Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

2) для рабочих измерительных приборов число исследуемых точек обычно составляет 5–6, а их число и расположение должно соответствовать требованиям ГОСТ 8.508–84 [47].

В каждой из выбранных точек шкалы прибора проводится заданное число измерений. Если число измерений не задано, то оно выбирается произвольно, но не менее 10 [47]. Для повышения достоверности результатов число измерений целесообразно увеличить до 16–20, а в ответственных случаях – до 50 и более.

Отметим, что число измерений зависит от принятой доверительной вероятности P (растет с ростом P) и от допускаемой погрешности среднего квадратического отклонения ∆σ (растет при уменьшении ∆σ).

Таблица значений n = f(P, ∆δ) для нормального закона распределения приведена в государственном стандарте ГОСТ 8.508–84 [47].

При законе распределения результатов измерений, отличном от нормального, необходимое число измерений стандартом [47] не рассматривается.

Измерения рекомендуется проводить путем постепенного увеличения измеряемой величины до предельного значения для исследуемого устройства с последующим постепенным уменьшением ее до минимума. Увеличение и уменьшение измеряемой величины проводятся столько раз, сколько измерений необходимо провести, фиксируя каждый раз показания исследуемого измерительного устройства в выбранных точках шкалы.

По результатам эксперимента в каждой исследуемой точке оцениваются значения величин x и σ по следующим формулам:

где х – среднее арифметическое значение;

61

σ – среднее квадратическое отклонение; xi – результат i-го изменения;

n – число измерений.

Полученные описанным методом экспериментальные данные и расчетные значения являются исходными, позволяющими путем соответствующей обработки получить необходимые сведения об исследуемом средстве измерений (т. е. его систематическую, случайную и суммарную погрешности).

4.2. Выявление промахов

Выявление промахов необходимо провести до определения погрешностей измерений. Эта операция особенно целесообразна в том случае, если среди ряда измерений встречаются отдельные значения, резко отличные от других.

Промахи возникают, как правило, из-за неверных действий оператора, но могут также явиться результатом неисправности используемых средств измерений. Во всех случаях промахи не являются характеристикой измерений, и для избежания значительных искажений результатов их необходимо отбросить.

Для объективного решения вопроса о том, является ли промахом какойлибо результат измерения, применяются специальные методы. Наибольшее рас-

пространение получили два из них: метод (критерий) 3σ и табличный метод (критерий Смирнова–Греббса).

В основу метода 3σ («три сигма») положено допущение, что результаты однократных измерений x могут отклоняться от их среднего арифметического значения x не более чем на 3σ. Если же какой-либо результат однократного измерения xП отклоняется от х более чем на 3σ, то xП – промах.

Метод 3σ универсален и может быть использован при любом законе распределения рассматриваемых величин. Если закон распределения рассматри-

ваемых величин неизвестен, то метод 3σ формально применим, но при этом остается неизвестной доверительная вероятность, с которой выявляются промахи.

Рассмотрим для примера нормальное распределение. Известно, что при нормальном распределении случайных величин их рассеивание около арифмети-

62

ческого среднего с вероятностью 0,997 не превосходит величины ±3σ. Этот вывод следует непосредственно из рассмотрения нормального закона распределения случайных величин. Иначе говоря, принято считать, что результаты, вероятность получения которых меньше 0,003, могут появиться только при наличии в ряду измерений промахов. Для обнаружения промахов по методу 3σ необходимо выполнить следующие операции:

1)подсчитать среднее арифметическое значение ряда измерений x по формуле (4.1);

2)подсчитать среднее квадратическое отклонение σ по (4.2);

3)найти по абсолютной величине разность А между предполагаемым промахом xп и средним арифметическим значением ряда измерений.

то величина xп не является промахом. Если условие (4.4) не выполняется, то xП – промах, и его следует отбросить.

Используя метод 3σ, следует помнить: существует очень малая, но отличная от нуля вероятность того, что отброшенный результат измерения является не промахом, а естественным статистическим отклонением.

Идея табличного метода была высказана еще в 1941 году Н.В. Смирновым, а затем развита в 1950 году Греббсом. Поэтому иногда в литературе табличный метод выявления промахов называют критерием Греббса (или критерием Смирнова–Греббса).

Табличный метод разработан из предположения, что результаты измерений равноточные и подчиняются нормальному закону распределения.

Для практического использования рассматриваемого метода (на основе положений теории вероятностей и математической статистики [3]) составлены специальные таблицы (см. табл. П.1.4).

63

В таблице помещены значения некоторых табличных коэффициентов Wт, подсчитанные в зависимости от доверительной вероятности P и числа измерений n. Коэффициенты Wт представляют собой, по сути дела, отношение доверительных интервалов, соответствующих выбранной доверительной вероятности, к среднему квадратическому отклонению.

При практическом применении табличного метода необходимо выполнить следующие операции:

1)подсчитываются величины x и σ для данного ряда измерений;

2)находится величина W:

где xП – предполагаемый промах;

3)по специальным таблицам (см. табл. П.1.4) в зависимости от проведенного числа измерений и принятой доверительной вероятности находится величина табличного коэффициента Wт;

4)проводится сравнение величины W, полученной согласно (4.5) по экспериментальным данным, с табличной величиной Wт.

Если выполняется условие

W < Wт,

то величина хп не является промахом, и ее следует оставить в ряду измерений. Если же окажется, что

W > Wт,

то величина xп с принятой доверительной вероятностью является промахом, и ее следует отбросить.

После выявления и исключения промахов подсчитываются новые значения величин x и σ, и уже эти новые значения участвуют в дальнейших расчетах.

64

4.3. Систематические погрешности

Систематические погрешности средств измерений – это, как уже отмечалось выше, составляющие погрешности, которые в данном ряду измерений остаются постоянными или закономерно изменяются.

Следует отметить, что систематические погрешности (как и случайные) в различных точках шкалы одного и того же прибора или измерительного устройства могут быть различны. Поэтому после проведения исследований можно с уверенностью говорить о величине погрешностей лишь в выбранных точках шкалы прибора. Что касается интервалов между точками, то здесь обычно исходят из предположения, что от точки к точке погрешности прибора изменяются плавно (без скачков).

Оценка систематической погрешности проводится в следующей последовательности:

1)в каждой из выбранных точек шкалы прибора определяется среднее арифметическое значение x ;

2)систематическая погрешность средства измерений С определяется в каждой из выбранных точек шкалы как разность между средним арифметическим и истинным значением измеряемой величины в этой точке:

x > x0), так и отрицательной (при x < x0).

Истинное значение измеряемой величины x0, как правило, неизвестно, и вместо x0 используется действительное значение измеряемой величины, за которое принимают показания образцовых средств измерений.

Систематическая погрешность, подсчитанная по формуле (4.6), является абсолютной и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Кроме абсолютных значений, подсчитываются относительная δС и приве-

денная γС систематические погрешности:

65

где xN – нормирующее значение (в большинстве случаев хN = хK); xK – верхний предел шкалы прибора.

Относительная и приведенная погрешности выражаются обычно в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.

На рис. 4.2 изображена числовая ось, на которой отложено истинное значение измеряемой величины x0 и нанесены результаты измерений этой величины исследуемым средством измерений. В результате первого измерения получено значение х1, второго – х2, третьего – x3, и т. д. (на рис. 4.2 обозначены результаты только первых четырех измерений). На числовой оси отложены также величины xП и x . На рисунке представлены, кроме того, среднее квадратиче-

ское отклонение (σ) систематическая погрешность ( С), случайная погрешность

( 0 ) и суммарная погрешность ( ).

Рис. 4.2. Графическая интерпретация статических погрешностей средств измерений

Таким образом, из приведенного рисунка следует, что систематическая погрешность является некоторой постоянно присутствующей средней величиной, но отнюдь не исчерпывает всех погрешностей измерительного устройства. Действительно, разность между результатами отдельных измерений и истинным значением измеряемой величины может превосходить систематическую

66

погрешность (как, например, разности x2–x0, x4–x0 и т. д.), т. е. кроме систематической явно видна погрешность случайная.

4.4. Случайные погрешности

Случайные погрешности средств измерений (СИ) – это, как уже отмечалось, составляющие погрешности, которые в данном ряду измерений, выполненных исследуемым СИ, изменяются случайным образом.

Определение случайной погрешности (так же как и систематической) проводится в каждой из выбранных точек шкалы (или диапазона измерений) исследуемого СИ в следующей последовательности:

1)определяются средние арифметические значения x ;

2)определяются средние квадратические отклонения σ;

3)определяются случайные погрешности по формуле (4.9) без учета

знака

где K – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности и закона распределения результатов измерений, рассматриваемых как случайные величины.

Стандарты (см., например, ГОСТ 8.009–84 [44] и ГОСТ 8.508–84 [47]) допускают использование в качестве характеристики случайной погрешности средств измерений значение среднего квадратического отклонения σ, оцениваемого по формуле (4.2).

Отметим, что значение СКО характеризует разброс результатов измерений около среднего арифметического значения (см. рис. 4.2).

Переходя к точностным характеристикам средств измерений, еще раз от-

метим, что следует рассматривать положительные значения СКО (+σ) и поло-

жительные значения случайной погрешности 0 .

Коэффициент К, как уже отмечалось, зависит от принятой доверительной вероятности и закона распределения результатов измерений. Значение К для различных законов распределения приведены в методических указаниях по

67

применению ГОСТ 8.009–84 [44]. В настоящем учебном пособии при оценке случайных погрешностей используется предположение, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения.

Ниже приведены значения K в зависимости от доверительных вероятностей P при нормальном законе распределения:

P = 0,68; К = 1,00;

Р= 0,95; K = 1,96;

Р= 0,99; K = 2,58.

Подробная таблица значений K приведена в табл. П.1.5.

Отметим, что при нормальном законе распределения результатов измерений коэффициент К обычно называют «квантиль нормального распределения». Это обстоятельство отражено в заголовке табл. П.1.5.

Случайная погрешность, подсчитанная по формуле (4.9), является абсолютной и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Кроме абсолютных значений, могут также подсчитываться относительная и приведенная случайные погрешности:

где x0 , xn – определены выше.

Относительная и приведенная случайные погрешности выражаются, как правило, в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.

Проиллюстрируем изложенное с помощью рис. 4.2. Как уже указывалось выше, на рисунке изображена числовая ось с отложенными на ней результатами измерения х1, х2, х3, ... известной величины x0. Кроме того, на рисунке пока-

заны величины x , σ, C и . Рассмотрим последнюю величину подробнее. Согласно выражению (4.9), случайная погрешность определяется как произведе-

ние K и σ.

68

Выражение

0 = K σ

обозначает, что случайная погрешность с вероятностью Р не превзойдет вели-

чины K σ.

Например, при К = 2 и Р = 0,95 случайная погрешность с вероятностью

0,95 будет не больше величины 2σ.

Таким образом, когда речь идет о случайной погрешности, кроме ее значений необходимо указывать доверительную вероятность результата.

При подсчете случайных погрешностей основная трудность возникает при определении коэффициента K, так как закон распределения результатов измерений, как правило, неизвестен.

Правомерность предположения о нормальности закона распределения результатов измерений может быть проверена по одному из критериев согласия, изложенных, например, в Государственных стандартах (ГОСТ 8.207–76 [46]; ГОСТ 8.508–84 [47]) или по критерию Романовского, приведенному в [30].

В прил. 2 описан критерий согласия по ГОСТ 8.508–84 [47].

4.5. Суммарные погрешности

Суммарная погрешность средства измерения равняется арифметиче-

ской сумме систематической и случайной погрешностей и характеризует наибольшую статическую погрешность средства измерения (СИ) в исследуемой точке шкалы (ГОСТ 8.009–84 [44]; ГОСТ 8.508–84 [47]).

Отметим, что в разных точках шкалы измерительного устройства величи-

ны (как и c, и 0 ) могут быть различны, поэтому для характеристики устрой-

ства в целом рассматривают наибольшую суммарную погрешность m. В этом случае говорят, что погрешность СИ не превосходит величины m.

69

Аналогично могут быть рассмотрены максимальная систематическая по-

o

грешность cm и максимальная случайная погрешность m как наибольшие погрешности из полученных в различных точках шкалы средства измерений.

Суммарная погрешность, подсчитанная по формуле (4.12), является абсолютной и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Кроме абсолютных значений, подсчитываются относительная δ и приве-

где xN – нормирующее значение.

Относительная и приведенная суммарные погрешности обычно выражаются в процентах, но могут выражаться и в виде относительных величин.

Для иллюстрации изложенного на рис. 4.2 наряду с другими величинами отложена величина суммарной погрешности.

Поскольку в состав суммарной погрешности входит случайная погрешность, то суммарная погрешность также является случайной величиной. Оценим доверительную вероятность Р, с которой найдена абсолютная суммарная погрешность , если доверительная вероятность оценки абсолютной случайной погрешности составляет Р (аналогично могут быть рассмотрены доверительные вероятности относительных и приведенных погрешностей).

Напомним, что систематическая погрешность С – это погрешность, которая остается постоянной при повторных измерениях одной и той же величи-

ны. Другими словами, С, по определению, есть постоянная величина и в силу этого имеет доверительную вероятность, равную единице.

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей, которая гласит: если сложное событие С состоит из ряда независимых исходов простых событий A1, А2, ...., Аn и его осуществление означает одновременное появление всех исхо-

70