u_lectures

103

Т.е. f1 дает статическую ошибку, а f2 не дает.

10.2. Коэффициенты ошибок

Пусть на входе системы действует сигнал g(t) произвольной формы. Найдем изображение сигнала ошибки.

где ΦX ( p) – передаточная функция замкнутой системы по ошибке, G( p) – изображение сигнала g(t) .

Разложим ΦX ( p) в ряд по возрастающим степеням p

сходящийся при малых значениях p, то есть при больших значениях времени t, что соответствует установившемуся процессу при заданном g(t) .

Перейдем в (10.7) к оригиналу и получим формулу для установившейся ошибки

10.3. Повышение степени астатизма

Системой с нулевым порядком астатизма или статической по данному воздействию называется система, у которой при g = g0 = const ошибка x

пропорциональна величине g0 . Это возможно только при c0 ≠ 0 .

Системой с астатизмом первого порядка называется система, у которой x = 0 при g = g0 + g10t постоянна и пропорциональна g10 . Это возможно, если

c0 = 0 , c1 ≠ 0 .

величине q20 .

Рассмотрим структурный признак астатизма.

Пусть имеем систему (рис. 10.4).

105

Рис. 10.4

Порядок астатизма по отношению к рассматриваемому воздействию f

равен числу интегрирующих звеньев, включенных в цепь обратной связи W1 ( p) между точками приложения воздействия (входом) и измерения

ошибки (выходом) и не зависит от числа интегрирующих звеньев, включенных в цепь прямого преобразования сигнала.

Для управляющего воздействия весь контур системы представляет собой обратную связь.

Пример:

Из структурной схемы следует, что:

система является астатической 2-го порядка по управляющему воздействию,

система является астатической 1-го порядка по возмущающему воздействию.

11. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

1.1. Описание систем в виде уравнений пространства состояний

Классическая теория использует, главным образом, аппарат передаточных функций и частотных характеристик. В последние десятилетия сформировался раздел, получивший название «современная теория управления».

106

Ее главной особенностью является рассмотрение систем во временной области на основе понятия пространства состояний. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы со многими входами и выходами, в связи с чем широко используется язык векторноматричных уравнений и аппарат линейной алгебры. Фундаментальным понятием современной теории управления является понятие состояния.

Состояние системы в момент времени t0 , есть такая минимальная совокупность сведений о ней, которая вместе с входным воздействием, заданным на интервале времени t0 ≤ t ≤ t1 , позволяет прогнозировать

поведение системы в любой точке этого интервала [1].

САУ можно описать в общем случае системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши.

Для более узкого, но широко распространенного класса систем , т.е. для линейных стационарных систем уравнения состояния можно записать в векторно-матричной форме:

x1(t)

где x(t) = . – n- мерный вектор состояния;

.xn (t)

u1 (t)

u(t) = . – к- вектор входных воздействий;

.uk (t)

109

Рис.

Рис. 11.1. Структурная схема двигателя постоянного тока

Преобразование передаточных функций элементов структурных схем в дифференциальные уравнения в форме Коши приведено в прил. 3 [1].

Запишем дифференциальные уравнения для апериодического и интегрирующего звеньев, используя вспомогательные переменные

xВХ1 и xВХ 2 :

Для исключения вспомогательных переменных xВХ1 и xВХ2 , выразим их

через переменные состояния и входные величины непосредственно из структурной схемы на рис. 11.1:

Подставим (11.4) в исходную систему (11.3):

Уравнение выхода

111

1.3. Составление уравнений состояния по известной передаточной функции

При записи уравнений состояния по известной передаточной функции существует несколько основных форм уравнений состояния (канонические формы

1,2 и 3-го типа).

Наиболее простым является метод фазовых переменных, он применяется в одномерном случае, т.е. для систем с одним входом и одним выходом.

Пусть известна передаточная функция системы:

(11.10)

где m<n.

Уравнение (11.10) умножим на U(p)B(p) , тогда получим

Y(p) U(p) =

(b0 pm +b1 pm-1 + ...+bm )= (a0 pn + a1 pn-1 + ...+ an ) X ( p).

(11.11)

где Х(р) – новая переменная.

Тогда равенство (11.11)можно представить в виде 2-х уравнений: