Контрольные вопросы:

1. Высказывание. Простые и составные высказывания. Высказывательная форма.

2. Операции алгебры логики: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и их свойства.

3. Формула алгебры логики. Равносильные формулы алгебры логики. Тавтология. Противоречие.

4. Основные равносильности.

5. Виды теорем. Необходимое и достаточное условия.

6. Элементарная конъюнкция. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).

7. Элементарная дизъюнкция. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

8. Предикат. Область истинности предиката.

Контрольные задания:

1. Доказать тождественную истинность основных формул математической логики.

2. Упростить:

а) ,

б) ,

в) ((→)→)→,

г) (→)(→)().

3. Привести формулу к СДНФ и СКНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к ДНФ и КНФ:

4. Решить задачу:

По подозрению в совершённом преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот что они утверждали:

Браун: «Я совершил это. Джон не виноват»,

Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит»,

Смит: «Я не виноват, виноват Браун».

Определить имя старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

5. Найти область истинности предиката : «быть кратным трём», если:

а) область определения {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},

б) {3,6,9,12,15},

в) {1,2,5,7,11,14}.

6. Записать на языке логики предикатов определения:

а) периодической функции,

б) чётной функции,

в) построить отрицания определений в примерах а) и б).

Задания для домашней работы:

1. Доказать равносильность следующих формул: и .

2. Решить задачу:

Известно, что если Джонс не встречал ночью Смита, то Смит – убийца. Джонс говорит неправду или Смит не убийца. Джонс говорит правду. Верно ли, что Джонс встретил ночью Смита.

3. Найти область истинности предиката : «х³-5х²+6х>0» и .

Тема №4 «Вычисление вероятностей случайных событий»

Цель: усвоить основные понятия теории вероятностей – достоверные, невозможные, случайные события; совместные и несовместные события; научиться использовать классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

Краткие теоретические сведения:

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Опытом (испытанием) называется всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Событием называется всякий возможный факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Обозначаются большими латинскими буквами.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте.

Невозможным Ø называют событие, которое в данном опыте не может произойти.

Случайным называют событие, которое в данном опыте может произойти, но может и не произойти.

Два события A и B называются несовместными, если в данном испытании они не могут произойти вместе.

Два события A и B называются совместными в данном испытании, если появление одного из них не исключает возможность появления другого события в этом же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если они несовместны и единственно возможные исходы испытания.

Если в полной группе только два события, то они называются противоположными.

Исход опыта называется благоприятствующим некоторому событию, если его появление влечет за собой появление данного события.

Вероятность некоторого события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов (классическое определение вероятности): .

Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров, тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взятый наудачу из урны один шар окажется белым?

Решение. В данном испытании имеется всего 12 возможных исходов, из них 5 благоприятствуют появлению белого шара. Поэтому вероятность появления белого шара .

Относительной частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведённых опытов: .

Пример. Монетку подбросили 100 раз. Герб появился 52 раза. Тогда вероятность появления герба .

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения относительной частоты (статистическое определение вероятности).

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей событию А, к мере всей области: .

Пример. Найти вероятность попадания точки в круг, вписанный в квадрат со стороной .

Решение. Площадь круга, вписанного в квадрат со стороной , равна - мера области, благоприятствующей нашему событию, площадь квадрата - - мера всей области. Тогда искомая вероятность равна .

Свойства вероятности:

1) ,

2) Ø,

3) .