5.3.2. Обучение решению задач разными методами и способами

Такое обучение должно быть направлено, прежде всего, на дости­жение личностных результатов (позитивное отношение к миру, то­лерантность, понимание ценности многообразия мнений, способов действий, способность к самостоятельному выбору, вариативность мышления и др.), метапредметных (формирование общего умения решать задачи). Предметные результаты (умение решать математи­ческие, в том числе текстовые задачи, соответствующих требованиям ФГОС НОО видов) будут следствием достижения личностных и ме­тапредметных результатов.

Важнейшей составляющей обучения решению задач разными ме­тодами и способами является мотивационная. Нужно привить детям

256

любовь к экспериментированию, поиску новых способов действий, стремление и умение выбирать способы действий, подходящие кон­кретной ситуации, для достижения конкретной цели. Для этого с первых дней обучения в школе необходимо предоставлять учащим­ся возможность выполнять любые задания несколькими способами, в нескольких формах, поощрять инициативу в этом направлении, организовывать сравнение разных способов по разным основаниям (например, в форме ТРИЗовской игры «Хорошо — плохо»).

Например, результат счета предметов для ответа на вопрос «Сколь­ко?» не зависит от порядка счета. Поэтому одну и ту же группу пред­метов можно по-разному упорядочивать для счета. Учащиеся могут экспериментировать, по-разному упорядочивая и размещая предме­ты при счете. Большой простор для поиска разных способов имеют вычисления. Здесь каждый может стать автором нового способа вы­числения, почувствовать удивление, радость открытия. Возможность по-разному выполнять задания является необходимым условием формирования учебной самостоятельности, способности к самостоя­тельному и ответственному выбору. Предоставляя учащимся такую возможность при изучении любого учебного материала, на каждом уроке, учитель делает овладение разными методами и способами ре­шения текстовых задач естественным и органичным.

Арифметический метод — основной. Переход к рассмотрению дру­гих методов решения мотивируется задачами, которые недоступны или трудны учащимся для арифметического решения, а новым методом решаются понятным для учащихся в исполнении учителя образом. В учебно-методических комплектах по математике представлены воз­можные подходы и соответствующие учебные материалы. Остановимся на обучении алгебраическому методу решения текстовых задач.

Подготовке к применению уравнений для решения задач служит формирование представлений о буквенных выражениях, уравнениях, решение простейших уравнений, обучение записи словесно заданных отношений и зависимостей на языке равенств.

Самые легкие для составления уравнения задачи, это задачи вида: «Я задумал число, прибавил к нему 5 (вычел из него 5, вычел его из 10, умножил …) 5 и получил 15 (5, 0, …). Какое число я заду­мал?». Знакомство с решением текстовых задач с помощью уравнения можно начинать с задач этого вида, продолжив работой подобными, но сюжетными задачами.

Важную роль играют уроки знакомства с алгебраическим спосо­бом решения задач, где обязательно должно проводиться его срав­нение с арифметическим. Не менее важное значение имеют и обоб­щающие уроки, на которых систематизируются все знания и умения учащихся, относящиеся к процессам арифметического и алгебраи­ческого решений.

Обучение поиску алгебраического решения, обучение составле­нию уравнения, заключается в явном ознакомлении учащихся с осо-

257

бенностями перевода словесно заданных отношений на язык мате­матических равенств, выполнении специальных заданий — учебных действий по переводу содержания задачи на язык математических выражений и уравнения и накопления опыта решения текстовых за­дач с помощью уравнения.

Обучение умению находить разные способы решения. В рамках одного метода обучение может проходить через организацию интуи­тивного поиска других путей решения и через обучение приемам, по­могающим обнаруживать другие способы решения. Такое обучение включает: • накопление опыта нахождения других, нескольких спо­собов решения по интуитивной догадке, а также после применения приема учителем, учащимися по указаниям учителя; • осознание дей­ствий, «подсказывающих» другой способ решения как приема, помо­гающего находить другие способы решения; • освоение приема при его применении к решениям, данным в готовом виде или найденным самостоятельно; • накопление опыта решения задач разными спосо­бами, развитие способности находить разные способы решения.

Приемы, помогающие находить другие способы решения: • по­строение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом; • использование другого способа разбора задачи при поиске и составлении плана решения; • дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на ре­зультат решения; • представление практического решения; • замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи; • явное выделение всех зависимостей в задаче; • выполнение арифметических действий, имеющих смысл в ситуации задачи, с парами данных в задаче чисел, с результатами ранее выполненных арифметических действий и выбор последова­тельности действий, составляющих арифметическое решение задачи. Возможно одновременное применение нескольких приемов¹. Все на­званные приемы применимы к арифметическим решениям, некото­рые — и к решениям другими методами. Ниже показано применение некоторых из них:

1) дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на ре­зультат решения.

Задача. В тарелке 6 яблок и 4 груши. 3 фрукта взяли. Сколько фрук­тов осталось?

Решение: 6 + 4 - 3 = 7. Дополнив условие информацией о том, какие фрукты взяли, получаем новые решения: (6 - 3) + 4 = 7; 6 + (4 - 3) = 7; (6 - 2) + (4 - 1) = 7; (6 - 1) + (4 - 2) = 7;

¹ Царева С. Е. Различные способы решения текстовых задач // Начальная школа. — 1991. — № 2; Царева С. Е. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и тех­нологий // Начальная школа. — 2004. — № 4.

258

2) замена данной задачи другой.

Задача. На одной полке 5 книг, а на другой на 3 книги больше. Сколько книг на двух полках?

Решение стандартное. 5 + (5 + 3) = 5 + 8 = 13. Уравняем количе­ство книг на полках, получим задачу: «На двух полках было по 5 книг. Сколько книг на двух полках?» Решение: 5 + 5 = 10. В исходной зада­че на второй полке было на 3 книги больше. Следовательно, и общее количество книг на двух полках в исходной задаче будет на 3 больше. Решение (исходной задачи): (5 + 5) + 3 = 13.

3) составление арифметических действий (выражений) с дан­ ными задачами.

Задача: «Токарь с производительностью 6 дет./ч изготовил 54 дета­ли, а его ученик работал то же время с производительностью 3 дет./ч. Сколько деталей изготовили токарь и его ученик?»

Решение. Составим как можно больше выражений и найдем их зна­чения: 1) 54 : 6 = 9; 2) 54 : 3 = 18; 3) 6 : 3 = 2; 4) 3 : 6 = ¹/₂; 5) 1 + ¹/₂ = 1 ¹/₂; 6) 54 · 1 ¹/₂ = 81; 7) 6 + 3 = 9; 8) 9 · 9 = 81; 9) 6 - 3 = 3; 10) 9 · 3 = 27; 11) 54 + 27 = 81; 12) 54 : 2 = 27; 13) 1 + 2 = 3; 14) 27 · 3 = 81; 15) 6 - 3 = 3; 16) 3 · 9 = 27; 17) 54 + 54 = 108; 18) 108 - 27 = 81 … Выберем последо­вательности действий, задающие решения: • 54 : 6 = 9; 9 · 3 = 27; 54 + + 27 = 81. Ответ: 81 дет. • 6 : 3 = 2; 54 : 2 = 27; 54 + 27 = 81; • 6 = 9; 6 - 3 = 3; 9 · 3 = 27; 54 + 27 = 81. • 9 · 3 = 27; 6 : 3 = 2; 1 + 2 = 3; 27 · 3 = = 61; • 3 : 6 = ¹/₂; 1 + ¹/₂ = 1 ¹/₂; • 54 : 6 = 9; 6 + 3 = 9; 9 · 9 = 81.

Решение задач разными способами, обучение решению задач разными способами обладает огромным развивающим и воспиты­вающим потенциалом и потому заслуживает должного внимания со стороны учителя.

5.4. виды работы с задачами в обучении математике

5.4.1. зависимость деятельности учащихся с задачей от цели и планируемых результатов ее включения в учебный процесс

Эффективное использование задач возможно лишь в случае, ког­да учитель, во-первых, может определить конкретную цель и плани­руемые результаты работы с каждой задачей на уроке или вне урока (домашняя работа, внеурочная) и, во-вторых, умеет выбрать под­ходящий вид работы с задачей, организовать деятельность учащих­ся на уроке в соответствии с поставленной целью. Заметим, цель включения задачи в урок учитель обязан донести до учащихся

259

и обеспечить принятие учащимися. Учащиеся имеют право знать, почему и зачем предлагается та или иная задача, тот или иной вид работы, нужно, чтобы они могли участвовать в выборе задач и ви­дов работы с ними.

Определение цели использования задачи в обучении может осу­ществляться двумя взаимосвязанными путями: 1) от общей цели урока или изучения темы и вопроса к выбору задачи и цели работы с ней; 2) от конкретной задачи к целям, для достижения которых эту задачу можно включить в учебный процесс. Не может быть едино­го рецепта использования задачи в обучении. Что делать с задачей на уроке, в домашней работе, во внеурочной работе должно опре­деляться целями и планируемыми результатами включения задачи в урок, особенностями учащихся и задачи.

Выбор цели, планируемых результатов включения задачи в урок или другую форму обучения и виды работы с задачей, организуемой с учащимися, может осуществляться двумя взаимосвязанными спо­собами: 1) от логико-педагогического анализа конкретной задачи к возможным целям; 2) от общей цели к выбору задачи и конкрет­ной цели работы с ней на уроке. Основой способов является логи­ко-педагогический анализ задачи, состоящий в выяснении: • какие математические понятия, отношения, связи, числовые данные содер­жатся в задаче; • какие приемы восприятия и осмысления (анализа содержания) задачи возможны в процессе ее решения, в частности, • какие виды моделей применимы; • какие возможны приемы поис­ка плана решения, виды записи решения; • какие методы и способы решения, виды проверки, работы с решенной задачей допускает.

Задача.»В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. Сколько метров ткани осталось?»

Результаты анализа. В тексте есть понятие величина, длина, еди­ница длины (метр), значение длины (15 м, 5 м, 4 м). Ситуация задачи имеет структуру, определяемую словами было, продали, осталось, или отношением целое и части», где неизвестно числовое значение цело­го. Целое составлено из трех частей (проданная ткань 5 м, 4 м и остав­шаяся ткань). Отношение целого (Ц) и частей (Ч) может быть выражено равенствами: Ц = Ч₁ + Ч₂ + Ч_ост; Ч_ост = Ц - (Ч₁ + Ч₂) = Ц - Ч₁ - Ч₂.

Задача допускает геометрическое, практическое (на модели — от­резке и на полоске бумаги 15 см), арифметическое и алгебраическое решения. Модели: рисунок (условно-предметная модель), чертеж (геометрическая модель), представление «на дугах», краткая запись. Поиск плана решения задачи может быть проведен как от вопроса к данным, так и от данных к вопросу, как по данному тексту, так и по переформулированному, а также по модели. Возможны, как минимум, четыре арифметических способа решения: 1) 15 - (5 + 4); 2) 15 - 5 - 4; 3) 15 - 4 - 5; 4) 15-5-5 + 1. Запись решения в виде выражения позволяет открыть или применить правило вычитания

260

суммы из числа, оценить способ нахождения значения выражения с позиций рациональности. Вычисления при решении задачи — та­бличные. Уравнение 5 + 4 + х = 15. Проверить каждое решение можно путем прогнозирования и оценки, соотнесения полученного резуль­тата с условием и обоснования хода решения; решения задачи дру­гим способом или методом, определения смысла каждого действия и проверки вычислений. К данной задаче можно легко составить обратные задачи.

Задача допускает ее включение в образовательный процесс: • для закрепления умения измерять длину; строить отрезки заданной дли­ны, сумму и разность отрезков; • обучения представлению содер­жания задач в виде краткой записи, таблицы, чертежа, «на дугах»;

• обучения умениям использовать краткую запись для поиска плана решения задачи; находить разные арифметические способы решения по чертежу; решать задачи практически; находить другие арифмети­ческие способы решения задачи с помощью представления жизнен­ной ситуации, на основе свойств отношений целого и части; прово­дить разбор задачи от вопроса к данным (от данных к вопросу); за­писывать решение задачи в виде выражения, составлять выражение по задаче; • ознакомления с правилом вычитания суммы из числа;

• обучения умению применять правило вычитания суммы из числа при решении задач, проверять решение задачи, обучения самокон­тролю и т.д. Для достижения разных целей содержание и характер деятельности учащихся с задачей должен быть разный.