Тема №6 «Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Закон Пуассона»
Цель: познакомиться со схемой независимых повторных испытаний Бернулли, формулой Бернулли, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа, формулой Пуассона.
Краткие теоретические сведения:
Схема Бернулли.
Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A. Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p, а вероятность появления противоположного события Ā есть q.
Тогда вероятность появления интересующего нас события A ровно k раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли:
Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка?
Решение.
Задача подходит под схему повторных
испытаний и решается по формуле Бернулли:
n=5,
k=3,
p=0,8
и q=1-0,8=0,2:
.
Асимптотическая формула Пуассона.
В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний.
При
этих условиях для вычисления вероятности
появление события k
раз в n
испытаниях пользуются асимптотической
формулой Пуассона:
,
где
.
Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется 3 изделия бракованных?
Решение.
В условии примера дано p=0,005,
n=400,
k=3,
следовательно,
.
Вероятность данного события найдем по
формуле Пуассона
.
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
Если
вероятность наступления события в
каждом испытании постоянна и отлична
от 0 и 1, то вероятность
того, что событие A
произойдет k
раз в n
независимых испытаниях при достаточно
большом числе n,
приближенно равна:
,
где
- функция Гаусса,
.
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
Если
вероятность наступления события в
каждом испытании постоянна и отлична
от 0 и 1, то вероятность того, что число
k
наступления события A
в
n
независимых испытаниях заключено в
пределах от
до
,
при достаточно большом числе приближенно
равна:
,
где
- функция Лапласа
,
.
Следствия:
Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:
1)
Число k
наступлений события А
отличается
от произведения np
не более, чем на величину
равна:
2)
Относительная частота
события A
заключена в пределах от
до
равна:
,
,
3)
Относительная частота
события А
отличается от его вероятности р
не более, чем на величину Δ>0 равна:
.
Контрольные вопросы:
1.Схема независимых повторных испытаний Бернулли.
2. Формула Бернулли.
3. Закон редких событий (формула Пуассона).
4. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.