u_lectures

33

2) W ( jω) = Kω2 ; тогда j

если обозначить lgω = x , то L(ω) =20lgK2 −20x . Пусть ω=1, тогда L(ω) =20lgK2 .

Определим наклон прямой, для этого вычислим L(ω) при ω1и 10ω1

L(10ω1)−L(ω1) =20lgK2 −20lg10ω1−(20lgK2 −20lgω1) =−20дБ , то есть за

одну декаду L(ω) уменьшится на 20дБ и наклон прямой составляет –20 дБ/дек.

A(ω) =ωK23

L(ω) =20lg K3 −20lgω2 =20lgK3 −40lgω

L(ω) также имеет вид прямой с наклоном –40дБ/дек.

4)W ( jω) =K4 jω

A(ω) = K4 ω

L(ω) =20lgK4 +20lgω

Это уравнение прямой с наклоном +20дБ/дек.

34

3.4. Понятие об устойчивых минимально-фазовых звеньях

Звено называется устойчивым, если при ступенчатом воздействии на входе звена, его выходная величина устанавливается на некотором определенном значении.

где qj – нули W(p), которые являются корнями уравнения B(p) = 0,

ri – полюсы W(p) или корни уравнения A(p) = 0,

П – знак произведения.

Устойчивость звена определяется корнями полиномов. Для устойчивых звеньев полюсы имеют отрицательные вещественные части, при

35

этом свободная составляющая решения дифференциального уравнения содержит слагаемые типа Ci eri t , которые стремятся к нулю.

Минимально-фазовые звенья имеют все нули и полюсы W(p) с отрицательными вещественными частями. Название звеньев обусловлено тем, что этим звеньям присущи меньшие по абсолютной величине фазовые сдвиги по сравнению со звеньями, где это условие не выполняется.

Для этих звеньев справедливы зависимости:

где u – переменная интегрирования. Эти выражения вытекают из преобразований Гильберта и имеют важное значение, так как дают однозначное соответствие между АЧХ и ФЧХ, а также АЧХ и W(jω).

4. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

Любую САУ можно разделить на ряд элементов, которые описываются определенными дифференциальными уравнениями. Причем одним классом дифференциальных уравнений могут описываться элементы различной физической природы (электрические, механические, тепловые и т.д.). Этот факт позволяет все многообразие элементов систем изучать на основе ограниченного числа типовых динамических звеньев.

Поэтому класификация звеньев осуществляется именно по типу дифференциального уравнения или по виду передаточной функции.

Для каждого звена будем рассматривать следующие характеристики:

1.дифференциальное уравнение,

2.передаточная функция – W(p);

3.переходная функция – h(t);

4.частотные характеристики: W(jω), L(ω), ϕ(ω);

5.примеры.

4.1. Безынерционное или пропорциональное звено

Описывается в статике и динамике уравнением

x2 = Kx1,

где K - коэффициент усиления или передачи звена.

Передаточная функция имеет вид

4.2. Апериодическое звено первого порядка

Описывается уравнением

где: k – коэффициент усиления, T – постоянная времени. Передаточная функция

W ( p) =Tpk+1 .

Найдем переходную функцию звена, решив дифференциальное уравнение. Характеристическое уравнение имеет вид

Tr +1=0 ;

Тогда общее решение дифференциального уравнения

Тогда

Подставив начальные условия: t = 0, x2 = 0, получим x2(0) = С + k = 0, откуда C = – k.

38

Окончательное выражение для переходной функции (рис. 4.10) примет

вид

Частотная передаточная функция

W ( jω) = Tjωk +1

Годограф изображен на рис. 4.11.

39

ϕ(ω) =arctg UV ((ωω)) =arctg(−Tω) =−arctgTω;

Построим ЛАЧХ (рис. 4.12)

1)Пусть ω <T1 , тогда пренебрегаем ω и считаем ω2 ≈ 0

L(ω) =20lgk −20lg1=20lgk

2)Пусть ω > T1 , тогда ω2 >> 12T

L(ω) =20lgk −20lgTω = L1(ω) +L2(ω)

Определим наклон L2(ω) на декаду

−20lgT 10ω −(−20lgT ω) =−20lgTω −20lg10+20lgTω =−20дБ/дек

41

Его динамические свойства описываются дифференциальным уравнением второго порядка

T22 d 2 x2 +T1 dx2 + x2 = kx1 . dt2 dt

Звену соответствует передаточная функция:

Характеристическое уравнение звена и его корни имеют вид

Возможны два случая:

1.T12 − 4T22 < 0 – корни комплексные, а звено называется колебательным;

2.T12 − 4T22 ≥ 0 – корни действительные отрицательные, а звено является апериодическим второго порядка.

4.3.1. Колебательное звено

Передаточную функцию звена в этом случае принято записывать в следующем виде

Корни характеристического уравнения будут равны