u_lectures

Известно, что если собственные числа матрицы [A - LC], т.е. корни

характеристического уравнения системы ”объект-наблюдатель” лежат в левой полуплоскости, то система устойчива и при t →0 ошибка оценивания e= xˆ - x →0 , значит вектор xˆ → x . Скорость сходимости оценок зависит от полюсов ”объекта и наблюдателя”.

Пример 1. Построить наблюдатель полного порядка для объекта второго порядка.

Рис. 14.3. Структурная схема

Уравнения состояния, составленные для объекта на рис. 14.3, имеют матрицы А, В и С:

В соответствии с методикой синтеза проведем вычисления:

Найдем характеристическое уравнение системы:

=p2 +(a2 + L11 )p + L11a2 + a1a2 + a1L21 ;

Дж(p)= p2 + 2 ω0 p +ω0 2 .

134

Приравнивая коэффициенты при «р» в одинаковой степени найдем коэффициенты связей наблюдателя:

Структурная схема объекта с наблюдателем приведена на рис. 14.4.

Рис. 14.4. Структура наблюдателя с объектом

Связи наблюдателя необходимо вводить на входы интеграторов.

14.2. Редуцированный наблюдатель

Рассмотренный в предыдущей лекции наблюдатель называют наблюдателем полного порядка. Он оценивает весь вектор x, несмотря на то, что компоненты вектора “y”, входящие в состав “x”, могут быть измерены непосредственно. Для восстановления лишь тех переменных, которые не могут быть непосредственно измерены, наблюдатель может быть выполнен как редуцированный, или наблюдатель пониженного порядка. Все переменные состояния объекта, составляющие вектор “x”, можно разделить на измеряемые, которые образуют вектор “y”, размерности m, и неизмеряемые, образующие вектор w размерности (n-m), т.е. записать:

137

Учитывая, что в редуцированном наблюдателе полный вектор восстановленных координат формируется так

y xˆ = wˆ ,

можно записать, что z = Txˆ , где T = [ -L I ] . Тогда В2 - LB1 = TB .

Тем же образом, что и для наблюдателя полного порядка, решается вопрос выбора динамики или собственных значений матрицы A22 − LA12 ,

через выбор матрицы L.

det [pI - (A22 − LA12 )] = Дж( p).

Для схемы на рис. 14.4 уравнение наблюдателя:

Пример 2. Построить наблюдатель для восстановления переменной х2 в объекте, приведенном ранее.

A21 − LA11 = −a2 −l11 0 = −a2 ; B2 − LB1 = a2 −l11 0 = a2.

Схема наблюдателя приведена на рис. 14.8.

138

С помощью рассмотренных наблюдателей дополнительно можно решать и другие задачи, например.

1. Оценивать возмущения, приложенные к объекту (для этого необходимо в уравнения состояния объекта ввести возмущения как одну из координат).

2. Оценивать изменяющиеся параметры системы ki, Ti и на этой основе строить адаптивные системы.

a2 + l11a1

Рис. 14.8

139

Оценки координат можно использовать для построения модального регулятора.

140

15. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ, ЗАМКНУТОЙ ЧЕРЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЬ

Рассмотрим систему с модальным регулятором, где обратные связи замкнуты по переменным состояния, выработанным наблюдателем (рис. 15.1).

Система описывается уравнением:

Наблюдателю соответствует уравнение:

наблюдатель

xˆ

Рис.15.1.Система с модальным регулятором и наблюдателем

141

Модальному регулятору соответствует закон управления:

Допустим, что V=0 (для простоты). Подставим (15.3) в (15.1) и (15.2) и объединим выражения (15.1) и (15.2) тогда получим:

здесь учтено, что Ly=LCx.

Это уравнение системы с наблюдателем и модальным регулятором.

Перейдем от переменных (x,x)ˆ к переменным (x,е), где e = x - xˆ .

Первое уравнение получим путем добавления и вычитания слагаемого BKx к первому уравнению системы (15.4), второе уравнение получим, вычитая из

(15.1) уравнение (15.2).

Запишем в векторно-матричной форме:

Матрица последней системы треугольная, поэтому характеристический полином замкнутой системы d(p) удовлетворяет уравнению:

d(p)= b(p) c(p),