Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

Рис. 2.4. Дифференциальная функция ϕ(z) для различных значений n: 1 – нормальный закон распределения; 2 – закон распределения Стьюдента; n – число измерений

Для оценки вероятности попадания случайной величины z в границы заданного доверительного интервала ±t с доверительной вероятностью Р необхо-

димо проинтегрировать функцию ϕ(z) в заданных пределах:

Последняя форма записи интеграла с заменой пределов сделана из допу-

щения, что функция ϕ(z) симметрична относительно начала координат. Обычно на практике по заданной доверительной вероятности Р и по за-

данному числу измерений n находят доверительный интервал ±t.

Численные значения t, носящие название коэффициентов Стьюдента, табулированы для конкретных значений Р и n и приводятся в справочниках. Аналогичная таблица помещена в табл. П.1.2.

2.4. Распределение χ2

Плотность вероятностей ψ(v) случайных величин v, подчиняющихся за-

кону распределения χ2, описывается соотношением

где m = n 2−1 ; n – число случайных величин (аргумент); Г – гамма-функции.

41

При больших значениях n максимум кривых уменьшается, смещается в область повышенных значений v, а сами кривые приобретают симметричный характер.

Площадь, заключенная между каждой из рассматриваемых кривых и осью абсцисс, при изменении аргумента от нуля до бесконечности есть величина постоянная и равная единице, т. е. вероятность попадания случайной величины v в бесконечно большой интервал равна единице.

Для оценки попадания случайной величины v в некоторый заданный интервал от V1 до V2 с доверительной вероятностью Р необходимо проинтегриро-

вать функцию ψ(v) с учетом заданных пределов:

Значения приведенных интегралов табулированы в зависимости от V и n (см., например, справочник [30]). При практическом использовании распреде-

ления χ2 (применительно к погрешностям) удобнее пользоваться коэффициентами γ1 и γ2:

Таблица коэффициентов γ1 и γ2 в зависимости от доверительной вероятности Р и числа случайных величин (или числа измерений) п приведена в табл. П.1.3.

Методы практического использования рассмотренных законов распреде-

ления случайных величин (нормального, Стьюдента и χ2) при оценке погрешностей и погрешности погрешностей приведены в последующих параграфах учебного пособия.

42

2.5. Классификация погрешностей

Один из возможных вариантов классификации погрешностей измерений представлен на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Классификация погрешностей измерений

При описании погрешностей и их классификации использованы следующие термины.

Абсолютная погрешность измерения – это отклонение результата изме-

рения от истинного значения измеряемой величины.

Точность измерения – это качество измерения, отражающее близость его результатов к истинному значению измеряемой величины.

Высокая точность измерений соответствует малым погрешностям всех видов, как систематических, так и случайных.

Количественно точность может быть выражена обратной величиной модуля относительной погрешности. Например, если погрешность измерения равна 10-3, то точность равна 103. Следует отметить, что термин «точность измерений» не нашел широкого применения на практике, и для «точностной» характеристики результатов измерений рекомендуется использовать термин «погрешность измерений».

43

Систематическая составляющая погрешности измерения − это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайная составляющая погрешности измерения – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Объективные погрешности измерений – это составляющие погрешности измерений, не зависящие от действий оператора.

Субъективные погрешности измерений – это составляющие погрешности измерений, зависящие от действий оператора.

Грубые погрешности – это погрешности, существенно превышающие по своему значению оправдываемые объективными условиями измерений систематические и случайные погрешности.

Вместо термина «грубая погрешность» иногда используется термин «промах». В настоящем учебном пособии термин «промах» используется в несколько ином смысле. В дальнейшем под промахом будем подразумевать результат измерения, содержащий грубую погрешность.

Промахи возникают, как правило, из-за неверных действий оператора, но могут также появляться из-за неисправности аппаратуры. Во всех случаях промахи не являются характеристикой измерений, и их необходимо отбросить.

Инструментальные погрешности измерений – составляющая погрешности измерений, обусловленная погрешностями применяемых средств измерений (образцовых и рабочих).

Образцовые средства измерений – это средства, предназначенные для калибровки, аттестации или поверки других средств измерений и не используемые для проведения «рабочих» измерений.

Отметим, что под рабочими средствами измерений подразумеваются те средства, которые используются непосредственно «в работе» для проведения измерений.

44

Отметим, что на практике учитываются, как правило, только погрешности «рабочих» средств измерений. Погрешности образцовых средств малы, и ими обычно пренебрегают. Погрешности образцовых средств измерений учитываются при проведении метрологических работ (калибровка, поверка, аттестация) или при повышенных требованиях к результатам измерений.

Погрешности измерений от воздействия влияющих факторов – это со-

ставляющие погрешности измерений, являющиеся следствием неучтенного влияния на результаты измерений внешних факторов, например температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и т. п. При проведении электрических измерений такими влияющими факторами могут быть термоЭДС и контактные сопротивления в измерительных цепях, полярность измеряемого тока или напряжения и т. д.

Методические погрешности – это погрешности, обусловленные используемым методом измерений и не зависящие от погрешности самих измерительных устройств.

Погрешности считывания – это погрешности, возникающие при считывании показаний со средств измерений. Обычно эти погрешности малы или вообще отсутствуют (например, при использовании цифровых приборов).

Погрешности вычислений – это погрешности, возникающие при подсчетах конечных результатов по данным проведенных измерений. Эти погрешности могут появиться, например, при проведении косвенных измерений из-за неверных действий оператора.

Выявление последних двух погрешностей и их выделение из суммарной погрешности относится к области субъективных психологических факторов и в настоящем руководстве подробно не рассматривается. Следует, однако, отметить, что эти погрешности косвенно учитываются при определении погрешностей измерений и входят в состав как их систематических, так и случайных частей.

45

2.6. Количественные характеристики погрешностей

Наиболее употребительны нижеследующие количественные характеристики погрешностей.

1. Абсолютная погрешность , представляющая собой разность между

Могут быть также рассмотрены абсолютные систематические погрешности Θ, абсолютные случайные погрешности ε, абсолютные методические погрешности ΘМ и т. д. Определение каждой из этих погрешностей будет представлено ниже. Абсолютные погрешности имеют ту же размерность, что и измеряемая величина.

2. Относительная погрешность δ, представляющая собой отношение

абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины x0:

Соответственно рассматриваются относительные систематические, случайные, методические и т. д. погрешности. Обычно относительные погрешности выражаются в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.

Использование в знаменателе формулы (2.21) значения х0 соответствует рекомендациям РМГ 29–99 [53]. Так как истинное значение х0 обычно неизвестно, то вместо него может быть использовано действительное значение измеряемой величины хд. Государственный стандарт ГОСТ 8.401–80 [45] допускает использовать в знаменателе формулы (2.21) также значение результата измерения х (вместо х0 или хд). На практике значение x используется в тех случаях, когда неизвестно истинное значение измеряемой величины x0 и заменяющее его действительное значение хд.

3. Приведенная погрешность средств измерения γ, представляющая со-

бой отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению xN:

46

Обычно xN = xk, где xk – верхний предел шкалы (при этом нулевое значение прибора должно быть в начале шкалы).

Нормирующее значение хN следует устанавливать равным большему из пределов измерений используемого прибора или равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений.

Для электроизмерительных приборов нормирующее значение допускается устанавливать равным сумме модулей пределов измерений.

Для средств измерений физических величин, имеющих шкалу с условным нулем, нормирующее значение устанавливают равным модулю разности пределов измерений (более подробно см. ГОСТ 8.401–80 [45]).

Приведенные погрешности используются для характеристики точностных свойств только средств измерений (такое понятие, как приведенная погрешность результата измерения, не используется). Могут быть рассмотрены приведенные систематические и случайные составляющие погрешности средств измерений. Приведенные погрешности выражаются обычно в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.

В заключение отметим, что при правильно организованных измерениях грубые погрешности должны отсутствовать. Погрешности коммутационные, от влияния факторов и методические должны быть малыми по сравнению с инструментальными погрешностями. В этом случае определяющими становятся инструментальные погрешности (или, как их еще называют, – погрешности средств измерений). Именно этим погрешностям посвящены три последующих главы учебного пособия.

Вместе с тем погрешность является важной, но не единственной характеристикой средств измерений (СИ). В силу этого ниже рассмотрены и другие характеристики СИ, нормируемые стандартами [44, 45 47].

47

3.ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1.Общие положения

Различают метрологические и неметрологические характеристики средств измерений (СИ).

Метрологические характеристики – это характеристики свойств средств измерений, влияющие на результаты измерений и на их погрешности. Нормируются метрологические характеристики СИ Государственными стандартами ГОСТ 8.009–84 [44] и ГОСТ 8.508–84 [47], а также методическими указаниями РД 50–453–84 [53]. Для каждого типа средств измерений устанавливаются свои метрологические характеристики.

Метрологические характеристики, устанавливаемые нормативными до-

кументами, называются нормируемыми метрологическими характеристиками, а определяемые – экспериментально-действительными метрологическими характеристиками.

Неметрологические характеристики – это характеристики свойств средств измерений, не оказывающие прямого (непосредственного) влияния на результаты измерений и на их погрешности. К неметрологическим характеристикам СИ относятся, например, следующие: геометрические размеры и масса средства измерения, его цвет, наличие (или отсутствие) переносных ручек.

Ниже описываются нормируемые метрологические характеристики СИ. Для наглядности на рис. 3.1 приведена схема, позволяющая пояснить и оценить

искомые характеристики.

СИ

Рис. 3.1 Схема эксперимента:

СИ – средство измерения; х – измеряемая величина (входная величина; входной сигнал); у – показание средства измерения

(выходная величина, выходной сигнал)

Различают статические и динамические свойства средств измерения. Статистические свойства средств измерения проявляются при измерении неизменных во времени величин или при измерении установившихся периодических

48

процессов. Динамические свойства средств измерения проявляются при измерении изменяющихся во времени величин или при измерении неустановившихся периодических процессов. Статистические и динамические свойства средств измерения описывают соответственно статистические и динамические характеристики.

3.2. Статические характеристики

Статическая характеристика преобразования (функция преобразова-

ния) – функциональная зависимость между входной «x» и выходной «y» величинами:

(СИ). Иногда выходная величина зависит не только от измеряемой величины x, но и от ряда других воздействующих на СИ факторов z1, z2, …zn, являющихся помехами и искажающих результат измерения. В этом случае

Очевидно, что воздействие на СИ посторонних факторов z1, z2, …zn необходимо устранить или уменьшить. Это достигается путем экранирования и изоляции СИ от воздействия помех, их компенсации, стабилизации и т. д.

Статические характеристики преобразования могут быть аналоговые и дискретные, без гистерезиса и с гистерезисом (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Статические характеристики преобразования средств измерений: а – аналоговая без гистерезиса; б – аналоговая с гистерезисом; в – дискретная без гистерезиса; г – дискретная с гистерезисом;

x0, x1, x2 – значения величины x, при которых величина y изменяется скачком

49

3.3. Динамические характеристики

Динамические характеристики определяют быстродействие средств измерения и могут быть представлены в различных видах: в виде переходных характеристик, передаточных функций, частотных характеристик и т. д.

Переходная характеристика – это зависимость выходной величины y(t) при скачкообразном изменении измеряемой входной величины x(t). Возможные типы переходных характеристик приведены на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Переходные характеристики средств измерения:

1 – идеальная (безынерционная) характеристика; 2 – апериодическая характеристика первого порядка; 3 – периодическая (колебательная) характеристика

Передаточная функция W(p) – это отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях.

где y(t), x(t) – оригиналы выходных и входных сигналов СИ.

Амплитудно-фазовая характеристика W(jω) формально может быть по-

лучена из передаточной функции W(p) путем замены величины «p» на мнимую

50