Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

дов, то вероятность такого сложного события равна произведению вероятностей исходов (см. [17, с. 46]), т. е.

где P( c ) – доверительная вероятность систематической погрешности

( P( c ) = 1);

P( o ) – доверительная вероятность случайной погрешности;

Р( ) – доверительная вероятность суммарной погрешности.

Таким образом, в рассмотренном случае доверительная вероятность суммарной погрешности численно равна доверительной вероятности случайной погрешности. Другими словами, с доверительной вероятностью Р абсолютная суммарная погрешность исследованного средства измерения не превосходит величины .

Соотношения (4.12), (4.13) и (4.14), приведенные выше, позволяют оценить значения абсолютной, относительной и приведенной суммарных погрешностей средств измерений.

Полученные значения абсолютной суммарной погрешности (или отно-

сительной δ, или приведенной γ суммарных погрешностей) позволяют присвоить исследованному средству измерений тот или иной класс точности (см. п. 3.4 учебного пособия). Присвоенный класс точности должен соответствовать требованиям ГОСТ 8.401–80 [45].

Отметим, что для решения поставленной задачи по определению числен-

ного значения класса точности полученные значения , или δ, или γ округляются до ближайшего большего значения стандартного ряда и являются классом точ-

71

ности данного средства измерений (СИ). Например, для СИ, имеющего δ = = ±1,2 %, класс точности 1,5 ; для СИ, имеющего γ = ±3,2 %, класс точности

4,0 и т. д.

Присвоенный класс точности заносится в техническую документацию на СИ. Кроме того, класс точности наносится на шкалы, щитки или корпуса средств измерений в соответствии с требованиями ГОСТ 8.401–80 [45].

4.6. Правила округления

Результаты измерений и погрешности следует округлять по сложившимся правилам.

Основные положения этих правил округления:

1.Округление проводится только один раз при получении окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно представлять тем числом разрядов, которые удается получить.

2.Округление начинается с округления погрешности результата измере-

ния.

3.Погрешность результата измерения округлятся до двух значащих цифр, если при движении слева направо первая значащая цифра округляемой погрешности меньше 3.

Погрешность результата измерения округляется до одной значащей цифры, если при движении слева направо первая значащая цифра округляемой погрешности больше 3 или равна 3.

4.Результат измерения округляется так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Если числовое значение результата измерения представляется десятичной дробью, оканчивающейся нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

5.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры в числе не изменяют. Если эта цифра больше 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Лишние цифры в целых числах

72

заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, результат

измерения U = 25,4587 мВ при погрешности результата = ±0,0213 мВ. Округ-

ление начинается с погрешности. После округления погрешность = ±0,021 мВ и результат измерения U = 25,459 мВ. Результат измерения с учетом погрешности запишется в виде U' = (25,459±0,021) мВ. Если погрешность (при том же ре-

зультате измерения) = ±6,25 мВ, то после округления = ±6 мВ, U = 25 мВ и результат измерения с учетом погрешности U' = (25±6) мВ.

6.Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры отсутствуют или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры отличны от нуля, то последнюю сохраняемую цифру числа увеличивают на единицу.

7.Примеры округления:

а) результат измерения А = 625,47; погрешность А = ±7,24. После ок-

ругления: А = ±7; А = 625 и результат измерения с учетом погрешно-

сти А' = (625±7);

б) результат измерения В = 1055,53; погрешность В = ±5,29. После округления: В = ±5; В = 1056 и результат измерения с учетом по-

грешности В' = (1056±5);

в) результат измерения С = 72,85; погрешность С = ±0,35. После ок-

ругления: С = ±0,3; С = ±72,8 и результат измерения с учетом погрешности C = (72,8±0,3). Остающиеся цифры в числе не изменяют.

4.7. Пример расчета

В качестве примера рассмотрен расчет точностных характеристик вольтметра по результатам измерений с его помощью заданного напряжения. Расчет проведен в соответствии с рекомендациями, изложенными в пп. 4.1–4.6 учебного пособия.

Пример

При многократных измерениях напряжения U0 = 60,00 В получены сле-

дующие показания исследуемого вольтметра: 60,12; 60,15; 60,16; 60,18; 60,20;

73

60,23; 60,25; 60,27; 60,28; 60,31 В. Предполагая, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, найти (с доверительной вероятностью Р = 0,95) систематическую, случайную и суммарную погрешности вольтметра. Верхний предел измерения вольтметра U К = 200 В.

Оценка искомых величин проводится в нижеследующей последовательности.

1. Рассчитывается среднее арифметическое значение рассматриваемого ряда измерений:

Метод 3σ

Для реализации этого метода подсчитывается значение 3σ = 3·0,0628 = 0,1884 В, которое сравнивается с разностью между UП и U .

UП −U = 60,31−60, 215 = 0,095 < 3σ,

где UП – предполагаемый промах (UП = 60,31 B );

U = 60,215B – определено выше.

Поскольку UП −U < 3σ, то UП = 60,31B – не промах, и это значение сле-

дует оставить в ряду измерений.

74

Табличный метод

Для реализации табличного метода оцениваются значения:

WТ = f (pin)= 2, 29 (для р = 0,95 и n = 10),

где WТ – табличное значение, зависящее от принятой доверительной вероятно-

сти р и числа измерений n (см. табл. П.1.4);

UП ,U и σ – определены выше.

(U0 = 60,00 В);

U– определено выше.

5.Оценивается абсолютная случайная погрешность вольтметра:

0 = к σ =1,96 0,0628 = 0,1231 В,

0

где – случайная погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазоне измерения); к – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности р и от за-

кона распределения результатов измерений (для р = 0,95 и нормального закона распределения результатов измерений к = 1,96);

σ– определено выше.

6.Оценивается абсолютная суммарная погрешность вольтметра:

75

где – абсолютная суммарная погрешность вольтметра;

C , 0 – определены выше.

7.Оценивается относительная суммарная погрешность вольтметра:

δ= ±U 0 100 % = ± 0,338160,00 100 % = ±0,5635 % ;

δ = ±0,5635 % ,

где δ – относительная суммарная погрешность; U0 – определено выше (U0 = 60,00 В).

8. Оценивается приведенная суммарная погрешность вольтметра:

γ= ±Uk 100 % = ± 0,2003381100 % = ±0,1690 % ;

γ= ±0,1690% ,

где γ – приведенная суммарная погрешность;

U k – верхний предел шкалы или диапазона измерения вольтметра (U k = 200 В). 9. Провести округление полученных величин. После округления рас-

сматриваемые величины принимают следующие значения:

=±0,3 B ;

δ= ±0,6 % ;

γ= ±0,17 % ;

U ′ = (60,2 ± 0,3) B , р = 0,95.

Следовательно, с доверительной вероятностью р = 0,95 суммарные погрешности (при измерении напряжения U0 = 60,00 В) составляют: абсолютная

± 0,3 В; относительная ± 0,6 %; приведенная ± 0,17 %. При этом результат измерения исследуемым вольтметром в выбранной точке шкалы (или диапазона

76

измерения) может быть записан как (60,2 ± 0,3) В. Отметим, что термин «шкала» применяется для отсчетного устройства стрелочных приборов, а термин «диапазон измерения» – для отсчетного устройства цифровых измерительных приборов. В приведенном примере не уточняется тип прибора (стрелочный прибор или цифровой) и, в силу этого, используются оба термина при характеристике рассматриваемых величин.

77

5. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ПОГРЕШНОСТИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

5.1. Общие положения

В учебном пособии широко используются такие величины, как среднее

арифметическое значение ( x ), среднее квадратическое отклонение ( σ), систе-

матические ( C ), случайные ( 0 ) и суммарные ( ) погрешности средств изме-

рений (СИ). Все перечисленные величины зависят от числа измерений «n» и

принимают разные значения в зависимости от «n». За истинные значения x , σ,

C , 0 и принимаются их значения при бесконечно большом числе измерений

(при n → ∞). На практике число измерений всегда ограничено, что приводит к появлению погрешностей при оценке рассматриваемых величин. Причем погрешность из-за конечного числа измерений тем больше, чем меньше проведенное число измерений.

редко и в силу этого в данном учебном пособии не рассматриваются.

5.2. Погрешность арифметического среднего

При конечном числе измерений в значении арифметического среднего появляется погрешность, которая тем больше, чем меньше проведенное число измерений.

Погрешность среднего арифметического значения определяется по фор-

муле

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и числа измерений n (значения t приведены в табл. П.1.2).

78

Изложенное иллюстрируется на рис. 5.1, а, где изображена числовая ось, на которой отложены среднее арифметическое значение x , верхняя a2 и нижняя а1 границы доверительного интервала x и погрешности среднего арифметического + x и − x . Нижняя и верхняя границы доверительного интервала опре-

Рис. 5.1. Графическая интерпретация доверительных интервалов

ипогрешности погрешностей

5.3.Погрешность систематической погрешности

Систематическая погрешность С определяется как разность между средним арифметическим значением и истинным значением измеряемой величины

чину погрешностью систематической погрешности.

Следовательно, погрешность систематической погрешности численно равна погрешности арифметического среднего, если действительное значение измеряемой величины известно точно и не содержит каких-либо погрешностей:

Таким образом, при малом числе измерений нельзя указать точное значение систематической погрешности, а можно лишь сказать, что с принятой доверительной вероятностью систематическая погрешность будет находиться в определенных границах. Нижняя b1 и верхняя b2 границы доверительного интервала определяются соответственно выражениями

Изложенное здесь иллюстрируется на рис. 5.1, б, где изображена число-

вая ось с отложенными на ней величинами С, b1, b2, – ( С), + ( С) и I C .

Величина доверительного интервала систематической погрешности (т. е. промежуток, заключенный между верхней и нижней границей) зависит от проведенного числа измерений и от принятой доверительной вероятности. При заданной доверительной вероятности с ростом числа измерений доверительный интервал уменьшается и при числе измерений n→∞ стягивается в точку. Другими словами, при бесконечно большом числе измерений погрешности среднего арифметического и систематической погрешности равны нулю. Подчеркнем еще раз это обстоятельство. Увеличение числа измерений уменьшает не систематическую погрешность, а ее неопределенность. С ростом числа измерений уменьшается не сама погрешность, а погрешность погрешности.

80