u_lectures

23

Подставим (2.9) в (2.8)

где T3 = K2 ,

K1

Ti – постоянная времени звена, [c],

K1– коэффициент усиления (безразмерный).

Решая уравнение (2.12) как линейное, можно получить закон изменения выходной величины σ в функции времени σ =σ(t) .

Пример линеаризации звена.

Дана нелинейная функция z = x y , в статике z0 = x0 y0

Образуем функцию F = x y − z =0.

Разложим функцию в ряд Тейлора

Откуда получим уравнение в отклонениях z = y0 x + x0 y .

24

3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМЫ

Динамическое звено – это устройство любого вида и принципа действия, описываемое определенным дифференциальным уравнением.

Свойства звена могут быть определены различными характеристиками: передаточной функцией, временными характеристиками и частотными характеристиками.

3.1. Передаточная функция звена

Пусть дано динамическое звено.

x1(t) x2(t)

Рис. 3.1

Дифференциальное уравнение такого звена можно записать следующим образом:

Применим преобразование Лапласа, тогда уравнение (3.1) можно записать:

Тогда в уравнении (3.2)

25

A1( p) = a0 pn +a1 pn−1 +K+an ,

A2 ( p) = (a0 pn−1 + a1 pn−2 +K+ an−1 ) x2 (0) −(a0 pn−2 + a1 pn−3 +K+ an−2 ) x2′(0) −

−K−a0 x2n−1 (0)

B1( p) = b0 pm +b1 pm−1 +K+bm ,

B2 ( p) = (b0 pm−1 +b1 pm−2 +K+bm−1 ) x1 (0) −(b0 pm−2 + b1 pm−3 +K+ bm−2 ) x1′(0) −K

−b0 x1m−1(0)

Первая составляющая представляет собой эффект действия входного сигнала на звено. Вторая составляющая учитывает начальные условия входной и выходной величин.

Выражение (3.5) называется передаточной функцией звена.

Таким образом, передаточной функцией звена (или системы) называется отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

С физической точки зрения W ( p) можно представить как динамический, т.е., переменный во времени коэффициент передачи звена.

Выражение (3.5) можно представить графически (рис. 3.2).

27

Пример δ(t). Кратковременный ток короткого замыкания в генераторе, кратковременная нагрузка на валу двигателя.

Связь между h(t) и w(t).

Воспользуемся дифференциальным уравнением звена в операторной форме

t

h(t) = ∫w(τ)dτ .

0

Связь весовой функции с передаточной функцией звена

Для звена справедливо:

X2 ( p) =W ( p) X1( p)

Пусть x1(t) =δ (t) ,тогда x2 (t) =ϖ(t) .

Найдем изображения входной и выходной величин:

X1( p) =δ ( p) =1 , X2 ( p) =ϖ( p) =W ( p) 1.

Откуда следует, что

ϖ(t) ÷W ( p).

Таким образом, ϖ(t) и W ( p) связаны с помощью прямого преобразования

Лапласа

W ( p) = ∞∫ϖ(t)e− ptdt .

0

28

∞

W ( p) = p∫h(t)e− pt dt - связь переходной и передаточной функций.

0

Если входное воздействие x1(t) произвольно то X2 ( p) =W ( p)* X1( p)

и на основании теоремы свертки x2 (t) = ∫t ϖ(t)* x1(t −τ)dτ ,

0

где τ - вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от 0 до рассматриваемого текущего времени t0.

3.3. Частотные характеристики звеньев

Переходные характеристики дают сведения о поведении системы в

переходных режимах. Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать поведение систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. Выбор гармонических воздействий обусловлен следующими причинами:

реальные воздействия можно разложить в ряды Фурье,

гармонические воздействия можно легко получить в эксперименте.

Тогда на выходе появится также гармонические колебания, имеющие ту же

частоту, но в общем случае сдвинутые по фазе относительно входной величины на угол ϕ, то есть x2 = X2 cos(ωt +ϕ).

Представим x1 и x2 в символической форме

29

Продифференцируем (3.8) и (3.9) по t и подставим в (3.10)

W ( jω) – это комплексное число, модуль которого равен отношению

амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент сдвигу фаз

входной и выходной величин

Если в W(p) вместо p подставить jω, то формально можно получить

частотную передаточную функцию. Выражение (3.12) можно представить

где U(ω) – вещественная составляющая частотной функции; V(ω) – мнимая составляющая частотной функции.

Можно представить W ( jω) и в другой форме, а именно:

30

W ( jω) == A(ω) e jϕ(ω) ,

где W ( jω) = U 2(ω) +V 2(ω) = A(ω) – модуль частотной передаточной функции,

ϕ(ω) = arctg UV ((ωω)) – фаза частотной передаточной функции.

Для наглядного представления частотных свойств звена применяются так называемые частотные характеристики.

3.3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Строится на комплексной плоскости. Представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих

Основные свойства:

1)Число квадрантов, где проходит АФХ не выше, чем порядок дифференциального уравнения;

2)АФХ, построенные при изменении ω от 0 до +∞ и от 0 до -∞, симметричны.

3)Можно построить зависимости модуля и фазы от частоты (рис. 3.7).

Прологарифмируем (3.13)

lnW ( jω) =ln A(ω) + jϕ(ω) ,

то есть логарифм W(jω) – это комплексное выражение, где действительная часть– ln модуля, а мнимая часть– фаза.

Для практических целей удобно пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ).

Для построения ЛАХ находится величина

L(ω) =20lgW ( jω) =20lg A(ω).

L(ω) – измеряется в децибелах [дБ].

Бел – это такое усиление, когда мощность увеличивается в 10 раз (1Б=10дБ) 2 Бела – усиление в 100 раз.

Крупные единицы: декабелы, гектобелы и т. д. Мелкие единицы: децибелы, сантибелы и т. д.

Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды (например, P ≈ I 2 ), то при усилении, равном 1Б, величина

lgW ( jω) 2 = 2lgW ( jω) равна 1, при усилении, равном 2Б, эта величина равна

2 и т. д.

Следовательно, усиление амплитуды в Б, численно равно 2lgW ( jω) , а усиление в децибелах, численно равно 20lgW ( jω) .

По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие lgω, а около них пишется само значение частоты ω, [рад/сек].

Единицами измерения ω являются октава и декада.

32

Декада – это интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 10ω.

lg10ω−lgω=lg10=1, то есть отрезок между ω и 10ω не зависит от

абсолютного значения ω.

Октава – интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 2ω.

lg 2ω−lgω=lg 2 , тоже не зависит от абсолютного значения ω.

-60°

Рис. 3.8

Практически для нанесения логарифмического масштаба можно пользоваться выражением:

mω [мм] = mдек [мм] lgω ,

где: ω – угловая частота, mдек – длина декады в миллиметрах, mω –длина

отрезка от начала декады до заданной частоты. Достоинства логарифмического масштаба:

•Могут быть нанесены на график несоизмеримые значения амплитуды и частоты;

•ЛАЧХ являются прямолинейными;

•Основное достоинство ЛАЧХ в том, что их построение почти не требует вычислительной работы. Это особенно заметно, когда W(jω) может быть представлена в виде произведения сомножителей.

W ( jω) =W1( jω) W2( jω) ;

W ( jω) = A1(ω)e jϕ1(ω) A2(ω)e jϕ2 (ω) = A1(ω) A2(ω) e j[ϕ1(ω)+ϕ2(ω)] ,

то есть логарифмические частотные характеристики можно получить суммированием ординат отдельных ЛАХ.

L(ω) =20lg A1(ω) lg A2(ω)

L(ω) =20lg A1(ω) +20lg A2(ω)

ϕ(ω) =ϕ1(ω) +ϕ2(ω)