“Алгоритмы при моделировании гидродинамических процессов”

1. Понятие о методе конечных разностей в решении уравнений гидродинамики и тепломассообмена.

Метод конечных разностей - широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, то есть построить его конечно-разностную схему.

U- осевая скорость, V – поперечная скорость

Пример преобразования исходного уравнения с помощью метода конечных разностей:

Исходное уравнение (уравнение диффузии):
Используемые конечные разности:	; ;
Делаем замену, получаем конечно-разностное уравнение:

2. Физическая классификация уравнений гидродинамики и тепломассообмена.

Тип уравнения	Описание
Гиперболическое уравнение	класс дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее распространенный пример (Волновое уравнение) задает изменение среды, струи, потока. Уравнение для вязкости где dF – элемент силы вязкости; – динамический коэффициент вязкости; – изменение вязкости в окрестности исследуемой точки; dS – элемент поверхности
Эллиптическое уравнение	класс дифференциальных уравнений в частных производных в трехмерном пространстве (например уравнение Лапласса)
Параболическое уравнение	описывает нестационарные процессы. Например, уравнение диффузии (теплопроводности) D - коэффициент диффузии (теплопроводности); с(x,t) – концентрация диффундирующего вещества; f (x,t) – функция описывающая источники вещества

3. Консервативная форма уравнений законов сохранения.

Консервативная форма - это форма уравнения, которая показывает сохранение («консервацию») какой-либо величины. То есть в нём не должно быть дополнительных допущений о «неизменяемости» чего-либо, например, о несжимаемости среды и т.п.

Закон сохранения массы (уравнение неразрывности)
Закон сохранения количества движения (для осевой скорости)
Закон сохранения энергии

pi - напряжение поверхностных сил (давление, трение), -внешний источник тепла; -

Fi - напряжение объемных сил (например, ускорение свободного падения)

4. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений. История вопроса.

К лассические исследования течения жидкости в круглых трубах были проведены в 1876–1883 годах английским физиком Осборном Рейнольдсом. Схема его экспериментальной установки приведена на рис. В поток жидкости, вытекающей из большого бака А по длинной стеклянной трубе В, через сопло подавалась из бачка С тонкая струйка краски.

Наблюдения за окрашенной струйкой показали, что при малых скоростях течения она вытягивается вдоль оси трубы, то есть течение происходит без поперечного перемешивания. Слои жидкости движутся параллельно друг другу. Выше указывалось, что такое течение называется ламинарным.

При больших скоростях течения окрашенная струйка размывалась в поперечном направлении по всему сечению трубы, то есть наблюдалось интенсивное перемешивание потока, имевшее ярко выраженный неустановившийся характер. Такое течение называется турбулентным. Характерной особенностью турбулентного течения является наличие беспорядочных поперечных составляющих вектора скорости. Таким образом, турбулентное течение является по своей сути неустановившимся.

П роведенные эксперименты показали, что переход от ламинарного режима течения к турбулентному определяется не диаметром трубы d, средней скоростью течения w, вязкостью μ и плотностью ρ , взятыми по отдельности, а безразмерной комбинацией, получившей название числа Рейнольдса.

При измерениях в какой-либо точке турбулентного потока безинерционным датчиком получается зависимость скорости от времени, представленная на рис. Из этих данных видно, что величина скорости хаотично пульсирует около некоторого среднего значения. Рейнольдсом было предложено рассматривать мгновенное значение скорости и всех остальных характеристик турбулентного потока в виде суммы осредненных во времени значений и пульсационных составляющих:

Уравнения Рейнольдса представляют собой уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, записанные для осредненных параметров потока. В них добавляется новое, пульсационное слагаемое (крайнее справа).