Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»
По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.
Здесь
- номер студенческой группы,
- номер фамилии студента в журнале.
|
11,70 |
12,90 |
10,32 |
9,50 |
5,91 |
11,56 |
10,81 |
9,32 |
13,00 |
12,90 |
|
7,35 |
11,80 |
17,00+ |
14,10 |
9,74 |
9,76 |
6,96 |
15,05 |
14,67 |
9,73+N/10 |
|
11,35 |
10,51 |
15,95 |
12,41 |
13,56 |
6,68 |
13,75 |
16,95 |
8,81 |
10,60+N/10 |
|
13,90 |
9,03 |
7,39 |
13,85 |
11,99 |
6,23 |
12,56 |
12,03 |
12,97 |
15,95 |
|
11,00 |
7,76 |
10,48 |
12,80 |
12,05 |
12,33 |
5,60- |
8,80 |
9,85 |
10,11+ |
|
9,75 |
13,70 |
12,09 |
13,40 |
9,02 |
6,67 |
12,37 |
11,67 |
12,00 |
13,60 |
|
15,21 |
9,70 |
13,70 |
16,10 |
13,60 |
14,40 |
14,75 |
8,06 |
13,01 |
10,70+N/10 |
|
13,57 |
15,30 |
12,30 |
15,85 |
17,60 |
11,25 |
12,75 |
11,50 |
12,27 |
11,50 |
|
9,21 |
10,79 |
11,11 |
12,31 |
16,80 |
16,20 |
10,36 |
6,86 |
12,90 |
8,64+(N+ |
|
14,90 |
16,00 |
12,00 |
12,31 |
9,35 |
16,60 |
15,67 |
15,33 |
8,69+ |
12,07 |
/10
/10
/10
)/10
/10
Пример
вычисления для студента с параметрами
=0,
=0.
Решение.
|
11,70 |
12,90 |
10,32 |
9,50 |
5,91 |
11,56 |
10,81 |
9,32 |
13,00 |
12,90 |
|
7,35 |
11,80 |
17,00 |
14,10 |
9,74 |
9,76 |
6,96 |
15,05 |
14,67 |
9,73 |
|
11,35 |
10,51 |
15,95 |
12,41 |
13,56 |
6,68 |
13,75 |
16,95 |
8,81 |
10,60 |
|
13,90 |
9,03 |
7,39 |
13,85 |
11,99 |
6,23 |
12,56 |
12,03 |
12,97 |
15,95 |
|
11,00 |
7,76 |
10,48 |
12,80 |
12,05 |
12,33 |
5,60 |
8,80 |
9,85 |
10,11 |
|
9,75 |
13,70 |
12,09 |
13,40 |
9,02 |
6,67 |
12,37 |
11,67 |
12,00 |
13,60 |
|
15,21 |
9,70 |
13,70 |
16,10 |
13,60 |
14,40 |
14,75 |
8,06 |
13,01 |
10,70 |
|
13,57 |
15,30 |
12,30 |
15,85 |
17,60 |
11,25 |
12,75 |
11,50 |
12,27 |
11,50 |
|
9,21 |
10,79 |
11,11 |
12,31 |
16,80 |
16,20 |
10,36 |
6,86 |
12,90 |
8,64 |
|
14,90 |
16,00 |
12,00 |
12,31 |
9,35 |
16,60 |
15,67 |
15,33 |
8,69 |
12,07 |
Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.
|
5,60 |
8,06 |
9,50 |
10,48 |
11,50 |
12,05 |
12,56 |
13,56 |
14,40 |
15,95 |
|
5,91 |
8,64 |
9,70 |
10,51 |
11,50 |
12,07 |
12,75 |
13,57 |
14,67 |
15,95 |
|
6,23 |
8,69 |
9,73 |
10,60 |
11,56 |
12,09 |
12,80 |
13,60 |
14,75 |
16,00 |
|
6,67 |
8,80 |
9,74 |
10,70 |
11,67 |
12,27 |
12,90 |
13,60 |
14,90 |
16,10 |
|
6,68 |
8,81 |
9,75 |
10,79 |
11,70 |
12,30 |
12,90 |
13,70 |
15,05 |
16,20 |
|
6,86 |
9,02 |
9,76 |
10,81 |
11,80 |
12,31 |
12,90 |
13,70 |
15,21 |
16,60 |
|
6,96 |
9,03 |
9,85 |
11,00 |
11,99 |
12,31 |
12,97 |
13,75 |
15,30 |
16,80 |
|
7,35 |
9,21 |
10,11 |
11,11 |
12,00 |
12,33 |
13,00 |
13,85 |
15,33 |
16,95 |
|
7,39 |
9,32 |
10,32 |
11,25 |
12,00 |
12,37 |
13,01 |
13,90 |
15,67 |
17,00 |
|
7,76 |
9,35 |
10,36 |
11,35 |
12,03 |
12,41 |
13,40 |
14,10 |
15,85 |
17,60 |
1) находим размах выборки:
,
2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:
,
3) находим величину классового интервала:
,
4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:
,
,
и
так далее,
,
и
так далее.
5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:
|
Границы интервалов |
Середина интервала |
Эмпирическая частота | |
|
|
|
|
|
|
4,815 |
6,385 |
5,600 |
3 |
|
6,385 |
7,956 |
7,171 |
7 |
|
7,956 |
9,527 |
8,741 |
11 |
|
9,527 |
11,097 |
10,312 |
16 |
|
11,097 |
12,668 |
11,883 |
24 |
|
12,668 |
14,239 |
13,453 |
19 |
|
14,239 |
15,809 |
15,024 |
9 |
|
15,809 |
17,380 |
16,595 |
10 |
|
17,380 |
18,951 |
18,165 |
1 |
Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:
,
.
Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:
|
Границы интервалов |
|
|
Границы интервалов |
|
|
- |
| ||
|
|
|
|
| ||||||
|
4,815 |
6,385 |
- |
-5,497 |
|
-1,921 |
-0,5 |
-0,4726 |
0,0274 |
2,74 |
|
6,385 |
7,956 |
-5,497 |
-3,927 |
-1,921 |
-1,372 |
-0,4726 |
-0,4147 |
0,0579 |
5,79 |
|
7,956 |
9,527 |
-3,927 |
-2,356 |
-1,372 |
-0,823 |
-0,4147 |
-0,2939 |
0,1208 |
12,08 |
|
9,527 |
11,097 |
-2,356 |
-0,785 |
-0,823 |
-0,274 |
-0,2939 |
-0,1064 |
0,1875 |
18,75 |
|
11,097 |
12,668 |
-0,785 |
0,785 |
-0,274 |
0,274 |
-0,1064 |
0,1064 |
0,2128 |
21,28 |
|
12,668 |
14,239 |
0,785 |
2,356 |
0,274 |
0,823 |
0,1064 |
0,2939 |
0,1875 |
18,75 |
|
14,239 |
15,809 |
2,356 |
3,923 |
0,823 |
1,372 |
0,2939 |
0,4147 |
0,1208 |
12,08 |
|
15,809 |
17,380 |
3,923 |
5,497 |
1,372 |
1,921 |
0,4147 |
0,4726 |
0,0579 |
5,79 |
|
17,380 |
18,951 |
5,497 |
- |
1,921 |
|
0,4726 |
0,5 |
0,0274 |
2,74 |
|
|
1 |
100 | |||||||
-
Найдём
наблюдаемые значения
и
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2,74 |
0,03 |
0,0274 |
0,03 |
0,0274 |
0,0026 |
0,0247 |
|
7 |
5,79 |
0,07 |
0,0579 |
0,10 |
0,0853 |
0,0147 |
0,2529 |
|
11 |
12,08 |
0,11 |
0,1208 |
0,21 |
0,2061 |
0,0039 |
0,0966 |
|
16 |
18,75 |
0,16 |
0,1875 |
0,37 |
0,3936 |
0,0236 |
0,4033 |
|
24 |
21,28 |
0,24 |
0,2128 |
0,61 |
0,6064 |
0,0036 |
0,3477 |
|
19 |
18,75 |
0,19 |
0,1875 |
0,80 |
0,7939 |
0,0061 |
0,0033 |
|
9 |
12,08 |
0,09 |
0,1208 |
0,89 |
0,9147 |
0,0247 |
0,7853 |
|
10 |
5,79 |
0,10 |
0,0579 |
0,99 |
0,9726 |
0,0174 |
3,0612 |
|
1 |
2,74 |
0,01 |
0,0274 |
1,00 |
1,00 |
0 |
1,1050 |
|
|
=0,0247
|
=6,080 | |||||
=
=0,247
=
Критические значения находим в соответствующих таблицах:
=
,так
как
6,08<
,
то принимается гипотеза о нормальном
распределении генеральной совокупности,
аналогично
,
так как
<
,
то гипотеза о нормальном законе
распределения подтверждается и критерием
Колмогорова.
Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.
|
|
|
|
|
|
-6,283 |
118,428 |
-744,083 |
4675,073 |
|
-4,712 |
155,421 |
-732,344 |
3450,805 |
|
-3,142 |
108,59 |
-341,19 |
1072,019 |
|
-1,571 |
39,489 |
-62,037 |
97,46 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,57 |
46,833 |
73,528 |
115,439 |
|
3,141 |
88,793 |
278,899 |
876,022 |
|
4,172 |
222,029 |
1046,201 |
4929,699 |
|
6,282 |
39,476 |
247,988 |
1557,861 |
|
|
8,19 |
-2,33 |
167,744 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,883 |
8,274 |
2,876 |
-0,0979 |
-0,548 |
12,064 |
11,948 |
Найдём
доверительный интервал для математического
ожидания
при неизвестной дисперсии
.
Рис.:
,
,
Найдём
доверительный интервал для дисперсии
при
неизвестном
.
,
где
,
,
,
,
.