- •Государственное бюджетное образовательное учреждение
- •Тема №1 «Элементы теории множеств»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №2 «Элементы математической логики»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №4 «Вычисление вероятностей случайных событий»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №5 «Теоремы теории вероятностей»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №6 «Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Закон Пуассона»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №7 «Дискретные случайные величины»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №8 «Непрерывные случайные величины»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №11 «Построение статистических рядов, нахождение их характеристик»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №12 «Нахождение точечных и интервальных оценок параметров распределения»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №14 «Дисперсионный анализ»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №15 «Применение непараметрических критериев»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №16 «Корреляционно-регрессионный анализ»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №26 «Анализ и сглаживание временных рядов»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Самостоятельная работа Тема №1 «Задачи теории вероятностей»
- •1. Решить задачу, используя теоремы сложения или умножения вероятностей.
- •2. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулы Байеса.
- •3. Решить задачу, используя формулы Бернулли или закон Пуассона.
- •4. Решить задачу, используя теоремы Муавра – Лапласа.
- •5. Дана случайная величина. Требуется:
- •Тема №2 «Проверка статистических гипотез»
- •Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»
- •Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»
- •Приложения Значения функции Лапласа
- •Значения функции Гаусса
- •Значения - критерия Стьюдента
- •Значения - критерия Пирсона
- •Значения - критерия Фишера – Снедекора
- •Значения - критерия Фишера – Снедекора
- •Значения - критерия Кочрена
- •Значения - критерия Уилкоксона
- •Значения - критерия Колмогорова
- •Значения - критерия Дарбина – Уотсона
- •Равномерно распределённые случайные числа
Контрольные вопросы:
Понятие множества и его элементов. Способы задания множеств.
Конечное и бесконечное множества.
Подмножество. Свойства подмножеств.
Операции над множествами.
Основные числовые множества.
Мощность множества. Счётное и несчётное множества.
Декартово произведение множеств.
Нечёткие множества. Пример.
Операции над нечёткими множествами.
Понятие лингвистической переменной.
Контрольные задания:
1. Определить является ли одно из множеств и собственным подмножеством другого:
а) {1,{1,2}}, {{1,2},2},
б) {1}, {1,{1}}.
2. Какие из элементов множества одновременно являются и его подмножествами: {Ø,{Ø},{1}}?
3. Для двухэлементного множества построить - множество всех подмножеств : ={1,2}.
4. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств и :
а) и – множества всех букв слов «параллельность» и «трапеция»,
б) и – множества всех цифр чисел 3464675678 и 3464758858.
5. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:
а) [3;7), (4;9],
б) (-;5], (0;+ ),
в) [1;10], (-7;4].
6. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:
а) \ = \(),
б) \ = ()\,
в) ()\ = (\)( \),
г) (\)( \) = ()\.
7. Решить задачу:
Из 32 учеников класса 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 – и в той, и в другой. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях.
Задания для домашней работы:
1. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств и :
а) и – множества всех букв слов «алгебра» и «планета»,
б) и – множества всех цифр чисел 5660399839 и 5382388992.
2. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:
а) (\)\ = \(),
б) \(\) = (\)( ),
в) (\)(\) = ()\( ).
3. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:
а) (-1;3), [2;+ ),
б) [1;4), [2;3],
в) [1;3), [5; +).
Тема №2 «Элементы математической логики»
Цель: научиться приводить дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы к совершенным дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным формам, используя логические равносильности; применять законы математической логики для решения логических задач; применять язык логики предикатов для записи математических предложений, определений, построения противоположных утверждений.
Краткие теоретические сведения:
Высказывание – любое повествовательное предложение, которому можно приписать истинностное значение.
Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется элементарным.
Высказывание, образованное из элементарных с помощью логических связок «и», «или», «если, то», «не», называется составным (сложным).
Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.
Логическая операция, соответствующая логической связке «не» («неверно, что») называется отрицанием: . Отрицание истинно, когда основное высказывание ложно.
1 |
0 |
0 |
1 |
Логическая операция, соответствующая логической связке «и», называется конъюнкцией: . Конъюнкция истинна, когда истинны оба высказывания.
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Логическая операция, соответствующая логической связке «или», называется дизъюнкцией: . Дизъюнкция ложна, когда ложны оба высказывания.
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Логическая операция, имеющая вид «если , то », называется импликацией: . Высказывание называется посылкой, – заключением. Импликация ложна, когда посылка истинна, а заключение ложно.
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Логическая операция, соответствующая сложному союзу «тогда и только тогда, когда», называется эквиваленцией: . Эквиваленция истинна, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Приоритет логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
Под формулой логики высказываний понимается следующее:
всякое элементарное высказывание есть формула,
если и – формулы, то , , , , ,
других формул, кроме перечисленных в 1) и 2), нет.
Две формулы называются равносильными, если их таблицы истинности совпадают: .
Основные формулы математической логики:
1) - закон тождества,
2) - закон противоречия,
3) - закон исключённого третьего,
4) - снятие двойного отрицания,
5) , - идемпотентность,
6) , - коммутативность,
7) , - ассоциативность,
8) , - дистрибутивность,
9) , - законы Де Моргана,
10) , , , - сочленение переменной с константой,
11) , - законы поглощения,
12) , - законы склеивания,
13) , - замена импликации,
14) - правило modus ponens,
15) - правило силлогизма,
16) - закон контрапозиции,
17) - соединение посылок,
18) - разъединение посылок.
Примеры. 1) Доказать формулу .
Решение.
-
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Видим, что средний столбик состоит из одних единиц, равносильность доказана.
2) Упростить формулу .
Решение.
.
Формула называется тождественно – истинной (тавтологией) (тождественно – ложной (противоречием)), если её истинностное значение «истина» («ложь») при любых возможных значениях переменных.
Предложение называется прямым утверждением, - обратным, - противоположным, - обратнопротивоположным.
Если предложение - истинно, то оно называется теоремой. - достаточное условие для , - необходимое условие для или следствие .
Если - истинно и - истинно, то - необходимое и достаточное условие для , а - необходимое и достаточное условие для .
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) представляет собой дизъюнкцию конъюнкций переменных и их отрицаний, либо конъюнкцию самих переменных.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) представляет собой конъюнкцию дизъюнкций переменных и их отрицаний, либо дизъюнкцию самих переменных.
Любую формулу можно привести к ДНФ или к КНФ.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – дизъюнкция конъюнкций, содержащих все исходные переменные (с отрицанием или без).
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – конъюнкция дизъюнкций, содержащих все исходные переменные (с отрицанием или без).
Пример. Привести к ДНФ формулу .
Решение.
.
Функция, все значения которой принадлежат множеству {0; 1} называется предикатом: , .
Предикат с различными переменными называется – местным предикатом.
Подмножество области определения предиката, состоящее из тех и только тех элементов, которым соответствует истинное значение предиката, называется областью истинности предиката.
Если область истинности предиката совпадает со всей областью определения, то предикат называется тождественно – истинным. Если же область истинности представляет собой пустое множество, то предикат называется тождественно – ложным.
Всякий одноместный предикат с переменной , принимающей значения из некоторого непустого множества, выражает свойство, присущее некоторым элементам этого множества. Множество элементов, обладающих свойством , называется объёмом данного свойства. Многоместные предикаты выражают отношения.
Кванторы:
1) - квантор всеобщности,
2) - квантор существования,
3) - квантор существования единственности.