u_lectures

≈≈

где X 2 и X 1 - изображения Фурье для синусоидальных сигналов. Перемножим (27.15) и (27.16) и получим

при ω = ωП , a = aП .

Выражение (27.17) представляет необходимое условие для существования автоколебаний в системе и называется условием гармонического баланса.

Уравнение (27.17) согласуется с условием нахождения линейной системы на границе устойчивости. По критерию Найквиста в линейной системе будут автоколебания, если годограф WР(jω) пройдет через точку (–1, j0),то есть при некоторой частоте ω = ωп, WР(jωп) = –1.

Основные задачи, решаемые с помощью метода гармонической линеаризации, это исследование автоколебательного режима в заданной нелинейной системе и определение условий отсутствия этого режима.

27.5.Графоаналитический метод определения параметров автоколебательного режима и его устойчивости

Практически пользоваться выражением (27.17) неудобно, так как требуется подобрать два параметра, поэтому задачу решают графически.

Для этого запишем (27.17) следующим образом

где: –MН(a) – обратный комплексный коэффициент передачи НЗ, который равен

Уравнение (27.18) можно решить графически. Для этого нужно построить на комплексной плоскости годографы линейной части системы

225

Пусть весь годограф нелинейного звена лежит в области D0, то есть

условие (27.20) не выполняется, так как Aл(ω) <1, значит |Wp(a, jω)| < 1 и в

Aм(а)

соответствии с критерием Найквиста система устойчива и в ней будут затухающие колебания.

Аналогично можно показать, что если весь годограф –Mн(а) лежит в области D1, то система будет неустойчива и в ней будут существовать расходящиеся колебания.

Если годографы пересекаются (рис. 27.15) , то в системе возможны автоколебания в точках 1 и 2. Определим, где автоколебания устойчивы?

В точке 1– амплитуда – ап; в точке 1`– амплитуда – (ап + ∆a); в точке 1``– амплитуда – ( ап – ∆a).

Пусть существуют автоколебания в точке 1 с параметрами ап и ωп. Допустим, произошло увеличение амплитуды ап + ∆a (точка 1`). Рабочая точка находится в области D0, то есть система устойчива и амплитуда колебаний уменьшится до ап.

Пусть амплитуда колебаний уменьшается, то есть ап – ∆a (точка 1``). Рабочая точка находится в области D1, то есть система неустойчива и амплитуда колебания возрастет до ап.

Следовательно, точка 1 соответствует устойчивому предельному циклу.

Рассмотрим точку 2.

Пусть а понижается, то есть ап – ∆a. В этом случае система устойчива и колебания затухающие. Следовательно, точка 2 соответствует неустойчивому предельному циклу.

На основе проведенного анализа сформулируем правило определения устойчивости автоколебаний: автоколебания устойчивы, если годограф

Рис. 27.16

Определить, возможны ли автоколебания и если возможны, то найти их параметры.

Комплексный коэффициент передачи нелинейного звена будет равен

Wн(а)=q(a)+jq`(a),

где

228

называется функцией Ляпунова, если в качестве переменных

нелинейной системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию V =V (x1, x2 ,...., xn ) , чтобы её производная по

V > 0 при любых xi,

а,b,c - произвольные вещественные числа.

Будем придавать этой функции постоянные значения 0,С1,С2,…., причем 0<С1<С2… Тогда получим

Х3

MС2 С1

Х2

Х1x1

Рис. 28.1

При практическом применении метода наибольшую трудность вызывает подбор функции V, так как эта задача неоднозначна и не существует формальных методов нахождения V, поэтому приходится полагаться на опыт и интуицию.

Однако, несмотря на это, метод применяется не только для исследования нелинейных систем, но и при анализе и синтезе адаптивных законов управления. Адаптивные системы управления относятся к классу нелинейных систем.

28.3. Формулировка теоремы Ляпунова в векторно-матричной форме

230

В общем случае, если используется математическое описание САУ в форме уравнений состояния, то функция Ляпунова часто имеет вид квадратичной формы, которая включает в себя члены второй степени по xi и xj

где: x - вектор состояния, pi,j – коэффициенты.

В векторно-матричной форме

где xT – вектор-строка, полученная транспонированием вектора x;

P- квадратная определенно положительная симметрическая матрица типа n×n, элементы которой постоянны, причем P = PT .

Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма (28.12) положительно определенная, если все “n” определителей |P1|,|P2|,…,|Pn| - положительны.

Пример :

+ p12 x1x2 + p22 x22 = p11x12 + p22 x12 + 2 p12 x1x2

так как р12 = р21.

Определение устойчивости линейной системы.

Дифференцирование функции Ляпунова в виде (28.12).

Пусть имеем линейную автономную систему, которая описывается уравнением состояния

Тогда если матрица Q положительно определена, то система (28.13) асимптотически устойчива, так как

231

Эти результаты применяют при синтезе адаптивных систем управления, которые обычно содержат в своем составе как линейные, так и нелинейные части.

29.УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

29.1. Понятие абсолютной устойчивости

Пусть имеем нелинейную систему с одной нелинейной функцией

232

Условие (29.2) графически изображено на рис. 29.1 и показывает, что нелинейная функция должна находиться внутри заштрихованного сектора. Примером такой функции могут служить характеристики АЦП и ЦАП.

Рис. 29.1

29.2. Частотный критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова

Пусть нелинейная система содержит однозначную нелинейность и в ней выделены линейная часть и нелинейное звено (рис. 29.2).

Линейная часть

Рис. 29.2

НЗ описывается уравнением (29.1) и удовлетворяет ограничениям

(29.2).

Пусть линейная часть имеет передаточную функцию (29.3) и

На линейную часть накладываются следующие ограничения: Характеристическое уравнение линейной части Q(p) = 0 имеет все

простые корни с отрицательной вещественной частью и не более двух