отношения зависело бы не только от истинностного значения высказываний, но и от их смысловой связи. Поскольку «связь по смыслу» понимается по-разному, существуют различные теории логического следования. Ими решена задача исключения нежелательных,

или парадоксальных, правил следования, подобныхзаконуДунса Скотта, и показано, что нет привилегированной логической системы, являющейся единственно правильным описанием

логического следования.

6. Язык логики предикатов

Логика высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний.

Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.

Логика предикатов – основной раздел современной логики, в котором описываются

выводы,учитывающие внутреннюю(субъектно-предикатную) структуру высказываний. Логика предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики

высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.

Предикат – это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или

отношение . Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, «быть зелёным», называется одноместным . Предикат, обозначающий отношение, называется

двухместным, трехместным и т.д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, «любит» – двухместный предикат, «находится между» – трехместный.

В современной логике предикация рассматривается как частный случай

функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания . Например, выражение «…есть зелёный» (или «х есть зелёный») является функцией от одной переменной, «… любит… » («х любит у») – функция от двух

переменных и т.д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имён вместо переменных.

В логике предикатов – в дополнение к средствам логики высказываний – вводятся логические операторы

(«для всех») и

Запись (

x) Р(х) означает «Всякий х обладает свойствомР», (

х) Р(х)

– «Некоторые х обладают свойствомР», ( x ) Q(x, у)

– «Существует х , находящийся в отношении Q с у » и т.п.

Формула логики предикатов называется общезначимой , если она истинна в каждой

интерпретации,в каждом приписывании содержательного смысла входящим в неё символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры,

позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.

Глава 8 Модальная логика

1. Логические модальности

Модальность – это оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения.

Модальная оценка выражается с помощью понятий «необходимо», «возможно», «доказуемо», «опровержимо», «обязательно», «разрешено» и т.п. Модальные высказывания

– это высказывания, содержащие хотя бы одно из таких понятий . Модальные высказывания делятся на типы в зависимости от той точки зрения, на основе которой

формулируются выражаемые ими характеристики. Ранее, при обсуждении модальных высказываний, проводилось различие между логическими, физическими, эпистемическими,

нормативными и оценочными модальнымивысказываниями.

Модальная логика – раздел логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний.

Модальная логика слагается из ряда разделов, или направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определённого типа. Фундаментом модальной логики является логика высказываний: перваяесть расширение второй.

Теория логических модальностей изучает связи логических модальных высказываний, т.е. высказываний, включающих логические модальные понятия: «логически необходимо»,

«логически возможно», «логически случайно» и т.п.

Логически необходимое высказывание можно определить как высказывание, отрицание которого представляет собой логическое противоречие . Внутренне

противоречивы, например, высказывания «Неверно, что, если неон – инертный газ, то неон – инертный газ» и «Неверно, что трава зелёная или она не зелёная». Это означает, что

утвердительные высказывания «Если неон – инертный газ, то неон – инертный газ»и «Трава зелёная или она не зелёная» являются логически необходимыми. Понятие логической необходимости связано с понятием логического закона:логически необходимы законы логики

и все, что вытекает из них . Логически необходимы, таким образом, все рассматривавшиеся ранее законы логики высказываний.

Истинность логически необходимого высказывания устанавливается независимо от опыта, на чисто логическихоснованиях. Логическая необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. Например, высказывание «Снег

бел» фактически истинно, для подтверждения его истинности требуется эмпирическое наблюдение. Высказывания же «Снег есть снег», «Белое – это белое» и т.п. необходимо

истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов. Поскольку данные высказывания логически необходимы, каждое из них можно предварить оборотом «логически необходимо, что…» («Логически

необходимо, что снег есть снег» и т.п.).

Логическая возможность – этовнутренняя непротиворечивостьвысказывания.

Высказывание «Коэффициент полезного действия паровой машины равен 100%» является, очевидно, ложным, но оно внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. Но высказывание «К.п.д. такой машины выше 100%» противоречиво и потому

логически невозможно.

Логическая возможность может быть определена и через понятие логического закона:

логически возможновысказывание, непротиворечащее законам логики.

Скажем, высказывание «Микробы – живые организмы» совместимо с законами логики и, следовательно, логически возможно. Высказывание же «Неверно, что если человек –

писатель, то он писатель» противоречит логическому закону тождества и потому является логически невозможным.

Случайно то, что может быть, но может и не быть. Случайность не равнозначна возможности, которая не может не быть. Случайность иногда называют «двусторонней возможностью», т.е. равной возможностью и высказывания,и его отрицания.

Высказывание логически случайно, когда и оно само, и его отрицание являются логически возможными.

Логически возможно высказывание, не являющееся внутренне противоречивым. Если не только само высказывание, но и его отрицание не содержат противоречия, высказывание

является логически случайным. Случайно, например, высказывание «Все многоклеточные существа смертны»: ни утверждение этого факта, ни его отрицание не содержат внутреннего (логического) противоречия.

Логически невозможны, например, высказывания: «Растения дышат и растения не дышат» и «Неверно, что, если Вселенная бесконечна, то она бесконечна». Оба они являются отрицаниямилогических законов: первое – закона противоречия,второе – закона тождества.

Понятия логической необходимости и возможности можно определить одно через другое:

«A логически необходимо» означает «отрицание A не является логически возможным» (например: «Необходимо, что холод есть холод» означает «Невозможно, чтобы холод не был холодом»);

«A логически возможно» означает «отрицание A не является логически необходимым» («Возможно, что кадмий – металл» означает «Неверно, что необходимо, что

кадмий – не металл»).

Логическую случайность можно определить через логическую возможность: «логически случайно A » означает «логически возможно как А , таки не -A » («Логически

случайно, что на Земле есть жизнь»означает «Логически возможно, что на Земле есть жизнь, и логически возможно, что на Земле нет жизни»).

Логически необходимое высказывание является истинным, но не наоборот: не каждая истина логически необходима. Логически необходимое высказывание является также логически возможным,но не наоборот: невсе логически возможное логически необходимо.

Из истинности высказывания вытекает его логическая возможность, но не наоборот: логическая возможность слабее истинности.

2. Физические модальности

Физические модальные высказывания формируются с помощью физических модальных понятий (физически необходимо, физически возможно и т.п.), называемых также онтологическими или каузальными. Например: «Физически необходимо, что

действие равно противодействию», «Физически случайно, что стекло хрупко», «Физически невозможно,чтобы дождь лилсемь дней и семь ночей подряд» и т.п.

Логические модальные понятия связаны с «механикой» человеческого мышления и используются для характеристики существенных её моментов. Физические модальные понятиякасаются устройства самого реального мира.

Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о необходимости, выделяются два её вида:

логическая необходимость и физическая необходимость. Логическая необходимость связана с логическим законом: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них. Физическая необходимость связана с законами природы: физически необходимо то,

отрицание чего нарушает законы природы . Физически необходимы, например,

высказывания: «Все планеты вращаются вокруг своей оси» и «Электрон, движущийся по

стационарной орбите, не излучает энергию». Отрицания этих высказываний противоречили бы законам физики: отрицание первого высказывания несовместимо с законами небесной механики, отрицаниевторого– с законами квантовоймеханики.

Физически возможнымявляется высказывание,не противоречащее законам природы. Например, высказывание «К.п.д. двигателя внутреннего сгорания равен 100%»

противоречит законам термодинамики и, значит, физически невозможно. Высказывание же «К.п.д такого двигателя превышает 30%» не противоречит никаким ограничениям, устанавливаемым законами природы,и является физически возможным.

Высказывание физически случайно, когда и оно само, и его отрицание являются физически возможными.

Случайно, например, что этот дом выкрашен в коричневый цвет: нет законов природы,

которые предписывали быему быть коричневым или,наоборот,иметь другой цвет. Физически невозможновысказывание,противоречащее законам природы.

Физически невозможны, например, высказывания: «Действие не равно противодействию» и «Сила не равняется произведению массы на ускорение», являющиеся отрицаниямизаконов механики.

Физическая необходимость может быть определена через физическую возможность: «высказывание физически необходимо» означает «отрицание этого высказывания не

является физически возможным» (например: «физически необходимо, что тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу» означает «физически невозможно, чтобы такие тела не притягивались друг к другу»).

Физическая возможность может быть определена через физическую необходимость: «высказывание физически возможно» означает «отрицание этого высказывания не является

физически необходимым» (например: «Двигатель внешнего сгорания физически возможен» означает «Отсутствие такого двигателя не является физически необходимым»).

Физическую случайность можно определить через физическую возможность:

«высказывание физически случайно» означает «физически возможно как данное высказывание, так и его отрицание» («Физически случайно, что шарик рулетки остановится

на красном поле» означает «Физически возможно, что он остановится на красном, точно так же, как физически возможно, что он неостановится накрасном»).

Физически необходимое высказывание является истинным, но не наоборот: не каждая

истинаявляется законом природыитем самым физически необходимой.

Физически необходимое высказывание является также физически возможным, но не

наоборот:не все физически возможное физически необходимо, т.е. представляет собой закон природы.

Из истинности высказывания вытекает его физическая возможность, но не наоборот:не

каждое физически возможное событие реализуется. Если спутники Марса существуют, то они физически возможны, т.е. их существование не противоречит законам природы. Но если

искусственные спутники этой планеты физически возможны, т.е. не противоречат законам природы,это не означает что у неё есть такие спутники.

Нетрудно заметить, что взаимные отношения физической необходимости, физической

возможности и истинности строго аналогичны тем отношениям, которые имеют место между логической необходимостью, логической возможностью и истинностью.

Теперь, когда уточнены смыслы логической и физической необходимости, а также логической и физической возможности, можно сопоставить логические и физические модальные понятия между собой.

Логическая необходимость, присущая законам логики, существенно отличается от физической необходимости, характерной для законов природы.

Металлические стержни при нагревании удлиняются – это закон природы. Он действителен в любой точке Вселенной и в любой момент времени. Он, кроме того, действует с необходимостью. Вещи в самой своей сущности, в своём глубинном устройстве

таковы, что размеры металлических стержней увеличиваются при нагревании.

Вместе с тем можно представить себе, что наш мир несколько изменился и притом так,

что нагреваемые металлические стержни не только не удлиняются, но даже сокращаются. Нельзя, однако, вообразить себе такой мир, в котором стержни и удлинялись бы и вместе с тем не удлинялись, т.е. мир,в котором нарушался бы логический закон противоречия.

Логическая необходимость более непреложна, чем физическая. Первая уже второй: все логически необходимое является также физически необходимым, но не наоборот. Иначе

говоря, законы логики есть также и законы природы, но не наоборот. Если, например, планета вращается, то она вращается – это следствие закона логики и вместе с тем