Метод итераций Якоби.

Например:

Метод Зейделя. Этот метод отличается от метода Якоби только тем, что при вычислении – (k+1)го приближения i-й компоненты вектора х используются уже вычисленные (k+1)-е приближения предыдущих (1-й, 2-й, …, (i-1)-й) компонент вектора х. Для системы (3.27) итерационный процесс Зейделя будет иметь следующий вид:

 

Например:

 

24. Решение уравнения диффузии (явная и неявная схемы)

При построении разностных схем практически всегда исследователь имеет определенный выбор в конкретном способе аппроксимации и производных, в частности, для какого интервала записывать разностное представление производных. Для примера запишем две разные схемы – одну для интервалов, приведенных на рис.3, а другую – для шаблона представленного на рис. 4.

Для рис. 3:

Для рис. 4:

Явная схема, когда неизвестные значения искомой функции на (n+1)-м шаге стоит только в левой части, а в правой части стоят уже вычисленные ранее значения функций.

Неявная схема, когда и в правой и в левой частях стоят значения неизвестной функции.

Уравнение диффузии для явной схемы:

25. . Понятие об обобщенных законах теплопроводности Фурье.

Закон теплопроводности Фурье:

- вектор плотности потока; – градиент температуры (передача тепла от горячего тела к холодному); – коэффициент теплопроводности.

Уравнение температуропроводности движущейся среды:

где - коэффициент температуропроводности, удельная мощность объемного источника тепла

26. Понятие о средних, среднемассовых и среднеэнергетических параметрах в исследовании гидродинамики и тепломассообмена в углеводородных смесях.

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. Если говорить о параметрах гидродинамики, то они в абсолютном большинстве обладают непрерывным распределением. Вследствие этого под средним значением функции на отрезке обычно понимают величину

Среднемассовое значение функции - также некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В исследованиях гидродинамики применяется для анализа параметров многокомпонентных углеводородных смесей. Вследствие того, что компоненты находятся не в равном количественном соотношении друг с другом (одного больше, другого меньше), необходим учет вклада каждого из компонент в искомую величину в соответствие с его массой (плотностью). В связи с этим в расчете участвует «весовой коэффициент» - плотность той фазы, которой принадлежит вклад в искомую величину. Например, выражение для среднемассовой скорости выглядит так:

где pm - плотность смеси, ai - объемная доля компонента, pi - плотность компонента, vi - скорость компонента.

Среднеэнергетическое значение функции - аналогично среднемассовой, но в качестве весового параметра используется удельная кинетическая энергия фазы.

27. Понятие о принципе Кюри и скрещивающих явлениях в многокомпонентных неизотермических вязких средах (эффекты концентрационной диффузии, баро-, дино-, термодиффузии, диффузионной теплопроводности в смесях).

В некоторых случаях изменения в потоках тепла и массы, вызванные эффектами, не связанными напрямую с теплопроводностью и молекулярной диффузией, могут быть соизмеримы с вкладом эффектов, описываемых законами Фурье и Фика. В этих случаях необходим учет «скрещивающихся» эффектов», описывающих влияние массообмена на теплообмен, и наоборот.

Если температура смеси переменна, то возникает так называемая термическая диффузия (эффект Соре). Из кинетической теории газов следует, что если массы молекул двух компонентов различны, то за счет термодиффузии более тяжелые молекулы большей частью стремятся перейти в холодные области; если же массы молекул одинаковы, то в холодные области стремятся перейти более крупные молекулы. При определенных условиях направление термодиффузии может изменяться. Например, в ионизированном газе более тяжелые молекулы (или ионы) будут стремиться перейти в более теплые области. Термодиффузия приводит к образованию градиента концентрации. Этому препятствует процесс концентрационной диффузии, стремящейся выровнять состав. В результате с течением времени может установиться стационарное состояние, при котором уравновесятся противоположные влияния термодиффузии и концентрационной диффузии.

Следствием молекулярного диффузионного переноса тепла является так называемый диффузионный термоэффект (эффект Дюфо), представляющий собой возникновение разности температур в результате диффузионного перемещения двух газов, первоначально имевших одинаковую температуру.  Диффузионный термоэффект — явление, обратное термодиффузии. При стационарном диффузионном смешении, например, водорода и азота возникает разность температур порядка нескольких градусов. Возникающий при диффузионном термоэффекте градиент температуры имеет такое направление, что термодиффузия, которая является его результатом, противоположна диффузии, благодаря которой появился этот градиент. Если в смеси имеет место градиент полного давления, то может возникнуть диффузия за счет неоднородности давления. Этот вид диффузии называют бародиффузией. При бародиффузии тяжелые молекулы стремятся перейти в область повышенного, а легкие — в область пониженного давления. Как и термодиффузия, бародиффузия сопровождается и обычным переносом массы, вызванным разностью концентрации. Динодиффузия (диффузия под действием внешних сил) наблюдается, например, в газе, вращающемся вокруг оси; в этом случае тяжелые молекулы стремятся перейти в области, наиболее удаленные от центра. С учетом концентрационной диффузии, термодиффузии и бародиффузии плотность потока массы -го компонента за счет молекулярного переноса описывается следующим уравнением: Математически, условие возникновения скрещивающих эффектов объясняют соотношением Онзагера и принципом Кюри. Соотношение Онзагера записывается следующим образом:

, где L - феноменологические коэффициенты, Х - движущие силы. То есть поток определяется суммой отдельно действующих движущих сил (пример: движущая сила потока тепла - градиент температуры. Тепло переходит от более теплого тела к более холодному), помноженных на константы (например, на теплопроводность в примере с теплом).

Принцип Кюри утверждает, что скрещивающие эффекты возможны только в тех случаях и между теми потоками величин, движущие силы которых отличаются значениями рангов своих тензоров на четную величину, либо на ноль. То есть либо это тензоры одного порядка, либо их порядок отличается на 2. Пример - эффекты диффузии и теплопроводности. В обоих эффектах движущая сила - это градиент величины - градиент концентрации для диффузии, и градиент температуры для теплопроводности. Градиент - это вектор, то есть тензор 1-го ранга. Разница между рангами тензоров двух движущих сил этих эффектов: 1-1=0. То есть выполняется принцип Кюри и данные потоки величин могут влиять друг на друга, что и наблюдается в природе.