6. Геометричний зміст лінійних нерівностей

Розглянемо систему лінійних нерівностей:

Розв’язком цієї системи є множина точок площини, які задовольняють умовам даних нерівностей. Спочатку в координатній площині проведемо граничні прямі . Кожна пряма поділяє площину на дві півплощини. Точки однієї з цих півплощин задовольняють нерівність , а точки іншій – ні. Щоб, дізнатися, точки якої півплощини задовольняють нерівність, треба в цю нерівність підставити координати будь якої точки півплощини, або початок координат . Якщо координати цієї точки задовольняють нерівність, то всі точки, які належать цій площині також задовольнятимуть нерівності. Та навпаки.

Приклад 3.5. Знайти геометричне рішення системи лінійних

нерівностей

Розв’язання.

Мал. 3.6

Побудуємо граничні прямі: Щоб визначити необхідну півплощину, потрібно початок координат – точку , підставити в зазначені обмеження.

Якщо нерівність задовольняється то півплощина містить початок координат, якщо ні то півплощина не містить початку координат.

Перша та друга півплощини містять точку , а півплощина відносно третьої граничної прямої не містить початку координат. Отже, геометричне рішення системи лінійних нерівностей зображене на мал. 3.6.

Приклад 3.6. Задано вершини :

Знайти:1) довжини сторін ;

2) тангенси внутрішніх кутів ;

3) рівняння висоти, що проходить через вершину ;

4) рівняння медіани, що проходить через вершину ;

5) точку перетину висот трикутника;

6) довжину висоти, що прямує з вершини ;

7) систему лінійних нерівностей, яка описує .

Зробити креслення.

Розв’язання.

Мал. 3.7

Довжини сторін знайдемо за формулою (1.1):

2. Тангенси внутрішніх кутів знайдемо за формулою (3.2)

Для визначення кутових коефіцієнтів прямих знайдемо рівняння сторін трикутника за формулою (2.7):

або тобто

або тобто

або тобто

Далі обчислимо тангенси внутрішніх кутів :

3. Знайдемо рівняння висоти, що проходить через вершину . Висота . За умови перпендикулярності прямих (3.4) маємо

Висота проходить через вершину , тобто її рівняння будемо обчислювати за формулою (2.5):

.

З цього випливає або

4. Знайдемо рівняння медіани, що проходить через вершину . Медіана поділяє протилежну сторону трикутника навпіл, тобто точка є серединою відрізка Знайдемо координати точки за формулами (1.5):

тобто

Після цього по двом відомим точкам і складаємо рівняння медіани , використовуючи формулу (2.7):

5. Знайдемо точку перетину висот трикутника. Спочатку знайдемо рівняння висоти, що проходить через вершину . Висота , з ознаки перпендикулярності прямих маємо

Висота проходить через вершину , тобто її рівняння будемо обчислювати за формулою з цього випливає або

Для знаходження координат точки перетину висот та складаємо систему рівнянь

.

Розв’язком цієї системи є точка .

6. Обчислимо довжину висоти, що прямує з вершини . Відстань від точки до прямої АВ розраховуємо за формулою (3.6):

.

7. Система лінійних нерівностей, яка визначає , має вигляд:

Індивідуальне завдання 5. Рівняння лінії на площині.

Дано вершини трикутника Знайти:

1) довжину сторони ;

2) тангенс внутрішнього кута ;

3) рівняння висоти, проведеної через вершину ;

4) рівняння медіани, проведеної через вершину ;

5) точку перетину висот трикутника;

6) довжину висоти, опущеної з вершини ;

7) площу трикутника ;

8) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник .

Зробити креслення.

№				№
1.	(-2;-2)	(4;1)	(1;2)	16.	(0;0)	(6;3)	(3;4)
2.	(2;0)	(–4;3)	(–1;4)	17.	(–1;1)	(5;4)	(2;5)
3.	(3;1)	(–3;4)	(0;5)	18.	(–1;–2)	(5;1)	(2;2)
4.	(2;–2)	(–4;1)	(–1;2)	19.	(2;1)	(–4;2)	(–1;3)
5.	(1;2)	(7;5)	(4;6)	20.	(1;–3)	(–5;0)	(–2;1)
6.	(0;–1)	(–6;2)	(–3;3)	21.	(2;2)	(–4;5)	(–1;–1)
7.	(–3;1)	(3;4)	(0;5)	22.	(–2;–1)	(4;2)	(1;3)
8.	(–1;0)	(5;3)	(2;6)	23.	(3;–1)	(–3;2)	(0;3)
9.	(2;–1)	(–4;2)	(–1;3)	24.	(1;–1)	(–5;2)	(–2;3).
10.	(–4;0)	(2;3)	(–1;4)	25.	(1;1)	(7;2)	(4;5)
11.	(–2;–3)	(4;0)	(1;3)	26.	(–1;–1)	(5;2)	(2;3)
12.	(–1;2)	(5;5)	(2;6)	27.	(3;2)	(–3;–2)	(0;3)
13.	(1;–2)	(–5;1)	(–2;2)	28.	(1;0)	(7;3)	(4;4)
14.	(–1;–1)	(5;2)	(2;5)	29.	(–3;1)	(6;4)	(1;5)
15.	(–1;–3)	(5;0)	(2;3)	30.	(–5;2)	(3;0)	(–1;5)

Питання до модульного контролю знань студентів

1. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

2. Відстані між двома точками.

3. Ділення відрізка у заданому відношенні.

4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

5. Рівняння пучка прямих.

6. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

7. Рівняння прямої у відрізках.

8. Загальне рівняння прямої.

9. Нормальне рівняння прямої.

10. Перетин двох прямих.

11. Кут між двома прямими.

12. Умова паралельності двох прямих.

13. Умова перпендикулярності двох прямих.

14. Відстань від точки до прямої.

15. Геометричний зміст лінійних нерівностей.

16. Визначення рентабельності транспортного постачання.

17. Визначення витрат палива судном на підводних крилах.

18. Рівновага доходу та збитків

19. Канонічне рівняння кола.

20. Канонічне рівняння еліпса.

21. Ексцентриситет еліпса.

22. Рівняння директрис еліпса.

23. Канонічне рівняння гіперболи.

24. Ексцентриситет гіперболи.

25. Рівняння директрис гіперболи.

26. Асимптоти гіперболи.

27. Канонічне рівняння параболи.

28. Фокуси ліній другого порядку.

29. Рівняння директриси параболи.

10