Краткие теоретические сведения:

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор , который имеет уровней на изучаемую величину . Или, фактически, проверяют гипотезу о равенстве математических ожиданий наблюдаемых значений на каждом из уровней.

Идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порожденной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами.

Если различия между дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на , в этом случае математические ожидания наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются также значительно.

Пусть на действует фактор , который имеет постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне равно . Тогда наблюдалось значенийпризнака, где– номер испытания,– номер уровня фактора.

Результаты наблюдений оформляются в виде таблицы:

№ испытания	Уровни фактора
			…
1 2 …	…	…	… … … …	…

Далее рассчитываем остаточную и факторную дисперсии по формулам:

,

, ,

, .

Гипотеза о значимости фактора принимается, если , где уровень значимости, и отвергается, если (смотрите тему о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей).

Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором и 2 – на третьем.

№ испытания	Уровни фактора
1	40	62	92
2	44	80	76
3	48	71
4	36	91

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Решение.

44942-40960=3982,

=44272-40960=3312,

Q_ост=3982-3312=670.

S²_факт=,S²_ост=.

, .

Так как F_набл>F_кр – нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергаем, следовательно, принимаем гипотезу о значимости фактора.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи дисперсионного анализа.

2. Факторная и остаточная дисперсии.

3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких генеральных совокупностей методом дисперсионного анализа.

4. Двухфакторный дисперсионный анализ.

5. Дисперсионные модели.

Контрольные задания:

1. Произведено по 4 испытания на каждом из трёх уровней. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Номер испытания	Уровни фактора
1	51	52	42
2	52	54	44
3	56	56	50
4	57	58	52

2. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Номер испытания	Уровни фактора
1	54	63	58
2		80	66
3	38
4	36	77

3. В четырёх экспериментальных центрах проверялись три методики тестирования. Данные об успешности тестирования приведены в таблице. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить влияние на успешность тестирования методик (фактор А) и экспериментальных центров (фактор В).

	А1			А2			А3
	1	2	3	1	2	3	1	2	3
В1	50	54	58	62	60	58	65	71	65
В2	54	46	50	64	59	60	59	54	61
В3	52	48	50	70	62	60	59	66	64
В4	60	55	56	58	54	50	71	74	62