4.5. Тема 5. Частные методики обучения математике: методика формирования представлений о смыслах арифметических действий у детей с тяжелыми нарушениями речи

Смыслы понятия числа, основанные на обнаружении множеств, равных по количеству элементов и не равных, позволяют обозначить с помощью чисел разнообразные действия с группами предметов, необходимость прогнозировать и обозначать результаты которых привели тысячелетия назад к изобретению арифметических действий с числами (эти действия позднее только в XX веке, были описаны на языке теории множеств).

Действия с группами предметов, которые мы чаще всего выполняем в повседневной бытовой и производственной жизни – соединение двух и более групп в одну, в том числе и групп предметов с равным количеством предметов; удаление нескольких предметов из группы (например, ученик достает из портфеля, в котором находятся несколько учебников и несколько тетрадей, тетрадь и учебник); деление имеющихся предметов на несколько подгрупп (подмножеств), равных между собой по количеству предметов (например, раскладываем все имеющиеся у нас конфеты определенного сорта по 2 конфеты в каждый подарочный пакет, или делим все имеющиеся воздушные шарики поровну между участниками детского праздника). Обозначая количество предметов в исходных группах соответствующими числами, а действия с предметами – специальными терминами и знаками, получили арифметические действия сложения, вычитания, умножения, деления.

Близки к теоретико-множественным смыслы числа, на которых строится теория целых неотрицательных чисел на основе понятия величины (непрерывной величины). Число в этой теории понимается как обозначение результатов измерения – краткого сравнения предметов (явлений), действий с предметом, явлением или действием-меркой по некоторой величине: длине, площади, объему, массе, весу, времени, скорости, температуре и т. п., для сохранения информации о количестве степени и соответствующего свойства в измеряемом объекте по сравнению с объектом-меркой. При этом значение величины (длины, площади, объема и т. д.) мерки принимается равным единице длины (или площади, или объема и т. д.).

Сходство теоретико-множественных смыслов целого неотрицательного числа (натурального числа и числа 0) и смыслов, базирующихся на понятии величины, обеспечивается тем, что в процессе измерения измеряемый объект представляется (или заменяется) составленным (соответствующим величине образом) из мерок. Количество этих мерок уже может рассматриваться как количество элементов множества мерок. Это множество точно так же, как любое другое множество, равномощное этому множеству мерок, обозначается словом, графическим знаком – натуральным числом, в случае, когда удалось составить измеряемый объект только из целых мерок.

Если при «укладывании» мерок обнаружилось, что в части оставшейся после укладывания нескольких мерок целая мерка не укладывается, но укладывается несколько равных между собой (по измеряемой величине) частей мерки, то результат измерения этой части обозначают парой натуральных чисел – дробью. (В дроби одно натуральное число называемое «знаменатель», показывает, на сколько равных между собой частей была разделена исходная мерка, а второе называемое «числитель» показывает сколько таких частей мерки уложилось в измеряемой части объекта.

Есть и особенности смысла числа, основанных на понятии величины, отличающие их от теоретико-множественных. Эти особенности заключаются в следующем. Каждому множеству ставится в соответствие единственное число, обозначающее количество элементов в нем (но каждому числу соответствует бесконечное множество равномощных множеств – множеств с одинаковым количеством элементов, которое и обозначено этим числом). Однако, любому предмету (или идеальному объекту, каким является, например, геометрическая фигура), обладающему той или иной величиной – длиной, площадью, массой, весом и т. п. может соответствовать любое натуральное (а также дробное, иррациональное число), достаточно лишь подобрать соответствующую единицы величины в качестве которой можно принять длину, площадь, объем, массу и т. д. любого объекта, обладающего данной величиной. При изменении единицы величины количественная характеристика объекта не меняется, но число, обозначающее ее, меняется. Для того, чтобы число однозначно несло информацию о величине (длине, площади, объеме и т. п.), нужно принять единые системы единиц величин, а при необходимости сравнения чисел, измерение производить в одних и тех же единицах.

Если задано множество, то это означает, что точно известно из каких элементов оно состоит. Количество элементов в нем тоже вполне определенное, соответственно и число, обозначающее это множество, будет единственным.

Не составляет исключение ситуация, когда количество каких-либо предметов («штук») мы оцениваем, «упаковывая» их поровну в коробки, связки, пакеты и т. п. После упаковки мы получаем другое множество, группу других предметов. Пусть, например, имеются карандаши. Если они не разложены в коробки, в стаканчики для карандашей и т. п., то каждый карандаш – элемент множества. Число, обозначающее количество элементов множества – это число карандашей. Если же эти же карандаши разложить поровну (или не поровну) в коробки, то число коробок с карандашами – это число, обозначающее количество элементов в другом множестве – в множестве коробок, а не множестве карандашей, как в первом случае. Число, понимаемое как обозначение количества элементов каждого из равноценных множеств, для каждого такого множества – единственное (но каждому числу соответствует бесконечное множество конкретных множеств, количество элементов которых обозначено данным числом).

Представим, например, число 5 как обозначение результат измерения величины. Такой величиной может быть любая величина, относительно которой нам известен способ «укладывания» мерок, способ измерения – составления измеряемого объекта из мерок. Поэтому 5 может быть числовым значением любой величины, измеренной в любых единицах. Ниже показано что может обозначать число 5.

5 – числовое значение длины. При этом не все объекты, длина которых в результате процедуры измерения была обоснованно обозначена числом 5, равны по длине друг другу

5 – числовое значение площади.

5 – числовое значение объема.

5– числовое значение времени.

Обозначаемая этим числом временная длительность может быть различной – 5 минут, 5 лет, 5 уроков, 5 куплетов песни, 5 музыкальных тактов и т. п.

5. 5, как числовое значение массы, может обозначать массу в 5 кг, 5 т, 5 килотонн, 5 «карандашей» (если карандаш был меркой «гирей», и его масса была принята за единицу), 5 «груш», если есть в наличии 5 штук груш, равных по массе, тогда масса груши – единица массы и предмет, имеющий массу в 5 «груш» уравновешивает чашку весов с пятью «единичными» грушами

«Величинный» смысл числа – натурального, дробного, иррационального, определяет отношения больше – меньше, равно, больше на – меньше на, больше в … раз – меньше в … раз между числами через процедуру непосредственного сравнения предметов по любой из непрерывных величин. В математической литературе такое определение, так же как определение натурального числа, обычно строится на пример длины отрезка. Однако, в методическом плане учителю необходимо уметь представить любое число и названные выше отношения между любыми числами с помощью любой из наиболее используемых в повседневной жизни величин, изучение которых предусмотрено ГОСНОО в курсе математики.

Пусть, например, имеется два натуральных числа а и в, полученные в результате измерения одной и той же величины (длины, или площади, или объема и т. д.) в одних и тех же единицах двух объектов, носителей измеряемой величины. Число а будем считать большим (меньшим), чем число в, если при непосредственном сравнении объектов А и В по той же величине, которую представляют числа а и в, объект А больше (меньше) объекта В.

Число а будем считать равным числу в, если при непосредственном сравнение объектов А и В по величине, которую представляет числа а и в, объекта А оказался равным объекту В.

Аналогично могут быть определены и отношения «больше (меньше) на …», «больше (меньше) в … раз».

Пусть, например, нужно установить, какое из чисел обозначенных «сказочными цифрами»³³ больше: γ или η, если известно что γ обозначает длину отрезка а в единицах е, а η, – длину отрезка в в тех же единицах. По рисунку видно, что отрезок а длиннее отрезка в, следовательно число γ больше числа.

Если в предыдущем примере длина «лишней» части большего отрезка а – отрезка с в тех же единицах обозначается числом, записанным «сказочной цифрой» @, то говорят, что, отрезок а длиннее отрезка в на длину отрезка с, а число γ больше числа η, на число @.

Дети задолго до школы научаются на практическом предметном уровне устанавливать «на сколько» одни предметы больше (длиннее, толще, выше, шире и т. п.) других, располагая сравниваемые предметы соответствующим образом и показывая выступающую часть большего предмета. Поэтому и учитель должен знать «предметные» способы установления отношений «на сколько» больше (меньше), чтобы понимать, как эти отношения в школьном обучении перевести на язык чисел, а затем и действий с ними.

Покажем предметные смыслы отношений «больше (меньше) в … раз» с помощью величин. Известно что объект А считается в n больше объекта в по заданной величине если для того чтобы составить новый объект, равный А по заданной величине, достаточно составить его из n объектов, равных по заданной величине В.

Так, если в один стакан мы положим 2 чайные ложки сахара, а в другой 3 раза по таких чайных ложки, то о количестве сахара во втором стакане принято говорить: «Сахара во втором стакане в 3 раза больше, чем в первом».

На примере массы отношение в 3 раза больше (меньше), б):масса мешка А в 3 раза больше массы куба В. Масса куба В в 3 раза меньше мешка А.

Если масса А, измеренная в некоторых единицах е, равна числу а, а масса В, измеренная в тех же единицах, равна числу в, то для случая. б), число а будем считать в 3 раза большим числа в. Например, если а = 18, а В равно 6, 18 в 3 раза больше 6-ти, а 6 в 3 раза меньше 18-ти.

Понимание обучающимся рассматриваемых смыслов отношений «больше (меньше) на …» и «больше (меньше) в … раз» проявляется в том, что он словесно заданное отношение между числами может «показать» на примере длины, площади, объема, массы и т. п. конкретных материальных объектов или их мысленных образов, и наоборот, конкретную ситуацию, аналогичную представленным выше может обозначить соответствующими отношениями между числами. Особенно важно такое понимание при первом специальном рассмотрении отношений между числами на уроке математики. Ведь предметные смыслы математических понятий и отношений обеспечивают включение всего богатого субъективного опыта предметных действий ученика начальной школы как основы и средства формирования математических представлений, понятий, способов действий. Это же утверждение можно отнести и к арифметическим действиям с числами «величинные» смыслы которых представлены ниже.

Сложение и вычитание чисел, так же как и в теоретико-множественном подходе, обозначают соответственно операции объединения и удаления, только соединяются в одно целое не множества, а объекты, обладающие длиной, площадью и т. п., а удаляется не подмножество, а часть объекта – носителя соответствующей величины .

Вычитанием чисел обозначается операция удаления части объекта, когда величина целого объекта обозначена уменьшаемым, а величина удаляемой части – вычитаемым.

Если у сложения и вычитания в теоретико-множественных смыслах и смыслах на основе понятия величины принципиальных различий нет, то умножение и деление приобретают новые смыслы.

Так умножение чисел ав можно понимать как обозначение «суммирования» – соединения в одно целое соответствующим некоторой величине способом в объектов, числовое значение величины каждого из которых равно а.

Но умножение может быть также определено как операция перехода от одних единиц данной величины к другим, более мелким. Так 32 можно понимать как обозначение числового значения величины некоторого объекта в новых единицах, где 3 – числовое значение величины этого объекта в старых единицах, а 2 – число, показывающее отношение старой единицы к новой показывающее сколько новых единиц укладывается в старой.

Смыслов деления, отражающие практические действия, которые обозначаются действием деления чисел, несколько. Во-первых, предметное практическое деление на равные части групп предметное практическое деление, также как т при делении на равные части групп предметов (деление множеств на равночисленные подмножества) возможно в двух случаях, которые в методической литературе называются «делением по содержанию» и «делением на равные части». Деление по содержанию – это деление объекта, характеризуемого некоторой заданной величиной, измеренной в определенных единицах и обозначенной в результате числом – делимым, на равные по этой же величине части, когда известно числовое значение величины каждой из равных частей, полученная при измерении в тех же единицах.

Например, ленту, длина которой в сантиметрах равна 90, нужно разрезать для использования в качестве закладок на части по 30 см каждая. На языке математике это действие обозначается 90:30. Результатом является число ленточек – ответ на вопрос сколько раз по 30 содержится в 90 .

Вариант: длина ленты равна 100 см. Разрезав ее на куски по 30 см, получим 3 куска и 10 см – остаток.

В классе на уроке удобно демонстрировать деление на примере объема воды, на примере длины бумажной ленты, полоски Отметим, что в предметных действиях деление нацело не отличается от деления с остатком, по этому мы их рассматриваем одновременно.

Практическое деление «по содержания» не вызывает никаких трудностей. Оно требует только умение измерять соответствующую величину. Деление «по содержанию» аналогично вычитанию.

А вот разделить предмет «на равные части», когда известно, только число таких равных частей, непросто, а иногда практически невозможно. Даже полоску разделить на три равные части можно лишь методом проб и ошибок. При деление отрезка на равные (по длине) части можно воспользоваться теоремой Фалеса³⁴ и выполнить соответствующие построения, хотя и эти построения практически трудны и не доступны учащимся начальной школы.

Есть и еще одна проблема деления на заданной число равных частей. Это проблема деления с остатком. Известно, что для любого объекта обладающего непрерывной величиной, существует принципиальная возможность его деления на любое число (натуральное) равных между собой частей. Никакого остатка материально представленного при этом не получается.

Например, разделим отрезок длиной в 11 единиц длины в начале по 2 см, и на 2 равные части. В первом случае отрезок в 1 см остается не «разделенным» – его длина в тех же единицах задает остаток 1, что и записывается в результате: 11:2=5 (ост. 1)

Если тот же отрезок разделить не по 2 единицы длины, а на 2 равные части (рис. ), то остатка нет. Результат такого практического деления может быть записан в целых числах с остатком только после нескольких непростых процедур.

Поэтому представление учащимся деления с остатком на примере деления предметов на известное число частей, равных по некоторой величине, невозможно. Кроме деления «по содержанию» и «на равные части», деление натуральных чисел (на основе понятия величины) можно рассматривать как переход от одних единиц величины, более мелких, к другим – более крупным

Деление, как и другие действия, может быть представлено и через другие величины – площадь, объем, массу, время и т. п.