u_lectures

Выражение (17.9) показывает, что частотный спектр x*(t) представляет сумму частотных спектров непрерывной величины, смещенных на величину

ωи.

Периодичность частотной характеристики составляет особенность импульсной системы и физически связана со свойством импульсного элемента одинаково реагировать на кратные частоты входного сигнала

xвх1

xвых(lT)

t

155

Рис. 17.3

Изображения непрерывного x(t) и дискретного x*(t) сигналов связаны отношением

Первое слагаемое представляет собой спектр выходного сигнала, который бы имел место в непрерывной системе с частотной характеристикой

T1 Wфн(jω).

156

Второе слагаемое отражает влияние импульсного звена. Наличие импульсного элемента приводит к появлению в спектре выходного сигнала высокочастотных составляющих и в результате в общем случае невозможно связать с помощью частотной функции (или передаточной функции) спектры сигналов X(jω) и Xвых(jω) подобно тому, как это делается в непрерывной системе.

T1 |X(jω)|

|X*(jω)|

|Wфн(jω)|

|Xвых(jω)|

Рис. 17.5

То есть наличие импульсного элемента приводит к появлению в спектре выходного сигнала высокочастотных составляющих, которых не было в спектре сигнала X(jω).

17.3. Прохождение сигналов через ИСАУ при выполнении условий теоремы Котельникова

Существует случай, когда можно связать X(jω) и Xвых(jω). Выберем

где ωс – граничная частота входного сигнала x(t). Кроме того, пусть

В этом случае импульсная система эквивалентна непрерывной системе, причем при выполнении условий (17.14) и (17.15) идеальное звено по своим свойствам эквивалентно безынерционному звену с коэффициентом

|Wфн(jω)|

|X*(jω)|

|Xвых(jω)|

Рис. 17.6

Вывод (17.16) при условиях (17.15) и (17.14) получен В.А. Котельниковым и носит название теоремы Котельникова. Смысл теоремы состоит в том, что если требуется передать сигнал x(t) с ограниченным спектром X(jω), то достаточно передать дискретные значения x*(t) с периодом

158

18. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

18.1. Передаточная функция и частотная передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Ранее было установлено, что в общем случае отсутствует пропорциональная связь между спектрами сигналов x(t) и xвых(t).Однако такая связь существует между спектрами и изображениями дискретных

сигналов x*(t) и x*вых(t).

Целесообразность отыскания такой связи следует из возможности представления схемы (рис. 18.1)

xвых,i(t)

159

Рис. 18.4

Реакция системы на импульс в i-й момент и имеющий площадь x(iT), равна (рис. 18.4, б)

xвых,i(t) = x(iT) wфн(t - iT),

где wфн(t) – весовая функция приведенной непрерывной части. Выходную величину xвых(t) можно представить путем суммирования i-х

составляющих

l

xвых(t)= ∑x(iT )wфн (t −iT )

i=0

для lT ≤ t ≤ (l+1)T;

Дискретный входной сигнал, поступающий на вход прямой цепи (рис. 18.3), описывается выражением:

i =0

Пусть приведенная непрерывная часть имеет весовую функцию, то есть реакцию на δ – функцию вида wфн(t), тогда ее выходной сигнал выражается суммой:

∞

xвых(t) = ∑x(iT )wфн(t −iT ) (18. 2)

i =0

Дискретные значения выходного сигнала xвых(lT) определяют из (18.2)

при t=lT.

∞

xвых(lT) = ∑x(iT )wфн((l −i)T ) (18. 3)

i =0

Так как wфн(t) = 0 при t < 0, то заменим нижний предел суммы (вместо k = -i запишем k = 0) и получим

160

где Wp*(p) – передаточная функция разомкнутой импульсной системы. Значит, передаточная функция разомкнутой импульсной системы равна отношению изображений выходного и входного дискретных сигналов,

то есть

Аналогичные равенства существуют и для изображений Фурье

∞

где Wp*(jω)= ∑wфн(kT )e− jωkT – частотная передаточная функция

k=0

разомкнутой импульсной системы.

Wp*(jω) можно найти и другим способом, используя связь между спектрами непрерывных и дискретных величин,

где Wфн (jω) – частотная передаточная функция непрерывной части. Комплексный коэффициент передачи Wp*(jω) является спектром

функции w*фн(t) и обладает свойствами спектров дискретных сигналов, то есть он периодичен по оси частот с периодом ωи.

Поэтому амплитудно-фазовые характеристики импульсных систем можно рассматривать в диапазоне − ω2и ≤ω ≤ ω2и .

18.2. Определение передаточной функции разомкнутой системы по передаточной функции непрерывной части

Передаточная функция разомкнутой системы может быть определена следующими методами:

1. Ранее были получены выражения для нахождения передаточной функции и частотной передаточной функции на основе известной функции веса wфн(t) приведенной непрерывной части

∞

Wp*(p)= ∑wфн(lT )e−plT , (18. 10)

l=0

∞

Wp*(jω)= ∑wфн(lT )e− jωlT . (18.11)

l=0

161

Передаточные функции (18.10) и (18.11) являются изображением дискретного сигнала w*фн(t).

2. Передаточные функции разомкнутой системы Wp*(p) и Wp*(jω) можно найти, если известны передаточные функции приведенной непрерывной части Wфн(p) и Wфн(jω) по выражениям

Однако практически использовать выражения (18. 10) и (18.12) сложно и их редко применяют для определения Wp*(p) в компактной форме. Выражение (18.13) используют при расчетах на ЭВМ.

3. Для получения передаточной функции Wp*(p) целесообразно применять следующую методику.

Пусть имеем эквивалентную схему

Рис. 18.5

Передаточная функция ФЗ, как правило, зависит от p и e-pT и может быть представлена в виде произведения:

WФ(p) = WТ(p) · WФНЧ(p),

где WТ(p) — трансцендентная часть, зависящая от оператора e-pT , WФНЧ(p) — передаточная функция непрерывной части ФЗ.

Относя непрерывную часть ФЗ к непрерывной части системы, получим эквивалентные непрерывную и дискретную части системы, а именно:

WТ(p) — дискретная часть системы,

WПНЧ(p) = WФНЧ(p) · WН(p) — приведенная непрерывная часть. Тогда схема примет вид

Будем рассматривать все сигналы разомкнутой системы только в моменты замыкания ключа ИИЗ. Для этого на выходе системы установим фиктивный импульсный элемент, тогда все передаточные функции станут дискретными передаточными функциями. Обозначим операцию перевода

162

передаточной функции аргумента p в дискретную передаточную функцию аргумента epT оператором Z, то есть

W*(p) = Z[W(p)].

Операцию перевода W(p) в W*(p) удобно осуществлять, разлагая выражение W(p) на простые дроби, то есть представляя передаточную функцию в виде суммы передаточных функций типовых динамических звеньев, например:

Для этого можно применить метод неопределенных коэффициентов. Затем для каждого из слагаемых по таблицам дискретного преобразования Лапласа находят дискретные передаточные функции, а далее определяют результирующую передаточную функцию.

Применяя этот подход, можно найти дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части системы

W*П.Н.Ч. (p) = Z[W П.Н.Ч. (p)].

В результате окончательно получим эквивалентную схему импульсной

Передаточная функция разомкнутой системы будет равна:

Wp*(p) является трансцендентной функцией и может быть представлена в виде:

Wp*(p) = B* ( p) = b0empT +b1e(m−1) pT +... +bm . C* ( p) c0enpT + c1e(n−1) pT +... + cn

Пример 1. Найти передаточную функцию Wp*(p) для импульсной САУ с прямоугольными импульсами при γ = 1 и с непрерывной частью