11. Применение знаний о величинах, действиях с ними, зависи­мостях между ними в решении математических и практических задач, в процессе овладения другими математическими и иными знаниями.

Например, тепличницам нужно высеять семена огурцов сорта "Маринда". Из­вестно, что для хорошего урожая на каждом квадратном метре земли должно быть не более 2 – 3-х растений. Какое максимальное количество семян необходимо тепличницам, если масса пяти семян равна 5 г, а площадь тепличного грунта равна 250 м²?

Опираясь на приведенную программу формирования у младших школь­ников представлений и понятий о любой величине, нетрудно разрабо­тать методическую систему изучения конкретных величин.

Вопросы, задания, игры для работы с детьми при формировании общих представлений о величине

1. Посмотрите вокруг себя. Какие предметы вы видите? Назовите их. Возьмите в руки любые два из них (подойдите к любым двум из них, покажите любые два из них). Чем похожи эти предметы друг на друга? Чем они отличаются друг от друга? Рассмотрите другие два предмета. Ответьте на те же вопросы.

2. Посмотрите вокруг себя. Какие предметы вы видите? Разделите эти предметы на две группы так, чтобы в одну попали только те, ко­торые похожи друг на друга, в другую - непохожие на них. Найдите несколько вариантов выполнения этого задания.

3. Все существующие в мире предметы, вещества, растения, живот­ные, люди, события обладают самыми разными свойствами, признаками, качествами. Поиграем в такие игры.

а) ведущий называет какое-либо свойство (признак, качество) и слово "да" или "нет". После этих слов играющие должны быстро пока­зать (подойти, назвать, написать название на листе бумаги) тот предмет, который этим свойством обладает ("да") или не обладает ("нет"). Выигрывает тот, кто ни разу не ошибется.

Набор свойств, которые могут быть использованы в игре: цвет, форма, длина (в любых направлениях, в том числе длина, ширина и высота), площадь, объем, масса, вес, время (изготовления, исполь­зования, жизни и т.п.), красота, мягкость, твердость, овальность, "угластость", "прямоугольность" и др. (В игре свойства лучше назы­вать соответствующими прилагательными.);

б) ведущий показывает предмет и называет какое-либо свойство. Играющие должны каким-либо образом (предварительно договорившись, каким) подтвердить, что это свойство у предмета есть или "ответить" что этого свойства у предмета нет. (Например, при наличии свойства дети под­нимают руку, при отсутствии – нет; при наличии свойства ставят на листе бумаги цифру 1, при отсутствии - цифру 0, и т.п.) Выигрывает тот, кто не ошибется и не пропустит ни одного предмета, свойства.

4. Можно ли так спрашивать? Или какие из следующих вопросов имеют смысл, а какие нет?

—Какой из предметов больше по длине? меньше по длине?

—Какой из предметов больше по форме? меньше по форме?

—Какой из предметов больше (меньше) по площади? по массе? по времени жизни (по возрасту)? по "овальности"? по "кривизне"? по цвету? по величине углов?

5. Для каждой из следующих пар предметов, явлений, событий и т.п. назовите как можно больше одинаковых свойств и как можно больше различных. Возможные пары для игры: солнце и мячик; сон и картина на стене; мед и камень; стол и книга,; булка хлеба и кирпич; дом и улей; молоко и дождь; ленточка (для волос) и дорога; ссора и вихрь; день и колосок пшеницы; урок и кни­га и т.д.

6. Что общего между листом бумаги, земным шаром и деревянным кубиком? (У всех этих предметов есть поверхность, количественно которую можно оценивать по площади; все названные предметы протя­женны; у всех предметов одни части отстоят от других на некотором расстоянии; все предметы имеют форму; и т.д.) Назовите как можно больше общих свойств.

7. Какой из предметов длиннее: карандаш или ручка? стол или ок­но? диван или воздушный шарик? Подтвердите свой ответ практически­ми действиями с этими предметами, каким-либо иным способом.

8. Назовите любые два предмета, события, вещества. Для каждого укажите как можно больше тех свойств, которыми он обладает, запи­шите их под названием соответствующего объекта. Поменяйте местами названия. Какой смысл имеют свойства, вписанные в каждый столбец, если считать их свойствами объекта, название которого теперь стоит над столбцом?³⁸

Пример:

Море (Стол)	Стол (Море)
Голубое Теплое большое (по площади) большое (по объему воды) богатое (красками, обитателями) дружелюбное глубокое	Деревянный Красивый Устойчивый Мягкий Высокий Коричневый Состоящий из десяти частей

9. Рассмотрите эти кубики (учитель показывает два кубика разных размеров, например, синий и красный, причем синий больше красного по длине сторон.) Покажите большой кубик. Покажите маленький кубик. Этот кубик большой или маленький? Сделайте метку на нем. Теперь посмотрите на эти кубики (показываем синий кубик из прежнего набора и зеленый, больше синего). Какой из этих кубиков больше другого? Покажите большой кубик. Покажите маленький кубик. Синий кубик большой или маленький? (Показываем все три кубика.) Как в рисунке показать, обозначить, что красный кубик по длине сторон меньше синего, а синий меньше зеленого? Придумайте несколь­ко способов такого обозначения.

Как в рисунке показать, обозначить, что зеленый кубик по длине сторон больше синего, а синий больше красного? Придумайте несколь­ко способов такого обозначения.

10. Проведите рукой вначале по поверхности книги (всей поверх­ности, т.е. по поверхности всех граней книги), а затем по поверх­ности стакана (цилиндра, цветочного горшка). Чем похожи и чем от­личаются эти поверхности? Какая поверхность больше по площади? По­чему ты сделал такой вывод?

11. Положи (реально или мысленно) на одну чашку весов пакет (пачку) соли, на другую тетрадь. Какая чашка перетянет (опустится вниз)? Масса какого предмета больше? меньше? Какие бы метки ты поставил на пакете с солью и на тетради или на бирках к ним, чтобы с их помощью легко можно было узнать ("прочитать"), масса чего больше? меньше?

12. На столе несколько предметов: пенал, ваза, тетрадь, книга, игрушечная машинка, матрешка. Выбери самый легкий предмет, самый тяжелый. Расставь все предметы в порядке возрастания тяжести. (Этот же порядок сохранится, если расставлять предметы в порядке возрастания массы.) Сделай из бумаги бирочки и поставь на них та­кие метки, знаки, чтобы по ним легко было определить, какой пред­мет больше, какой меньше, не прибегая к сравнению предметов.

Для самоконтроля ответьте на данные ниже вопросы.

1. Рассмотрите любой из предметов, который сейчас находится пе­ред вами (например, книгу, чайную чашку, кастрюлю, канцелярскую скрепку и т.п.). Назовите как можно больше свойств этого предмета.

2. По каждому или некоторому из свойств назовите как можно больше предметов, обладающих данным свойством.

3. Из названных при ответе на первый вопрос свойств выделите те, для которых имеет смысл сравнение двух предметов (объектов) по вопросу: у кого из этих предметов данного свойства больше? меньше? поровну ли этого свойства у них?

4. Перечислите все величины, изучаемые (которые можно изучать) в начальной школе, в средней школе в курсе математики.

5. Свойство каких объектов отражает каждая из названных вами в ответе на первый вопрос величина? В чем и как проявляется это свойство?

6. Какая мыслительная операция лежит в основе выделения свойств объектов?

7. Чем отличается качественное сравнение от количественного?

8. Возможно ли, чтобы один и тот же объект был одновременно больше, меньше и равен другому?

9. Можно ли по способу количественного сравнения узнать, по ка­кому качественному основанию (по какому качеству) проводится сравнение?

10. Какие способы количественного сравнения объектов (предметов) по каждому из свойств, отраженных в соответствующих величинах, вы знаете? Как можно сравнить предметы по длине? площади? объему? массе? времени? Как можно сравнивать изменения, движения по скорости?

11. Что такое измерение?

12. Из каких операций состоит процедура измерения?

13. Назовите свойства отношений "больше", "меньше", "равно".

14. Что может быть единицей длины? единицей массы? единицей пло­щади? единицей объема? единицей теплопроводности? единицей темпе­ратуры? и т.п.

15. Назовите основные пункты возможной программы изучения вели­чин в начальной школе.

А теперь сличите свои ответы с ответами, данными автором.

1. Понятие величины исторически возникло из необходимости сравнивать предметы и явления по выделенным свойствам, точнее, —"по количеству" одного и того же свойства у разных предметов, явлений.

2. Например, длиной обладают все материальные твердые и жидкие тела. Длиной обладают линии, изображенные на листе бумаги, границы предметов и многое другое. Красотой обладают некоторые лю­ди. Но то, что я считаю красивым, другой человек может таким не считать.

3. Количественное сравнение имеет смысл по длине, массе, площади, твердости, мягкости, красоте, насыщенности цвета, добро­те, уму, развитию каких-либо способностей у человека и др.

4. Величины: длина, площадь, масса, объем, скорость, время, стоимость, производительность труда (последние величины в прос­тейших случаях вполне доступны для изучения учащимися начальной школы). В средней школе возможно расширение и углубление изучения величин и ознакомление с весом, температурой, величиной углов.

5. Длина – свойство всех материальных тел и геометрических объектов, заключающееся в их протяженности в пространстве в каждом (из возможных) направлений. Разновидности длины: длины взаимно-перпендикулярных сторон предмета – длина, ширина, высота, длина пути, длина сторон предмета; длина границы тела; периметр основания; длина линий на поверхностях предметов; длина отрезка; длина стороны многоугольника; расстояние между точками, линиями, плоскими и криволинейными поверхностями, между объемными телами (расстояние – длина кратчайшего пути между соответствующими объектами).

Ощутить свойства предметов окружающего мира, отраженные в поня­тии длины можно через зрительные образы занятости зрительного пространства, осязательные и мышечные ощущения длитель­ности движения по определенной траектории.

Площадь – свойство всех поверхностей материальных и геометрических тел, плоских геометрических фигур, характеризующее "суммарную" одновременную протяженность в бесконечном множестве направлений, сводимых в каждой точке (в каждое мгновение) к двум. Пло­щадь - это свойство, отражающее практическую возможность сравнения по вопросам: "У чего (у кого) поверхность больше (меньше)?" Образно поверхность можно представить как тончайшую, "нулевой" толщины оболочку любого материального объекта. Ощутить свойство, отраженное в понятии пло­щадь, можно по длительности движения ладони по поверхности.

Объем – свойство всех материальных тел и "объемных", трехмерных геометрических тел, характеризующее (отражающее) "суммарную" про­тяженность объектов в бесконечном множестве направлений, сводимых к трем направлениям, не относящимся к одной плоскости. Математи­ческое понятие объема отражает прежде всего способы сравнения физических тел по "количеству" занимаемого или ограниченного ими пространства.

Ощутить свойства, отраженные в понятии "объем", можно через ощуще­ние заполненности, занятости, замкнутости части пространства, че­рез возможность или невозможность помещения одного предмета внутрь другого и т.п.

Масса – свойство всех материальных тел и частиц. Она проявляется в земных условиях через силу тяжести, ощущаемую нами как давление предмета на руку, на другие части тела, на основании чего мы раз­деляем предметы на более или менее тяжелые, на более или менее легкие и на одинаковые по тяжести. Сила тяжести не есть масса, но она зави­сит от массы.

Время – свойство процессов, явлений, событий, свойство жизни. Время и пространство – способы существования материи. Ощущение времени – это ощущение перехода событий, процессов и т.п. из нас­тоящего в прошлое, из будущего в настоящее, из прошлого в настоящее, из настоящего в будущее, через ощущение измене­ний.

Скорость – это свойство любых изменений, происходящих во време­ни. Разновидности скорости: скорость движения (механического), скорость выполнения работы – производительность труда, скорость чтения, скорость говорения, скорость роста, скорость загрузки ва­гона, скорость разгрузки, скорость вращения чего-либо, скорость мыслительных процессов ("быстрый ум"), скорость нагревания, скорость роста денежных доходов и т.п. Проявляется в сравнении "количества" однородных изменений за один и тот же промежуток времени.

Стоимость — свойство всех объектов, изготовленных, произведен­ных, добытых для продажи; отражает количество затрат ресурсов, труда, времени, интеллекта и т.д.

6. Операция сравнения.

7. Целью и результатом качественного сравнения является установление, обнаружение у сравниваемых объектов одного и того же качественного признака или наличие определенного качества, свойс­тва у одного объекта и его отсутствие у другого. Количественное сравнение возможно только после установления одинакового качества, свойства. Оно проводится по одному и тому же свойству и заключается в выявлении степени обладания одним и тем же качеством, в установлении отноше­ний "больше", "меньше" или "равно" по одному и тому же в качест­венном смысле свойству, по одному и тому же качеству, которое выступает в роли основания сравнения.

8. Да, возможно. Любой объект (предмет) обладает множеством разнообразных качеств, часть из которых выявлена, познана людьми. Вполне возможно, что по одному качеству объекты равны – по другому первый больше второго, а по третьему, наоборот, второй больше первого. Например, два бруска из разного материала, имеющие форму параллелепипеда, могут быть равны по объему, а по массе первый мо­жет быть больше второго, по высоте – первый меньше второго, по площади основания – вновь первый больше второго.

9. Можно. Именно в способе прямого сравнения и проявляется качественное своеобразие свойства - основания сравнения. Так, если при сравнении один предмет укладывают вдоль другого, то это озна­чает, что сравнение ведется по длине; если для сравнения предметы укладывают на разные чашки весов, то это означает, что сравнивают их по массе.

10. Предметы можно сравнивать следующим образом.

По длине: а) накладывая один на другой (укладывая один вдоль другого); б) накладывая друг на друга не сравниваемые предметы, а их заменители – предметы, равные сравниваемым по длине, но имеющие более удобную форму и физическое состояние; в) с помощью прямого измерения в одних и тех же единицах и сравнения полученных чисел; г) с помощью косвенного измерения и сравнения полученных чисел (пу­тем измерения других величин, от значения которых зависит значение длины, и вычисления ее значения).

По площади: а) накладывая одну из сравниваемых поверхностей на другую; б) накладывая друг на друга поверхности-посредники, по­верхности-заменители данных поверхностей; в) с помощью прямого из­мерения и сравнения чисел; г) через косвенное измерение и сравне­ние полученных чисел.

По объему: а) помещая один предмет внутрь другого; б) с помощью сосудов и жидкостей – один сосуд до краев наполняют жидкостью и помещают в другой, затем одно из сравниваемых твердых тел помещают в сосуд с жидкостью (твердое тело должно быть тяжелее жидкости); вылившуюся, вытесненную жидкость переливают в третий сосуд и помечают ее уровень; ту же процедуру выполняют со вторым предметом, затем сравнивают уровни (больший объем имеет тот пред­мет, который вытеснил больше жидкости); в) с помощью измерения других величин (например, длины) и вычислений на основе установленных зависимостей.

По массе: а) на чашечных весах без измерения; б) на чашечных весах через измерение; в) на других видах весов при соответствую­щих пересчете и шкалах; г) через оценку результа­тов воздействия одной и той же силы на сравниваемые предметы.

По времени: а) для одновременно начинающихся событий по однов­ременности или неодновременности их окончания; б) по субъективным ощущениям; в) по количеству процессов, событий, происшедших в течение сравниваемых других процессов или событий, одинаковых между собой по длительности (измерением с помощью прозвольно выбранных мер); г) измерением с помощью специальных прибо­ров.

По скорости: а) через сравнение (количественное) результатов изменения (изменений), происшедших за один и тот же промежуток времени; б) через измерение результатов изменений, измерение вре­мени, в течение которого произошли эти изменения, и выполнение действий с получившимися числами.

11. Измерение - это процедура количественного сравнения, с помощью которой каждому из сравниваемых объектов ставится в соот­ветствие число. При из-мер-ении определяют из скольки "мер" может быть составлен измеряемый объект.

12. Любая процедура измерения состоит из следующих операций:

а) выбор мерки (меры, эталона); б) признание значения "количества вели­чины" в нем равным единице, в) конструирование названия и графическо­го обозначения; г) "укладывание" мерки (или равного ей по данной величине объекта) в (на) измеряемом объекте и счет понадобившихся для этого мерок. Число, получившееся в результате счета, есть число­вое значение соответствующей величины для измеряемого объекта. Операция "укладывания" для каждой величины своя, отличающаяся от аналогичной операции для других величин.

13. 1. Если a = b, то b = a. 2. a = a. 3. Если a > b, то b < a. 4. Если a = b, a b = c, то a = c. 5. Если a > b (a < b), а b > c (b < c), то a > c (a < c). 6. Если а = с и b = c, то a = b. 7. Если a > b (a < b или a = b) и с — количество того же свойства в некотором третьем объекте, то объект, составленный соответствующим образом из а и с, будет больше (меньше, равен) объекта, таким же образом составленного из b и с; а > b (a < b или a = b) и c > a + c > b + c (a + c < b + c или a + c = b + c).

14. Относительно любого предмета, обладающего длиной, мас­сой, площадью, объемом, теплопроводностью, температурой и т.п., мы можем договориться считать его длину, массу и т.д. равной единице. Относительно любого предмета мы сами можем принять решение: счи­тать значение данной величины в нем равным единице.