4.10. Тема 10. Частные методики обучения математике: формирование алгебраических представлений у детей с тяжелыми нарушениями речи

Понятие о математическом языке, его связь с естественным языком. Буквенная символика — алфавит "математической письменности". Математические выражения как элементы математической речи. Математические выражения как математические объекты. Числовые равенства и неравенства, буквенные равенства и неравенства, уравнения как элементы математического языка. Проблема изучения и использования математического языка в начальной школе.

Математические выражения: определение, виды, способы и формы чтения и называния, операции над выражениями, сравнение выражений — установление сходства и различий, установление отношений равенства и неравенства, виды выражений, способы чтения. Математические выражения как способ записи чисел и действий с ними. Числовые и буквенные выражения в начальной школе как способ обобщения знаний о числах и действиях с ними. Равенство выражений, тождественные преобразования выражений, нахождение значений выражений, правила порядка действий.

Методика формирования понятия о математических выражениях, умений использовать их для записи чисел, действий и их свойств. Обучение использованию выражений при решении задач. Смыслы выражений. Формирование умения читать и записывать математические выражения, составлять выражения по словесному описанию ситуаций, отношений, по текстам условий задач, по текстам задач.

Числовые равенства и неравенства как математические записи определенного вида (записи вида a = b, a < b, a > b, a b, А = В, А < В, А > В, А В, АВ, где a и b — числа, записанные буквами или цифрами, А и В — числовые ("цифровые") или буквенные выражения). Связь отношений равенства и неравенства между числами с числовыми и буквенными равенствами и неравенствами. Верные и неверные равенства и неравенства. Свойства верных (истинных) числовых равенств и неравенств на разных числовых множествах. Методика изучения равенств и неравенств в начальной школе в разных системах обучения.

Буквы в математических записях как обозначение неизвестных чисел и переменных. Понятие переменной. Выражения с переменной, область определения, множество значений. Уравнения как равенства с переменной (равенства с неизвестным числом). Область определения. Множество значений переменной, при которых уравнение или неравенство обращается в верное равенство или неравенство. Понятие о решении уравнений и неравенств с переменной (с неизвестным числом). Корни уравнения, множество решений неравенства. Равносильные уравнения, равносильные неравенства. Различие вопросов и ответов на вопросы: “Что значит решить уравнение (неравенство)?” и "Как решить уравнение (неравенство)?". Однозначность ответа на первый вопрос и бесконечность множества ответов на второй вопрос (бесконечность путей и способов решения уравнений и неравенств, в той или иной мере отличающихся друг от друга; многообразие математических способов решения). Формирование у учащихся представлений о переменных, об использовании букв для построения общих суждений о числах и действиях с ними, о выражениях, равенствах и неравенствах с переменными как способе записи этих общих суждений. Решение уравнений методом подбора как средство понимания учащимися смысла понятий уравнение, неравенство, решение уравнений, решение неравенств.

Способы получения равносильных уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств на основе смысла того, что значит решить уравнение, что значит решить неравенство. Обучение учащихся такому решению уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств на основе преобразования уравнений и неравенств в равносильные им и приведения их к простейшим вида х = a, x < a, x > a, x а, xa. Теоремы о равносильных уравнениях и неравенствах (о равносильности уравнений и неравенств). Уравнения и неравенства с переменными как способ записи отношений между числами и величинами. Решение уравнений на основе смысла уравнения - подбором, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий. Использование уравнений и неравенств с переменными как инструмента решения задач. Возможная роль уравнений и неравенств с переменной в математическом образовании младших школьников.

История методики изучения уравнений и неравенств с переменной в начальной школе. (Споры о преимуществах арифметических и "алгебраических" задач в XVIII—XIX веках, о способности учащихся овладеть буквенной символикой. Работы В. В. Давыдова и других исследователей, доказавших, что дети способны к обобщениям, в частности, к овладению буквенной символикой, к изучению уравнений и неравенств, способов их решения, к использованию уравнений для решения задач.) История развития понятий уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства с переменными в математике, в школьном обучении математике.

Обучение учащихся умению решать задачи с помощью уравнений и неравенств с переменной. Особенности процесса решения задач с помощью уравнений. Приемы перевода текста задачи на язык математических выражений. «Словарь», слова «синонимы» как условие равенства выражений и основа записи уравнения. Система заданий по формированию и развитию умения решать задачи составлением уравнения.

Методические указания. Великий Исаак Ньютон называл алгебру «всеобщей арифметикой». Действительно, то что в арифметике утверждается для конкретных чисел, то в алгебре исследуется и обозначается относительно некоторого числового множества. Если это помнить, то знания чисел, действий с ними, свойств помогут при изучении алгебраического материала, и наоборот, изучение алгебраического материала поможет глубже понять числа. В обучении учащихся начальных классов алгебраический материал также должен служить способом выражения обобщенных знаний о числах. Рассмотрение этого обобщенного знания может предшествовать в школьном обучении рассмотрению конкретных чисел (система Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова), а может служить средством обобщения ранее изученного о числах. В любом случае нужно помнить об обобщающем характере алгебраического знания и обеспечить понимание этого учащимися.