Гл а в а 5

Задачи в начальном обучении математике

5.1. роль задач в начальном обучении математике

5.1.1. задачи как цель обучения и средство обучения, развития и воспитания

Признано, что математические задачи, в том числе текстовые сюжетные, играют в обучении математике разные роли. Наиболее часто выделяют две: 1) задачи являются целью обучения и 2) сред­ством обучения¹ (называют также их обучающие, развивающие, воспитывающие и контролирующие функции²).

Задачи являются целью обучения, если они включены в учебный процесс для того, чтобы научить детей решать их, и средством обуче­ния, если используются для формирования математических понятий и способов действий, для передачи информации об изучаемом.

Задачи назовем средством развития, если решение задач и дру­гие виды работы с ними (поиск нестандартных решений, разных спо­собов решения, исследование готового решения и т. п.) требуют «на­пряжения мысли, творческого поиска, логических выводов, освоения языковых средств выражения информации, проведения параллелей с другими областями знания (интеллектуальное развитие, развитие мышления и речи); вызывают эмоциональные переживания удивле­ния, затруднения, озарения, радости открытия, восхищения (эмоцио­нальное развитие); формируют «ценностно-смысловую ориентацию обучающихся (умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить

¹ Рузин Н. К. Задача как цель и средство обучения математике // Математика в школе. — 1980. — № 4.

² Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: в 2 ч. — М., 1977; Не­ шков К И. Функции задач в обучении / К. И. Нешков, А. Д. Семушин // Матема­ тика в школе. — 1971. — № 3.

194

нравственный аспект поведения»¹ — личностное развитие); приводят к осознанию социальных отношений, проигрыванию и моделирова­нию социальных ролей (социализация — «социальное развитие).

Задачи назовем средством воспитания², если в процессе решения и выполнения других видов работы с задачей реализуются цели вос­питания, и средством контроля, если решение задач и выполнение других заданий по задачам является показателем уровня овладения содержанием учебного предмета математики на базовом, задаваемом ФГОС НОО, или повышенном уровне.

Результаты использования задач как цели обучения математи­ке — это предметные результаты, а результаты использования задач как средства развития и воспитания — это личностные и мета-предметные результаты (ФГОС НОО). Когда учащиеся контроли­руют и оценивают себя, учатся осуществлять самоконтроль и са­мооценку с помощью задач, то использование задачи способствует достижению учащимися личностных и метапредметных резуль­татов. Если результаты контроля с помощью задач используются педагогом для коррекции собственной педагогической деятельности, то задачи являются педагогическим средством обратной связи.

В реальном процессе обучения все роли тесно переплетаются. Так, текстовая задача не окажет никакого влияния на усвоение учащимися распределительного закона умножения относительно сложения (за­дача как средство обучения), если учащийся не сможет найти два различных способа решения этой задачи (задача как цель обучения), приводящие к равенству, выражающему соответствующий закон. Но учащийся не откроет свойство, если не будет владеть информа­цией об арифметических действиях, выражениях, равенствах. Чтобы использовать задачи как средство обучения нужно, чтобы учащиеся умели решать их. В то же время обучение решению задач математи­ческими средствами невозможно без наличия у детей математических знаний и умений. Если решение задачи или выполнение других видов работы с задачей требует интеллектуального напряжения, вызывает

¹ Примерная основная образовательная программа. — М., 2011.

² «Воспитание — целенаправленное формирование личности в целях подго­ товки ее к участию в общественной и культурной жизни в соответствии с социо­ культурными нормативными моделями …» (Википедия. [http://ru.wikipedia.org/ wiki/] Дата обращения 09.09.2012). «Воспитание социальное, целенаправленное создание условий (материальных, духовных, организационных) для развития че­ ловека. … В. в широком социальном смысле, включая в него воздействие налич­ ность общества в целом (т.е. отождествляя В. с социализацией), и В. в узком смысле — как целенаправленную деятельность, призванную формировать у де­ тей систему качеств личности, взглядов и убеждений. В.… в еще более локальном значении — как решение к.-л. конкретной воспитат. задачи (напр., В. обществ. активности, коллективизма)». (Российская педагогическая энциклопедия.» — С. 165. Дата обращения 09.09.2012 [http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Pedagog/ russpenc/03.ph]

195

эмоциональные переживания, то обучающий эффект такой рабо­ты выше, чем репродуктивное воспроизведение, не «работающее» на развитие и эмоционально не выраженное.

Задачи решаются во всех отраслях знания и сферах деятельности. Обучение через задачи является традиционным в лучшем смысле этого понятия и эффективным при обучении всем учебным пред­метам. Но лишь при обучении математике предполагается специаль­ная работа по формированию соответствующих понятий, а уровень умения решать задачи, в том числе умения решать нематематические задачи математическими средствами, является важным показателем качества обучения математике. Обусловлено это тем, что, во-пер­вых, математическая деятельность является, в сущности, деятельно­стью формулирования и решения задач. Во-вторых, в математике есть особая отрасль «Прикладная математика», предметом которой является решение задач из разных областей знания и сфер деятель­ности математическими средствами. Математика — это «всеобщий решатель». Она является поставщиком средств решения задач во все отрасли знания, а педагогически грамотное обучение решению задач при обучении математике положительно влияет на умение решать любые задачи.

Та или иная роль задач в каждый период обучения может быть реализована в большей или меньшей мере, не реализована вовсе или даже реализована со знаком «-» в зависимости от содержания и ор­ганизации работы учащихся с конкретными задачами. Например, текстовые сюжетные задачи в начальной школе имеют как огромный развивающий потенциал, так и риски отрицательного воздействия на развитие и воспитание детей при неверных педагогических под­ходах (впрочем, как и любое хорошее средство в неумелых руках). Связано это с тем, что текстовые сюжетные задачи описывают прав­доподобные жизненные ситуации. Большинство детей реально или мысленно встречались с подобными ситуациями, разрешали возни­кающие вопросы на основе чувственного познания, догадки, интуи­ции, методом проб и ошибок. Если в первом классе педагог подходит к работе с задачей формально и формируемые у детей представления противоречат их субъектному опыту, то происходит блокирование этого опыта, овладение способами действий решения задач начина­ется с «нуля» и в искаженном виде. Будущему педагогу необходимо понять сущность проблемы использования задач как цели и средства обучения, воспитания и развития.

5.1.2. история представления текстовых задач в начальном обучении математике

Математические задачи, в том числе задачи текстовые, сюжет­ные, используются в обучении математике издавна, с тех времен, когда зародилось само математическое образование. Историю ис-

196

пользования задач прикладного характера (текстовых) в обучении математике в российской начальной школе условно можно разделить на несколько периодов.

Первый период (до XVIII в¹.). Массовое обучение математике в России еще не сложилось. Потребности ее применения в хозяй­ственной жизни удовлетворялись с помощью специально составлен­ных руководств — образцов решения задач из определенных сфер деятельности.

Второй период (XVIII в. — середина XIX в.). Начало этому перио­ду положило появление первого учебника математики — знаменитой «Арифметики» Л.Ф.Магницкого, написанного по заданию Петра I. «Арифметика» более 50 лет служила учебником в государственных школах России. Это период появления в отечественном математиче­ском образовании типовых задач — «на бассейн», «простое тройное правило», «разделение долей» и др. В то время задача была прежде всего целью обучения: задачи затем включали в учебники, чтобы уча­щиеся запомнили решения этих задач.

Третий период (середина XIX в. — начало XX в.). Характеризуется признанием влияния решения задач на усвоение математики детьми, на их развитие. В этот период в теории была признана роль задач как средства обучения. В русской школе его начало подготовили работы В.А.Латышева², С.И.Шохор-Троцкого³, Е.Шпитальского⁴ и др.

Четвертый период (30 —60-е годы XX в.). Усиление значения текстовых задач как цели обучения. Большое внимание уделяется классификации задач, методике решения типовых задач (Н. Н. Ники­тин, Г. Б. Поляк, Н. С. Попова, А. С. Пчелко, Л. Н. Скаткин, Я. А. Шор и др.). Способы решения задач определенных типов и сами типовые задачи составляли значительную часть содержания курса математи­ки⁵. На решение типовых задач отводилась б льшая часть времени на каждом уроке. В методических пособиях для учителей основное внимание уделялось изложению различных классификаций задач и способов их решения. Текстовые задачи стали особым разделом курса математики, мало связанным с другими вопросами матема­тики.

¹ Галанин Д. Д. История методических идей по арифметике в России. Ч.I. ХVIII век. — М., 1915.

² Латышев В. А. Руководство к преподаванию арифметики. — М., 1904.

³ Шохор-Троцкий С. И. Цель и средства преподавания математики с точки зрения требований общего образования. — СПб., 1892; Шохор-Троцкий СИ. Чему и как учить на уроках арифметики. — Вып. 1. — М.-СПб., 1899.

⁴ Шпитальский Е. Образовательное значение арифметических задач в связи аналитическим приемом и графическим способом их решения. — М., 1904.

⁵ Поляк Г. Б. Обучение решению задач в начальной школе. — М., 1950; Скат­ кин Л. Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач. — М., 1963.

197

Предполагалось, что, обучив учащихся умению распознавать типы задач и применять разработанный авторами учебников рациональный способ решения типовых задач, школа научит детей решать любые задачи. Для этого нужно только найти «хорошую» классификацию за­дач, рациональные способы решения и передать их учащимся. Одна­ко практика показала, что привыкая решать задачи известных типов заданными способами, учащиеся не умеют осуществлять самостоя­тельный поиск даже в случаях, когда хорошо известные школьникам зависимости представлены в ситуации, хоть немного отличающейся от типовых. Возможно, начало изменению взглядов на обучение реше­нию задач положила знаменитая книга Пойа Д. «Как решать задачу»¹, которая была очень популярна, а идеи, заложенные в ней и других ра­ботах автора, не потеряли своей значимости и в настоящее время.

В этот же период сложились системы развивающего обучения Л.В.Занкова и Д.Б.Эльконина—В.В.Давыдова. И.И.Аргинская — представитель школы Л. В. Занкова, предложила формировать поня­тие задачи (понимаемого в узком смысле); В. В.Давыдов использовал понятие задачи в широком смысле, и обучение рассматривал как обучение общим способам решения учебных задач.

Пятый период (с 70-х годов XX в. до начала ХХI в.). Вторая по­ловина ХХ в. характеризуется внедрением в практику разнообраз­ных методических подходов и систем математического образования, в которых по-разному понимается роль задач в целом, и в частности, текстовых, сюжетных: от отношения к ним, как к второстепенному материалу до признания одной из главных содержательных линий начального курса математики и действенного средства интеллек­туального развития детей. В этот период проблеме использования задач в обучении были посвящены работы психологов (Л.Л.Гуро­ва, Е.И.Машбиц, Н.А.Менчинская, Л.М.Фридман и др.), дидак-тов (Я.И.Лернер, А. П. Сманцер и др.), авторов в области методики обучения математике (М. А. Бантова, В.Ю.Гуревич, В. А. Далин-гер, Н.Б.Истомина, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, Л.Ш.Левенберг, Е. И. Лященко, М. И. Моро, К. И. Нешков, А. С. Пчелко, А. М. Пыш-кало, Н. К. Рузин, Л. Н. Скаткин, А. Д. Семушин, А. А. Свечников, С. Е. Царева, А. Я. Цукарь и др.).

Для этого периода характерна конкретизация функций задач в об­учении математике, отказ от типизации задач и разучивания способов решения типовых задач, усиление роли задач как средства обучения, стремление формировать общие подходы к решению задач. В этот период разработаны положения теории решения задач в психологии и методике обучения математике, обоснована и признана необходи­мость включать в содержание обучения понятия, характеризующие задачи и процесс решения, ориентировать обучение на овладение «общими способами решения учебных задач» (В.В.Давыдов).

¹ Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. — М., 1961.

198

В 70 —80-е годы основной целью включения текстовой задачи в конкретный урок все еще была цель «решить задачу», а обучение решению задач отождествлялось с их решением. Анализ уроков, ме­тодических пособий для учителя, пособий и учебников для учащихся того времени показал, что перед учащимися ставилась единственная цель работы с задачей: решить ее, выполнить ее требование. Инстру­ментарий решения, сведения о процессе решения явно не включались в содержание обучения и не были предметом освоения учащимися. Получив ответ на вопрос задачи, вне зависимости от того как он по­лучен, учащийся обоснованно считал цель достигнутой.

Однако в рассматриваемый период наметилось понимание того, что от обсуждения вопроса «как решать задачи на уроках» нужно переходить к вопросам обучения инструментарию решения, что и будущих учителей, и учащихся нужно знакомить с информаци­ей о задачах, процессе решения задач, методах, способах и приемах решения задач и обучать общим способам действий в специальной работе. Теоретическим обоснованием стали положения концепции учебной деятельности и развивающего обучения Д. Б. Эльконина, В. В.Давыдова и др.

Тогда же были конструктивно описаны методы и способы ре­шения текстовых задач, уточнены структура и содержание умений решать задачи, описаны приемы, помогающие решению, нахожде­нию разных способов решения задач, обобщены и названы виды работы с задачами в процессе обучения. Возрос интерес к разным методам и способам решения задач¹, к обучению средствам реше­ния, формированию общего умения решать задачи². Учитель стал более свободен в выборе методов работы с задачей на уроке. Этот период богат на методические открытия и находки в использовании текстовых задач в обучении математике, он подготовил дальнейшие изменения в представлении задач в обучении математике младших школьников.

Шестой период — современный (начало ХХI в.). Это этап раз­работки и внедрения федеральных государственных образовательных стандартов. В этот период обоснована важность понимания различий

¹ Истомина Н. Б. Формирование умения решать задачи различными спосо­ бами / Н.Б. Истомина, Р.Н. Шикова // Начальная школа. — 1985. — № 9; Шуль- га Р. П. Решение задач разными способами как средство повышения интереса к математике // Начальная школа. — 1990. — № 12; Царева С. Е. Решение задач разными способами // Начальная школа. —, 1991. — № 2; Матвеева Н.А. Раз­ личные арифметические способы решения задач // Начальная школа. — 2001. — № 3 и др.

² Фонин Д. С. Моделирование как важное средство обучения решению за­ дач / Д. С. Фонин, И. И. Целищева // Начальная школа. — 1990. — № 3; Артемов А. К. Формирование обобщенных умений решать задачи // Начальная школа. — 1992. — № 2; Матвеева Н. А. Использование схемы при обучении учащихся уме­ нию решать задачи // Начальная школа. — 1998. — № 11/12 и др.

199

психологического и формального понятий задачи и процесса реше­ния задачи. В отношении текстовых задач реализуется наработанное во второй половине ХХ в. через внедрение в материалы учебников по математике для начальной школы. Усилены функции задач как цели, так и средства обучения. В Примерной основной образова­тельной программе, построенной на основе ФГОС НОО, текстовые задачи и их решения выделены в специальный раздел содержания, наряду с числами, величинами, геометрическим материалом, работой с информацией. В учебниках математики появились темы «Учимся решать задачи», «Краткая запись задачи» и др. В них представлены задания, специально направленные на овладение учащимися прие­мами, методами и способами решения текстовых задач. В начальное обучение математике, в учебники математики введены новые виды задач: логические, комбинаторные, задачи с недостающими и лишни­ми данными, задачи на ряды, выявление закономерностей и многие другие, что позволяет оптимистично смотреть на решение проблем обучения решению задач и обучения с помощью задач.