Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

5.4. Погрешность среднего квадратического отклонения

При малом числе измерений величина среднего квадратического откло-

нения σ, подобно среднему арифметическому значению измеряемой величины и систематической погрешности, также будет иметь погрешность. Погрешность среднего квадратического отклонения Δσ может быть найдена по приближенной формуле

Выражение (5.11) справедливо для n, большего 25–30, но в случае грубых оценок это выражение можно использовать и для меньшего числа измерений.

Из (5.11) следует, что при n = 30 Δσ = ±1/8σ, т. е. при тридцати измерениях погрешность в определении среднего квадратического отклонения составит примерно 13 %. При n = 50 погрешность определения σ составит около 10 %, при n = 100 – примерно 7 %. Таким образом, погрешность в определении вели-

чины σ уменьшается медленнее, чем происходит рост числа измерений.

Для более строгой оценки погрешности среднего квадратического откло-

нения используется уже рассмотренное ранее распределение χ2.

На основе распределения χ2 для коэффициентов γ составлены специальные таблицы, в которых приводятся значения этих коэффициентов в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности. Поскольку распределение χ2 асимметрично, то погрешности равного значения, но противоположного знака, не равновероятны, как в случае нормального распределения. Введем нижнюю и верхнюю границы погрешности:

ратического отклонения (СКО) всегда больше по абсолютной величине отрицательной погрешности СКО.

Подробная таблица значений коэффициентов γ1 и γ2 приводится в приложении (табл. П.1.3).

Вместо расчетных соотношений вида (5.12) и (5.13) можно использовать запись вида

F (c1 < σ < c2 )= P ,

т. е. с доверительной вероятностью Р среднее квадратическое отклонение σ

Значение и асимметрия доверительного интервала зависят от проведенного числа измерений и принятой доверительной вероятности. При заданной доверительной вероятности с ростом числа измерений ширина доверительного интервала и его асимметрия уменьшаются, а при n→∞ доверительный интервал стягивается в точку.

Следует отметить, что при большом числе измерений приближенная формула (5.11) и более строгие соотношения (5.12) и (5.13) дают близкие результаты.

5.5. Необходимое число измерений

Для увеличения достоверности результата измерения могут быть использованы два пути: повышение точности измерений за счет улучшения измерительных приборов и методов измерений и увеличение числа измерений. Рас-

82

смотрим последний прием, считая, что все возможности совершенствования техники уже реализованы.

Сами погрешности (и систематические, и случайные) от числа измерений непосредственно не зависят. От числа измерений непосредственно зависят погрешности погрешностей и соответствующие доверительные интервалы, т. е. при

увеличении числа измерений уменьшаются такие величины, как x , ( С) и (σ). Отметим, что уменьшать погрешность погрешностей целесообразно до тех пор, пока погрешность измерений не будет значительно превосходить соот-

ветствующую погрешность погрешности. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной доверительной вероятностью, был бы существенно меньше величины погрешности измерений. Обычно в этих случаях сравнивают между собой погрешность среднего арифметического зна-

чения и систематическую погрешность С и добиваются, чтобы

В пункте 5.1 уже отмечалось, что погрешность арифметического среднего определяется с использованием распределения Стьюдента по соотношению (5.1). Выражение (5.1) позволяет решить и обратную задачу, т. е. по заданным величинам t и σ найти соответствующее им число измерений n. Правда, решение обратной задачи с помощью табл. П.1.2 приходится вести методом последовательного приближения, задаваясь различными значениями n. Необходимость последнего объясняется тем, что коэффициент Стьюдента t, значения которого приводятся в табл. П.1.2, зависит не только от доверительной вероятности, но и от проведенного числа измерений. Для облегчения решения поставленной задачи составлены специальные таблицы, в которых приводится необ-

ходимое число измерений для получения относительной погрешности х/σ в зависимости от требуемой доверительной вероятности Р (см. табл. П.1.6).

83

Сущность пересчета от данных табл. П.1.2 к данным табл. П.1.6 заключается в следующем.

Выше было показано, что доверительная вероятность Р попадания случайной величины z в интервал ±t зависит как от заданной величины t, так и от числа измерений n. На этой основе составлена табл. П.1.2. Коэффициенты Стьюдента представляют собой численные значения доверительного интервала ±t в зависимости от двух параметров Р и n. Очевидно, с помощью такой таблицы можно определить любую из трех величин Р, n и t по известным двум другим. В частности, таким образом можно найти n по заданным значениям Р и t.

В практических условиях доверительный интервал задается не для вели-

где М – обозначение приведенной величины доверительного интервала. Таким образом, для решения поставленной задачи по определению необ-

ходимого числа измерений n по заданным значениям доверительного интервала

± х и доверительной вероятности Р необходимо коэффициенты Стьюдента t (см. табл. П.1.2) разделить на корень квадратный из соответствующего числа измерений n.

Полученная таким образом таблица приведена в прил. 1 (табл. П.1.6). Приведем пример расчета необходимого числа измерений.

Пример 5.1. Систематическая погрешность вольтметра C = 0,8 В; σ = 1,0 В. Сколько измерений нужно проделать, чтобы с вероятностью 0,95 погрешность среднего арифметического была меньше половины систематической погрешности?

Находим х и отношение х к σ:

84

Из табл. П.1.2 находим в колонке Р = 0,95 для х/σ = 0,4, n = 27.

Иначе говоря, надо провести 27 измерений, чтобы погрешность среднего арифметического значения не превысила 0,4 В с вероятностью Р = 0,95.

В данном случае получилось сравнительно небольшое число измерений, которое можно осуществить практически. Из табл. П.1.6 следует, что при высоких доверительных вероятностях и жестких требованиях к результатам измерений могут получаться очень большие числа измерений, исчисляемые десятками и даже сотнями тысяч. Очевидно, что реализовывать такие большие числа измерений невозможно, поэтому требования к результатам измерений должны быть согласованы с возможностями измерительных устройств и их не следует необоснованно завышать.

Выше подробно рассмотрен порядок расчетов, когда задана величина погрешности арифметического среднего. В случае, когда задана величина погрешности систематической погрешности, порядок расчетов остается тот же самый и поэтому здесь не рассматривается.

Погрешности среднего квадратического отклонения σ и тем более по-

грешность случайной погрешности ( 0 ) в качестве исходных величин используются редко, и в силу этого в настоящем учебном пособии данный вопрос подробно не рассматривается. Отметим только, что при необходимости можно воспользоваться приближенным соотношением (5.11), решив его относительно числа измерений n. Можно также воспользоваться табл. П.1.3 γ-коэффициентов, но в этом случае задачу придется решать методом последовательного приближения.

В заключение параграфа опишем, какие и в какой последовательности следует выполнить операции, чтобы найти необходимое число измерений при заданной погрешности среднего арифметического значения x .

85

Определение минимально необходимого числа измерений n для получения с выбранной доверительной вероятностью Р заданной погрешности арифметического среднего приводится в нижеследующей последовательности.

В исследуемой точке шкалы прибора проводится 10–20 измерений и на-

ходятся величины x и σ. Измерения следует проводить таким образом, как описано в п. 4.1.

Находится отношение x /σ, где ского среднего.

По величине соотношения x /σ и заданной доверительной вероятности Р находится минимально необходимое число измерений (см. табл. П.1.6).

Полученное согласно изложенному число измерений n1 является первым приближением. Для получения второго приближения необходимо провести n1 измерений и повторить все необходимые расчеты, порядок которых приведен выше. Если полученное число измерений n1 меньше предварительно проведенного числа измерений или равно ему, то второго приближения делать не следует.

Из всего изложенного можно заключить, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайных воздействий на результат измерения только в том случае, если стандартное отклонение σ не более чем в несколько раз превосходит систематическую погрешность C. Реально это возможно, если

σ ≤ 5 C. При больших значениях σ для получения удовлетворительных результатов уже требуются сотни и тысячи измерений, что практически невыполнимо. В этих случаях следует коренным способом менять методику измерений или используемые измерительные устройства, чтобы уменьшить величину среднего квадратического отклонения.

5.6. Пример расчета

Расчет погрешности погрешностей, доверительных интервалов и доверительных границ проведен с использованием условия задачи примера 4.1 (п. 4.7).

Для расчетов использованы следующие величины из примера 4.1:

U = 60,215 B ; σ = 0,0628 В; C = 0,215 B .

86

1. Погрешность среднего арифметического значения оценивается по формуле:

где U – погрешность среднего арифметического значения;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и числа измерений n (для Р = 0,95 и n = 10 t = 2,26; см.табл. П.1.2);

σ, n – определены выше.

2. Доверительные границы среднего арифметического значения оценивается по формулам

где a1 и a2 – нижняя и верхняя доверительные границы среднего арифметиче-

ского значения;

Uи U – определены выше.

3.Доверительный интервал среднего арифметического значения оцениваются по формуле

IU = a2 −a1 = 60,2599–60,1701 = 0,0898 В.

4. Погрешность систематической погрешности численно равна погрешности арифметического среднего значения, т. е.

где b1 и b2 – нижняя и верхняя доверительные границы систематической по-

грешности;

87

Си ( С ) – определены выше.

6.Доверительный интервал систематической погрешности определяется по формуле

клонения (СКО) оценивается по формуле

где Δσ – приближенное значение погрешности СКО;

σи n – определены выше.

8.Уточненные значения погрешностей среднего квадратического отклонения (СКО) оцениваются по формулам

где 1σ и 2σ – уточненные погрешности (СКО);

γ1 и γ2 – коэффициенты, зависящие от принятой доверительно вероятности Р и

числа измерений n (для Р = 0,95 и n = 10 γ1 = 0,69 и γ2 = 1,83, см. табл. П.1.3);

σ– определено выше.

9.Уточненные доверительные границы среднего квадратического отклонения (СКО) оцениваются по формулам

10. Уточненный доверительный интервал среднего квадратического отклонения (СКО) оценивается по формуле

Iσ = C2 −C1 = 0,1149 −0, 0433 = 0, 0716 B ;

где Iσ – уточненное значение доверительного интервала СКО;

С1 и С2 – определены выше.

После округления найденных величин получены следующие их значения:

U = ± 0,04 В; a1 =60,10 В; a2 =60,26 В; IU =0,09 В. ( С )= ± 0,04 В; b1 =0,17 В; b2 =0,26 В; I C =0,09 В.

σ= ± 0,01 В.

1σ= –0,02 В; 2σ= +0,05 В; С1 =0,04 В; С2 =0,11 В; Iδ = 0,07 В.

В заключение напомним еще раз основные положения.

При малом числе измерений появляются погрешности погрешностей, которые уменьшаются с ростом числа измерений. Приведенный пример позволяет количественно оценить погрешности погрешностей при n = 10 (где n – число измерений).

Подсчет погрешностей среднего квадратического отклонения (СКО) по приближенной формуле всегда дает симметричные и несколько меньшие значения, чем значения, полученные по уточненным формулам с использованием коэффициентов γ1 и γ2 (см. приведенный пример).

Погрешности СКО, найденные по уточненным формулам, всегда асимметричны, причем отрицательная погрешность по абсолютной величине всегда меньше положительной погрешности. Уточненная отрицательная погрешность по абсолютной величине близка погрешности, получаемой по приближенной формуле (см. результаты расчетов, приведенные в рассмотренном примере).

89

6.ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

6.1.Общие положения

Динамическая погрешность измерений – это погрешность, возникающая при измерении переменных во времени величин или неустановившихся периодических процессов и обусловленная инерционными свойствами средств изме-

рений [1, 2, 26].

Динамическая погрешность средства измерения d(t) может быть определена как разность между сигналом на выходе средства измерения x(t) и истин-

ным значением измеряемой величины x0′(t), приведенной к выходу.

где значения величин d(t), x(t) соответствуют моменту времени t.

Выражение (6.1) свидетельствует, что динамическая погрешность является функцией времени и зависит от характера входного сигнала.

Истинным значением измеряемой величины является ее значение на входе измерительного устройства x0(t). Для сравнения входных и выходных величин между собой необходимо сделать их приведение «к входу» или «к выходу» средства измерения. Воспользовавшись приведением «к выходу», запишем зна-

где x(t) – выходной сигнал; x0(t) – входной сигнал;

К – статический передаточный коэффициент.

Статический передаточный коэффициент находится в статических условиях работы измерительного устройства как отношение приращения выходной величины х к приращению входной величины х0:

динамическая погрешность может быть представлена в виде суммы двух со-