Контрольные вопросы:
1. Дискретная случайная величина.
2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения вероятностей.
3. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл.
4. Дисперсия дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл. Среднее квадратическое отклонение.
5. Функция распределения дискретной случайной величины. Свойства функции распределения.
6. Числовые характеристики среднего арифметического независимых и одинаково распределённых случайных величин.
7. Мода и медиана дискретных случайных величин.
Контрольные задания:
1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов.
а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе,
б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,
в) найти её функцию распределения F(х),
г) построить график F(х),
д) найти вероятность события Р(9<Х≤11)
е)
найти М(Х),
D(X),
(X),
,
.
2. Игральная кость брошена 4 раза.
а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число появления пятёрки.
б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,
в) найти её функцию распределения F(х),
г) построить график F(х),
д) найти вероятность события Р(Х≤2),
е)
найти М(Х),
D(X),
(X),
,
.
Задания для домашней работы:
Произведены три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно: 0,4, 0,5 и 0,7.
а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число попаданий по мишени,
б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,
в) найти её функцию распределения F(х),
г) построить график F(х),
д) найти вероятность события Р(1<Х≤3)
е)
найти М(Х),
D(X),
(X),
,
.
Тема №8 «Непрерывные случайные величины»
Цель: познакомиться с понятием непрерывной случайной величины, научиться находить плотность и функцию распределения непрерывной случайной величины, её основные характеристики.
Краткие теоретические сведения:
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Плотностью
вероятности
непрерывной случайной величины Х
называется производная ее функции
распределения
.
График
плотности вероятности
называется кривой
распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
- условие нормировки,
5)
F(x)=
.
M(Х)=
- математическое ожидание непрерывной
случайной величины,
D(Х)=
- дисперсия непрерывной случайной
величины.
Модой Мо непрерывной случайной величины называется значение, для которого плотность вероятности достигает максимума.
Медианой Ме непрерывной случайной величины называется значение, для которого.
Пример. Случайная величина имеет плотность распределения вероятности
Требуется:
а)
найти постоянную
,
б) найти функцию распределения F(x),
в) построить графики f(x) и F(x),
г)
найти Р(
),
д) найти параметры распределения.
Решение:
а) используем свойство плотности
распределения
:
а=1,
следовательно
=2.
б)
при х≤0
F(х)=
,
при
0<х≤1
F(x)=
,
при
х>1
F(x)=
,
то есть
в)
г)
Р(
)=
,
д)
М(Х)=
=
,
М(Х2)=
,
D(X)=
М(Х2)-
М2(Х)=
,
.
Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения
F(x)=
.
Решение. Найдем плотность распределения:
f(x)=F’(x)=
.
M(Х)
=
,
Найдем
искомую дисперсию D(x)=
=
.