 + β 2

Рис. 4.15

Частотные характеристики

W ( jω) =			k
W ( jω) =	2	2	+2ξTjω+1
	−T ω		+2ξTjω+1

Логарифмические частотные характеристики

W ( jω) =	k	=
	(1−T 2ω2 )+ j2ξTω

A− jB

− j

;

A+ jB A− jB

A +B

V(ω)

где обозначено А=1–Т2ω2;

В= 2ξТω.

Найдем модуль

ω=

k2(A2 +B2 )

ω=0

U(ω)

A(ω) =

2ξ

(

)

A2 +B2

(A2 +B2 )2

ω=1/T

A(ω) =

(1−T 2ω2 )2 +4ξ2T 2ω2

2 (

−ω2 )2 +4ξ2ω

T 2

Тогда ЛЧХ будут иметь вид:

L(ω) =20lgk −20lgT 2 (

−ω

2 )2 +4ξ2ω2

T 2

ϕ(ω) =arctg

V (ω)

=arctg(−

) =−arctg(

2ξTω

) .

U(ω)

2 2

1−T

Построим ЛЧХ:

1) ω<1/T, то ω2≈0, L(ω)=20lg k

2)ω>1/T, то 1/T2≈0, L(ω) = 20lg k − 20lgT

2ω

2 = L (ω) + L (ω)

Наклон L (ω)

−20lgT 2102ω2 −(−20lgT 2ω2) =−20lg102 =−40дБ/дек

ЛЧХ изображены на рис. 4.17 при различных значениях ξ.

ϕ L,дБ

ω=Т-1

ξ=0,01

ξ=0,1

-40дБ/дек

20lgk

ξ=1

L(ω)

0,1

ω,с-1

-90°

ϕ(ω)

ξ=1

ξ=0,1

ξ=0,01

-180°

Рис. 4.17

Фазовые характеристики звена могут быть построены по выражению

ϕ(ω) = −arctg

2εТ1ω

2 2

−Т1 ω

При вычислении характеристики φ(ω) на калькуляторе или в системе Mathcad необходимо учесть переход с одной ветви функции arctg на другую при изменении знака знаменателя и проводить вычисления по выражениям:

	2εТ1ω				1
−arctg			,	при ω ≤			;
−arctg	2	2	,	при ω ≤	T1		;
	1−Т1 ω				T1
ϕ(ω) =		2εТ1ω			1
−180o −arctg		2εТ1ω		, при ω >	1	.
−180o −arctg				, при ω >		.
	1−Т2ω2				T1
		1

Примеры колебательных звеньев.

1. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 4.18).

Uв

Uя=x1

ω=x2

Рис. 4.18

Описывается	уравнением	в
операторной форме

(TМTЯp2+TМp+1)ω=КДUЯ,

где TЯ=LЯ/RЯ – электромагнитная постоянная якоря; TM=(RЯJ)/(CЕCМ) – электромеханическая постоянная; КД=1/CЕ – коэффициент передачи двигателя.

2. RLC–цепь (рис. 4.19)
	R		L		Описывается уравнением
	R		L
					(LCp2+RCp+1)U2 =U1.



					Звено является колебательным при

u1			С	u2
					выполнении условияR < 2	L .
						C
		Рис. 4.19

4.3.2.Апериодическое звено второго порядка

Вэтом случае передаточная функция звена второго порядка

W ( p) =		k
	T 2 p2	+T p +1
2		1

записывается в более удобной форме

W ( p) =		k
			.
	(T p +1)(T p +1)
	3	4

Постоянные времени Т3 и Т4 определяют из решения системы уравнений

T22 = T3T4 ,

T1 = T3 +T4 ,

и их значения равны

T	=	T	±	T 2	−T	2	.
		1		1
3,4		2		4	2

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно с общим коэффициентом k и постоянными времени T3 и T4.

Переходная функция находится путем решения дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение звена имеет действительные отрицательные корни.

(T3r+1) (T4r+1)=0;		r1= –1/T3,		r2= –1/T4 .
Если x1=1(t), то	x = h(t) = k +C er1t		+C	2	er2t .
	2	1

C1 и C2 найдем с учетом начальных условий: t=0, x2= x2`=0.

(x1)0 =k +C1 +C2 =0	C =	r1k	;	C =	r2k	;

(x2′)0 =r1C1 +r2C2 =0	2 r2 −r1			1 r2 −r1

Переходная функция изображена на рис. 4.20.

T3+T4

1		h(t)	K
		h(t)

t			t
t
Рис. 4.20	T4
Рис. 4.20	T4

Частотная передаточная функция имеет вид

W ( jω)=		k
W ( jω)=	(T	jω+1)(T jω+1)
3		4

АФХ изображена на рис. 4.21.

ω=	k	U
		U

	A(ω)	ω=0
		ω=0

Рис. 4.21

Логарифмические частотные характеристики (рис. 4.22), построены по выражениям

L(ω) = 20lg A(ω) = 20lg		k			;
L(ω) = 20lg A(ω) = 20lg	T 2ω2	+1	T 2ω2	+1	;
	3		4

ϕ(ω ) = ϕ3 (ω ) +ϕ4 (ω ) = −arctgT3ω − arctgT4ω .

ϕ L,дБ			1/T3		1/T4
	40	L(ω)		-20дБ/дек
	40

	20
					-40дБ/дек


					ω,с-1
					ϕ4
				ϕ3	ϕ4
-90°
					ϕ(ω)
-180°
-180°

Рис. 4.22

Примеры апериодических звеньев второго порядка.

1. Двигатель постоянного тока при выполнении условия TМ ≥4TЯ.

2. RLC–цепь при выполнении условия R ≥ 2 L C .

4.4. Интегрирующие звенья

Общее свойство интегрирующих звеньев в том, что их выходная величена неограниченно возрастает при постоянной величине входного сигнала.

4.4.1. Идеальное интегрирующее звено

Описывается уравнением

dxdt2 =kx1 ,

и имеет передаточную функцию

W( p ) = kp .

Переходная функция: x1(t) =1(t);

x2(t) =h(t) =k t∫1(t)dt =kt .

		tgα=k
	α
t			t
t

Рис. 4.33

Частотная передаточная функция

W ( jω) =

=− j

; U(ω)=0; V(ω)= - k/ω

jω

ω=∞

A(ω) =

(−

)

W(jω)

ω→0

ϕ(ω) =arctgU(ω) =arctg(−∞) =−90°

Рис. 4.34

V (ω)

Логарифмические частотные характеристики (рис. 4.35) строятся по выражениям

L(ω) = 20lg k − 20lgω;	ϕ(ω ) = −90o .
L(ω)
				Если ω=1, то L(ω)=20lg k .
				Найдем наклон.
20lgk				20lg k − 20lg10ω − (20lg k − 20lgω) =
20lgk		k=ω	ω,с-1
		k=ω
				= −20дБ / дек
1	10
1	10
Рис. 4.35

Примеры звена.

1. Двигатель постоянного тока (рис. 4.36), если допустить, что TЯ=0, TМ=0 и в качестве выходной величины рассматривать угол поворота якоря, а в качестве входной – напряжение якорной цепи.

Uв	Uя=x1	G=x1
Uв	Uя=x1
	α=x2	H=х2
		H=х2
Рис. 4.36		Рис. 4.37

2.Гидравлический резервуар (рис.4.37). Входным воздействием является расход воды G, поступающий в резервуар, а выходной величиной уровень воды в резервуаре H. Входная и выходная величины связаны зависимостью S dHdt = G , где S – площадь поперечного сечения

резервуара.

3. Модель интегрирующего звена


U1=x1			U2=x2
U1=x1			U2=x2

Рис. 4.38

4.4.2. Интегрирующее звено с замедлением

Дифференциальное уравнение звена

T ddt2 x22 +dxdt2 =kx1 .

Передаточная функция звена

W ( p)= p(Tpk +1) ,

то есть соответствует идеальному интегрирующему звену и апериодическому звену первого порядка, соединенным последовательно.

−

x =1(t);

h(t)= x

)]×1(t)

(t)=k[t −T (1−e

h(t)

Рис. 4.39

Рис. 4.40

Частотная передаточная функция

W ( jω) =

ω=∞

jω(Tjω+1)

ω→0

Рис. 4.41

Логарифмические частотные характеристики

ϕ(ω)	L(ω)	1/T
		1/T
	-20дБ/дек
	-20lgk	-40дБ/дек

ω,с-1

-90°

ϕ(ω)

-180°

Рис. 4.42

Пример: двигатель постоянного тока при Tя=0; Tm≠0

U1=x1

ϕ=x2

Рис. 4.43

4.4.3. Пропорционально-интегральное звено

Описывается уравнением

dxdt2 =kx1 +k1 dxdt1 .

Передаточная функция имеет вид

W ( p)=	k	+k	=	k(1+Tp)	, где T =	k1	- постоянная времени.
	p			p
		1				k

Переходная функция

x2(t) =h(t) =(kt +k1)×1(t)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.20191.16 Mб1UMK_Bu.doc
#
18.11.2019697.86 Кб13UMK_Organizatsia_normirovania_i_oplata_truda_na...doc
#
12.03.2015936.81 Кб124UPiOS_Dmitriev_P_A_gruppa_5402.docx
#
12.03.20151.01 Mб17ustoychivost_i_upravlyaemost_samoleta.pdf
#
21.09.2019350.72 Кб4Ustr_na_OU.doc
#
22.03.20162.16 Mб52u_lectures.pdf
#
12.03.201523.03 Кб13V.docx
#
29.04.20194.35 Mб10vasilik_communikation.doc
#
12.03.2015428.24 Кб30Vayutner_Bezzaaponnaya[2].pdf
#
15.08.20193.81 Mб5VBAExcel_Work01-2004.doc
#
15.08.2019289.28 Кб2VBA_01_Основы программирования.doc