7. Устойчивость, консервативность разностных схем. Разностные сетки и преобразование основных уравнений

Разностные схемы - применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах.

Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому по времени изменению решения.

Требование консервативности разностной схемы означает, что данная разностная схема имеет на сетке такой же закон сохранения, что и исходное дифференциальное уравнение

Р азностная сетка: Введём двумерную систему координат, отложив по оси абсцисс независимую переменную х, а по оси ординат - независимую переменную t, и отметим на осях заданные интервалы изменения переменных х и t. Точки пересечения проведённых прямых будем называть узлами разностной сетки, причём каждый из них будет соответствовать некоторым значениям независимых переменных х и t из заданных интервалов.

Введём следующие обозначения:

j - порядковый номер точки деления по оси х; n - порядковый номер точки деления по оси t; - величина интервала между точками по оси х; - величина интервала между точками по оси t; - значение функции u, соответствующее точкам tn, xj .

8. Поточечный последовательный метод Гаусса – Зейделя.

Это метод итераций. Реализуется таким образом, что в памяти вычислительной машины держится только один массив значений Т. По мере обращения к очередной узловой точке соответствующее значение Т в памяти вычислительной машины (начальное приближение или значение Т с предыдущей итерации) заменяется на новое. Новое значение Т_р , в рассматриваемой узловой точке рассчитывается по соотношению:

где является соседним значением, которое находится в памяти вычислительной машины. Для соседних точек, к которым уже обращались в ходе текущей итерации является новым рассчитанным значением. Для остальных значение с предыдущей итерации.

№	0	1	2	3	4	5
Т1	0	0,2	0,68	0,872	0,949	0,980
Т2	0	1,2	1,68	1,872	1,949	1,980

9. Полилинейный метод и метод переменных направлений

Метод переменных направлений – это метод последовательного решения уравнений методом TDMA и передача значений температуры от одной узловой точке к другой.

Полилейная схема	Дано: t в точках показано крестиками на рис. Найти: t в узлах (показано кружками) Решение: с помощью метода TDMA (метод прогонки, сначала ищем коэффициенты, а потом Х) находим значение t в кружках (во внутренней области между двумя крестиками). Метод TDMA позволяет с достаточной скоростью определить значение температуры во внутренней области.
Случай, в котором коэффициенты в направлении оси у намного больше коэффициентов в направлении оси х	Наибольшая сходимость в направление оси х и у получается, когда TDMA применяется в направлении оси у (направление больших коэффициентов).
Рис. 3.9. Граничные условия, для которых более удобен расчет слева направо (штриховкой изображена адиабатическая поверхность)	В случае, когда значение температуры неизвестно справа (адиабатическая поверхность (показана штриховкой)) тогда такая задача решается методом последовательной передачи температуры от одной линии к другой.