Тема №5 «Теоремы теории вероятностей»

Цель: научиться использовать для нахождения вероятностей событий теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий, умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, формулы полной вероятности и Байеса.

Краткие теоретические сведения:

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех событий.

Свойства операций над событиями:

1) ,

2) Ø,

3) ,

4) , - коммутативность,

5) , - ассоциативность,

6) - дистрибутивность,

7) , - законы де Моргана,

8) , ,

9) , Ø ,

10) Ø = Ø, .

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Если же вероятность события А зависит от наступления или ненаступления события В, то А называется зависимым от В событием.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается .

Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна , и вероятность события B равна . Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A), то вероятность появления события B при втором испытании будет . Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(A)·P(B).

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло .

Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени?

Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A) равна P(A)=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B) равна P(B)=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P(AB)=P(A)P(B)=0,8·0,7=0,56.

Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94.

Формула полной вероятности:

Если случайные события Н₁,Н₂,...,Н_n образуют полную группу, и если событие А может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события А можно определить по формуле:

,

Пример. В деканат поступили результаты тестирования по трём предметам в соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05, 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.

Решение. Пусть - событие, состоящее в том, что взятая наугад работа по i-му предмету. Тогда по условию . Событие А состоит в том, что взятая наудачу работа – неудовлетворительная. По условию .

Тогда .

Формулы Байеса: , .

Пример. Используя данные предыдущей задачи, определить вероятность того, что оказавшаяся неудовлетворительной работа – это работа по второму тесту.

Решение. .