Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

По таблицам преобразования Лапласа (см. табл. П.1.7) оригинал выходного сигнала по его изображению запишется в виде

xвых(t) =1,1−2,3 e−0,8t +1,2e0,5t .

Динамическая погрешность рассматриваемого средства измерения с учетом найденного выходного сигнала запишется в виде

d(t) = −2,3 e−0,8t −0,8e0,5t .

График, иллюстрирующий изменение динамической погрешности во времени, представлен на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Динамическая погрешность d(t) апериодического средства измерения первого порядка при экспоненциальном изменении входного сигнала

Таким образом, на основании проведенных расчетов можно заключить, что исследованное измерительное устройство пригодно для измерений постоянных во времени или медленно изменяющихся сигналов. При измерении переменных во времени сигналов, изменяющихся с частотами более 0,1 Гц, появляются значительные динамические погрешности, а при измерении экспоненциально возрастающих сигналов появляются увеличивающиеся с течением времени динамические погрешности, как показано на рис. 6.5.

101

7.ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

7.1.Погрешности прямых многократных измерений

7.1.1. Порядок оценки

Порядок оценки погрешностей прямых многократных измерений регламентирует стандарт ГОСТ 8.207–76 [46].

Стандарт [46] регламентирует оценку погрешностей прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями, подчиняющимися нормальному закону распределения, и устанавливает основные положения методов обработки результатов наблюдений. Отметим, что в стандарте [46] принята терминология, отличная от терминологии, используемой в настоящее время. Так, например, использованы термины «наблюдение» (под наблюдением подразумевается однократное измерение) и «результат измерения», за которое принимается среднее арифметическое значение рассматриваемых многократных измерений.

При обработке результатов наблюдений необходимо выполнить нижеследующие операции.

1.Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2.Вычислить среднее арифметическое значение результатов наблюдений , принимаемое за результат измерения:

x = 1 ∑n xi , n i=1

где xi – i-й результат наблюдения;

п– число результатов наблюдений.

3.Вычислить среднее квадратическое отклонение σ результата наблю-

дений:

n

∑(xi − x)2

102

4.Выявить и отбросить результаты наблюдений, содержащие промахи (если они есть).

5.Вычислить среднее квадратическое отклонение результата измерения:

6.Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения. Проверка гипотезы может быть проведена по критерию, приведенному в ГОСТ 8.207–76 [46], или по критерию, приведенному в прил. 2 к данному учебному пособию. При n < 10 проверка гипотезы не проводится. При этом применение ГОСТа 8.207–76 возможно, если заранее известно, что результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения.

7.Вычислить случайную составляющую погрешности результата изме-

рения ε (без учета знака) по формуле

ε = t σ(x),

где t – коэффициент Стьюдента.

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от принятой доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n приведены в приложении к учебному пособию (см. табл. П.1. 2).

Доверительную вероятность Р = 0,95 принимают при проведении технических измерений, Р = 0,99 – при проведении метрологических измерений и измерений, результаты которых имеют значение для здоровья людей.

8. Вычислить неисключенную систематическую погрешность Θ (систе-

матическую составляющую погрешности) результата измерения. В качестве Θ принимают пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, а также методические погрешности и погрешности, вызванные другими источниками.

При 5–10 суммированиях отдельных неисключенных систематических погрешностей каждое слагаемое рассматривается как случайная величина. При

103

отсутствии данных о виде распределения этих величин (что обычно имеет место на практике) их распределения принимают за равномерное. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей их значение (без учета знака) можно вычислить по формуле

m

Θ = k ∑Θ2j ,

j=1

где Θj – j-я неисключенная систематическая погрешность (НСП); т – число суммируемых НСП;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом слагаемых т.

При доверительной вероятности P = 0,95 коэффициент k принимают рав-

ным 1,1 (независимо от числа слагаемых для m ≥ 2). При m = 1 k = 1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k зависит от числа суммируемых НСП. При m ≤ 4 коэффициент k определяется по графику зависимости

k = f(m, l),

где l = Θ1/Θ2;

Θ1 – составляющая погрешности, наиболее отличная от других;

Θ2 – составляющая погрешности, наиболее близкая к Θ1. График зависимости (7.6) приведен на рис. 7.1

Рис. 7.1. График зависимости k = f(L, m): 1 − m = 2; 2 − m = 3; 3 − m = 4

Для приближенных оценок погрешностей могут быть приняты следующие значения коэффициента k: при т = 2 k = 1,2; при т = 3 k = 1,3; при т = 4

k = 1,4; при m ≥ 5 k = 1,45. Отметим, что при m = 1 k = 1.

104

Если условие (7.7) не выполняется, то при Θ/σ( х) < 0,8 принимается

= ε, а при Θ/σ( х) > 8,0 принимается = Θ.

Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения (при выполнении указанных неравенств), не превышает 15 %.

Если условие (7.7) выполняется, то погрешность результата измерения вычисляется по формуле

= К∑σ∑ ,

где К∑ – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

σ∑ – суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения.

Коэффициент К∑ вычисляют по эмпирической формуле

где σ(Θ)= Θ / k 3 .

Суммарное среднее квадратическое отклонение вычисляют по формуле

σΣ = σ2 (x)+ σ2 (Θ).

Результаты прямых многократных измерений представляют в форме

(x ± );P ,

где x – результат измерения;

±Δ – погрешность результата измерения; Р – принятая доверительная вероятность.

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

105

При отсутствии данных о виде функций распределений составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме

x , σ( х), n, Θ, P ,

где величины σ( х), n, Θ, P – определены выше.

7.1.2. Пример расчета

Условие задачи С помощью универсального цифрового вольтметра с известными метро-

логическими характеристиками проведены многократные измерения напряжения лабораторной сети. Результаты измерений:

U1 =218,62 В; U2 =219,83 В; U3 =218,97 В; U4 =220,05 В;

U5 =218,37 В; U6 =219,74 В.

Н0 = 0 А/м, где τ – температура и Н0 – напряжение внешнего магнитного поля в нормальных условиях эксплуатации.

Измерения проведены при температуре τ = +24 0С и напряженности внешнего магнитного поля Н =20 А/м.

Найти абсолютную погрешность результата измерения, округлить и записать результат измерения, если наблюдения подчиняются нормальному закону распределения и принята доверительная вероятность Р = 0,95.

В соответствии с технической документацией дополнительные абсолютные систематические погрешности используемого вольтметра определяются

соотношениями θτ = τ10−τ0 θОС ; θН = Н50− Н0 θОС ,

где θτ – дополнительная абсолютная температурная погрешность;

θН – дополнительная абсолютная погрешность от воздействия магнитного поля;

θОС – основная абсолютная погрешность вольтметра, определяемая его классом

точности.

106

Решение задачи

1. Среднее арифметическое значение U , принимаемое за результат измерения, запишется в виде

U = 1 ∑6 Ui =219,2633 А

6 i=1

2. Среднее квадратическое отклонение σ имеет значение

∑6 (Ui −U )

3.Выявление промахов проводится по методике, изложенной в п. 4.2. Пример выявления промахов уже приведен (см. п. 4.7) и в данном разделе учебного пособия не рассматривается. Отметим только, что в приведенном ряду измерений промахи отсутствуют.

4.Основная относительная систематическая погрешность результата измерения δос, обусловленная классом точности использованного вольтметра:

где Uk =1000 В (верхний предел диапазона измерения);

U = 219,2633 В (результат измерения);

5. Основная абсолютная систематическая погрешность результата изме-

рения Θoc , обусловленная классом точности используемого вольтметра:

6. Дополнительная абсолютная систематическая погрешность результата измерения Θτ , обусловленная воздействием температуры окружающей среды:

Θτ = τ 10−τ0 Θос = 2410−22 1,8771 = 0,3754 В

107

7. Дополнительная абсолютная систематическая погрешность результата измерения, обусловленная воздействием на вольтметр переменного магнитного поля:

ΘH = 50H Θос = 5020 1,8771 = 0,7508 В.

8. Суммарная абсолютная неисключенная систематическая погрешность результата измерения Θ , обусловленная используемым вольтметром:

m

Θ = k ∑Θ2j ,

j=1

где k =1,1 для доверительной вероятности P = 0,95 ;

Θ j – j-я составляющая абсолютной неисключенной систематической погреш-

ности;

10. Случайная абсолютная погрешность результата измерения

ε = t σU ,

где t – коэффициент Стьюдента ( t = 2,57 при n = 6 и P = 0,95 ).

ε= 2,57·0,2867 = 0,7368 В.

11.Суммарная абсолютная погрешность результата измерения

σU

108

7.2. Погрешности прямых однократных измерений

7.2.1. Порядок оценки

Порядок оценки погрешностей результатов прямых однократных измерений до 2005 г. регламентировали методические указания МИ 1552–86. С 01.01.2005 г. действуют рекомендации Р 50.2.038–2004 [54], которые устанавливают методы оценки погрешностей при условии, что составляющие погрешности результата измерения известны, случайные составляющие погрешности подчиняются нормальному закону распределения, а неисключенные систематические погрешности распределены равномерно.

Неисключенными систематическими составляющими погрешности ре-

зультата однократного измерения Θ являются погрешности средств измерений, метода, вызванные другими источниками.

Неисключенные систематические погрешности (НСП) вычисляются по формуле (7.5). Порядок оценки НСП для однократных прямых измерений полностью совпадает с порядком оценки НСП для многократных прямых измерений.

109

При однократных измерениях невозможно оценить случайную составляющую погрешности результата измерения непосредственно по экспериментальным данным, поэтому требуются априорные предварительные сведения по случайным погрешностям. В противном случае может быть оценена только НСП по формуле (7.5).

Дополнительные предварительные сведения по случайным погрешностям результатов измерений могут представляться в виде средних квадратических отклонений σj отдельных составляющих (инструментальных, метода, оператора и т. д.) или в виде случайных погрешностей εj отдельных составляющих, соответствующих одной и той же доверительной вероятности Р.

Если известны σj, то среднее квадратическое отклонение (СКО) результа-

та однократного измерения σ вычисляется по формуле

ε = σ ,

где – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и закона распределения.

При нормальном законе распределения результатов измерений коэффи-

циент = 2 для Р = 0,95 и = 2,6 для Р = 0,99 [54].

Суммарная погрешность результата измерения определяется в зависимости от наличия (или отсутствия) априорных сведений о случайных погрешностях и от соотношения систематических и случайных составляющих погрешностей.

110