3 Взаємне розміщення двох прямих

1. Перетин двох прямих

Нехай задано дві прямі: і які перетинаються. Оскільки координати точки перетину цих прямих мають задовольняти рівнянням кожної прямої, то координати точки можна знайти, розв’язавши систему рівнянь

(3.1)

2. Кут між двома прямими

	Означення 3.1. Кутом між двома прямими називається менший кут, що відраховується проти хода часової стрілки, на котрий друга пряма повернута відносно першої . Знайдемо кут між прямими: і , де і . Розглянемо , де , як вертикальні кути.
Мал. 3.1

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх, не суміжних з ним, кутів, тобто або .

Звідки тобто

(3.2)

за умовою, що .

Приклад 3.1. Знайти кут між двома прямими: та

Розв’язання. Підставивши коефіцієнти і до формулу (3.2), маємо

Приклад 3.2. Знайти координати вершин та кути трикутника, якщо відомі рівняння його сторін

Розв’язання. Координати вершин трикутника можна знайти, якщо розв’язати три системи рівнянь:

1)

2)

3)

3. Умова паралельності двох прямих

	Якщо прямі та паралельні, то кут , а отже, . Із формули (3.2) випливає, що (3.3) І навпаки, якщо , то з формули (3.2) випливає, що , а отже, і .
Мал. 3.2

Таким чином, умова (3.3) є необхідною й достатньою умовою паралельності двох прямих.

4. Умова перпендикулярності двох прямих

Якщо прямі і перпендикулярні, то кут , при цьому, або Отже, правдива рівність (3.4)
	Мал. 3.3

Таким чином, умова (3.4) є необхідною й достатньою умовою перпендикулярності двох прямих.

5. Відстань від точки до прямої

	Нехай задано точку і пряму . Відстань від точки до прямої є довжина перпендикуляра , яка обчислюється за допомогою нормального рівняння прямої за формулою (3.5) або, з урахуванням рівняння (2.12),
Мал. 3.4

(3.6)

Приклад 3.3. Знайти відстань від точки до прямої

Розв’язання.

Приклад 3.4. Знайти відстань між двома паралельними прямими і .

Розв’язання.

	У даному випадку відстань між двома паралельними прямими визначається різницею відстаней до обох прямих від початку координат:
Мал. 3.5

Якщо початок координат знаходиться між двома прямими, то відстань між ними визначається додаванням відстаней до обох прямих від початку координат.