Тема 4.4. Методика формирования представлений о числе и отношениях между числами у детей с тяжелыми нарушениями речи

Число – основное понятие начального курса математики. Это самое используемое в повседневной жизни математическое понятие. Без него не обходится ни один день нашей жизни, ни один вид профессиональной деятельности. Число – единственное математическое понятие, которое образует «свою» особую часть речи в русском и во многих других языках - числительные. Понятие числа – одно из древнейших математических понятий. Оно является предметом исследований не только математики, но и философии, истории науки. С числом связано множество мифов и легенд. Число является продуктом интеллектуальной деятельности людей. Оно не исчерпывается только математическим содержанием. Число – это феномен культуры.

Задача профессиональной деятельности учителя начальных классов, независимо от того, каких педагогических взглядов он придерживается, учебники каких авторов использует – создать условия для овладения младшими школьниками понятием числа и способами действий с числами на уровне, достаточном для продолжения математического образования в основной школе и использования чисел в повседневной жизни.

Начать готовиться к решению этой задачи можно и нужно с осознания, обобщения и обогащения собственных представлений о числе, отношениях между числами, операциях с числами.

В формировании представлений о числе есть несколько аспектов, которые условно можно назвать смысловой, знаниевый и процедурный. Эти аспекты отражают три характеристики качества владения понятием числа – понимание, знание и умение.

Первая характеристика – понимание смыслов числа. Такое понимание проявляется при представлении того, что обозначает, может обозначать число, при самостоятельном использовании чисел, отношений и операций с ними для выражения утверждений о каких-либо объектах, при выборе арифметических действий в решении текстовых сюжетных задач, при переходе от одних средств представления чисел, отношений и действий с ними к другим. Характер, глубина, уровень понимания школьником понятия числа зависят как от индивидуальных психологических особенностей и субъектного опыта познания, не связанного со специальным изучением чисел, так и от педагогической, методической системы школьного обучения математике, в особенности от обучения математике в начальной школе в целом и, в частности, в первом классе – именно в первом классе закладываются основные смысловые установки.

Вторая характеристика – знание, знание способов обозначения чисел в речи и на письме, в том числе в виде математических выражений; знание способов чтения, свойств чисел, отношений между ними, свойств арифметических действий, знание определений отношений между числами, способов сравнения чисел, способов выполнения арифметических действий и т.д. Знание может строиться на понимании и (или) на запоминании. Знание, построенное на понимании более гибкое, более действенное и более прочное: запоминание на основе понимания обычно более эффективное. Знание, строящееся на понимании, образуется с опорой на смысловую и логическую память. Знание, построенное только на запоминании, в особенности на запоминании механическом, может быть прочным. Оно может быть и действенным, однако только в ситуациях, в которых показывались образцы соответствующих действий. Знание может быть структурированным, системным, а может быть разрозненным, фрагментарным. Системное знание всегда строится на понимании – понимании смыслов основных понятий, понимание связей между ними. Действенное знание чисел – это знание, проявляющееся во владении способами действий с числами, т.е. в умениях.

Третья характеристика качества наших числовых представлений – это ответ на вопрос, что мы умеем делать с числами. Умения – один из важнейших показателей содержания и уровня числовых представлений. Это умения называть, читать и записывать числа, сравнивать их, выполнять арифметические действия, применять при решении текстовых сюжетных задач, представлять свое знание о числах в устной и письменной речи.

Данные характеристики тесно связаны друг с другом, они взаимно дополняют и усиливают друг друга. Понимание обеспечивает более прочное и уверенное знание, более свободное владение умением действовать с числами. Знание некоторых фактов, свойств, версий происхождения способствует более глубокому пониманию и служит основой соответствующих умений. Умение действовать с числами позволяет создать основу для наблюдений, для построения выводов, обеспечивающих понимание и знание. Сочетание названных характеристик у каждого учащегося индивидуально.

В методике обучения математике существует несколько подходов к формированию понятия числа у младших школьников. Один из них сформировался в середине прошлого века, когда в отечественной методике обучения математике велись споры относительно теории числа, которая может быть положена в основу изучения чисел в начальной школе. Мы уже отмечали, что в этот период широкое распространение получило мнение: успех в изучении чисел будет тогда, когда учебный материал о числах будет представлен в учебниках и на уроках в строгом соответствии с одной из теорий числа. Предполагалось, что в этом случае все сведения о числах, которые необходимо знать учащимся, будут представать перед ними в единой логической структуре соответствующей математической теории, и потому будут легче осваиваться. Математическими теориями числа, которые в адаптированном виде могли, по мнению исследователей, выполнять названную выше функцию являлись две теории: основанная на теории множеств и основанная на теории величин. Поэтому споры велись в основном по поводу выбора одной из них. Порядковая теория, выстраиваемая в математике в виде формальной аксиоматической теории, в качестве основной теории отклонялась как недоступная детям из-за ее формализации.

Построение учебного материала о числах с явным использованием языка теории множеств было реализовано в ряде экспериментальных учебников, в частности в уже упоминавшихся учебниках, разработанных под руководством А. И. Маркушевича, с использованием теории величин – в трех комплектах учебников методической системы Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова разных авторов и авторских коллективов. В учебниках других направлений подход к числу в основном соответствует его теоретико-множественной трактовке, но изложение учебного материала строится на предметных и условно-предметных действиях (действиях с изображениями предметов, в том числе условными), при этом активно используются порядковые свойства числа.

Однако практика показала, что строгое следование какой-либо одной теории при изучении чисел неизбежно приводит к необходимости ограничивать привлечение субъектного опыта познания учащихся, игнорировать имеющийся у детей запас числовых представлений. Опыт же познания количественных и порядковых отношений, числовые представления, с которыми дети приходят в первый класс, как было показано в предыдущем параграфе, таковы, что в них можно найти корни всех теорий натурального и целого неотрицательного числа. Поэтому современный и эффективный подход к формированию понятия числа у младших школьников состоит в том, чтобы идти от имеющихся у детей числовых представлений и опыта предметной деятельности во всем их многообразии. Число при таком подходе выступает в единстве всех своих свойств. Оно предстает перед детьми многопланово: как обозначение количества предметов в группе и как выражение длины, площади, массы, температуры и т. п. конкретных объектов, как признак некоторых объектов и ситуаций и как элемент упорядоченного множества, как средство упорядочивания и как группа слов родного языка, используемых, как и любые другие слова, в основных и переносных своих значениях. Причем, на начальном этапе обучения знание учащимися последовательности имен чисел – последовательности числительных «один, два, три, четыре, …», отражающей порядковые свойства натуральных чисел, является той необходимой базой, на которой могут строиться другие смыслы числа – теоретико-множественный и «величинный».

Формирование понятия числа у младших школьников условно можно разделить на несколько блоков.

Первый этап. Обобщение и систематизация числовых представлений, полученных в дошкольный период. Обучение умению (или его развитие) последовательно называть числа начального отрезка натурального ряда, а также любой части начального отрезка натурального ряда в прямом и обратном порядке. Обучение последовательному называнию чисел через одно, через два числа, например, «один, три, пять, семь …», «два, четыре, шесть, …», «один, четыре, семь, десять, …». Обучение количественному и порядковому счету предметов, частей предметов и мерок. Формирование смыслов числа, отношений между числами, действий сложения и вычитания: обучение умению обозначать числом группы (множества) предметов, звуков, слов, знаков и т. д., мерок, составляющих измеряемый предмет, место предмета в ряду; накопление опыта представления числа множеством предметов, звуков, слов, знаков и т.д., мерок, места предмета в ряду других предметов; обучение умению переходить от сравнения предметов, групп предметов к сравнению чисел и, наоборот, от сравнения чисел к сравнению предметов, групп предметов; обучение умению переходить от действий с предметами, их изображениями, с отрезками и другими геометрическими фигурами к сложению и вычитанию чисел и наоборот, от сложения и вычитания чисел к соответствующим действиям с предметами, с группами предметов, последовательностями предметов и знаков, с отрезками и другими геометрическими фигурами. Различение понятий числа и цифры. Обучение письму цифр. Обучение умению обозначать число цифрами, рисунками, отрезками и т. п.

Задача освоения содержания первого блока – обеспечить понимание смыслов числа, отношений между числами, арифметических действий, а также овладение техникой счета предметов в группе, техникой письма. Работа учащихся в первом блоке должна обеспечить элементарную числовую грамотность. В нее входит свободное, прочное знание последовательности чисел начального отрезка натурального ряда (наибольшее число этого отрезка может быть различным для разных учащихся, но не меньшим того минимума, который учитель запланировал в соответствии с возможностями учащихся.

Второй. Обеспечение знания особенностей количественных и порядковых числительных, знания цифр, знаков отношений и знаков арифметических действий, знания названий компонентов действий и выражений, знания свойств и алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления нацело и деления с остатком, правил порядка действий в выражении, знания принципов построения названий чисел в десятичной системе счисления. Формирование умения читать числа, записанные в десятичной системе, записывать многозначные числа при восприятии числительных на слух вначале в простейших случаях (без пропусков разрядов), а затем и любых чисел. Формирование вычислительных навыков, навыков нахождения значений числовых выражений. Формирование умений решать основные типы сюжетных текстовых задач на сложение, вычитание, умножение, деление нацело и деление с остатком на основе понимания смысла действий, формирование общего умения решать задачи и умения решать задачи некоторых видов с помощью арифметических действий. Задача второго этапа – развить элементарную числовую грамотность в свободное владение