Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

няться математическое ожидание и стандартное отклонение, но форма распределения сохраняется).

Закон сохранения формы распределения6 гласит, что форма распределения для соответствующих данных сохраняется (остается неизменной). Во времени и пространстве, могут меняться только параметры распределения и то не всегда. Например, β- коэффициенты изменчивости преступности по субъектам Российской Федерации и любым другим территориям распределяются по закону Гаусса-Лапласа, и их математическое ожидание равное единице всегда сохраняется, поскольку средний β-коэффициент изменчивости преступности не может отличаться от единицы, ибо тангенс угла наклона в линейном уравнении регрессии здесь получается при переменных икс и игрек равных друг другу (у(х)=х)). В данном случае со временем меняется только стандартное отклонение, и применительно к этому конкретному типу случаев можно говорить

о законе сохранения математического ожидания β-

коэффициентов преступности7.

С учетом того, что стандартное отклонение может меняться меняются и размеры площади под кривой графика, составляя в итоге ту же общую сумму, равную единице или 100%. Получается целое, сложенное из частей. При этом изменение стандартного отклонения меняет только величины частей, но, естественно не итоговое значение, которое всегда является константой. С ростом стандартного отклонения растет число частей, а с уменьшением стандартного отклонения – число частей уменьшается.

Чтобы сделать нормальное распределение полезным для оценки статистических выводов его нормируют:

1) Математическое ожидание принимают равным нулю: µ=0.

6Возможно, честь открытия данного простого закона принадлежит мне, поскольку в литературе он мне никогда не попадался.

7Честь открытия данного простого закона точно принадлежит мне.

1095

2)От ненормированной переменной Х осуществляется переход к нормированной переменной Z. Каждое конкретное значение величины Z находится по формуле:

бируется в единицах стандартного отклонения – значения переменной Х центрируются, и делятся на стандартное отклонение.

3)Математическое ожидание нормированной переменной равно нулю (µ=0), а стандартное отклонение равно единице (σ=1).

Свойства нормированной кривой нормального распределения:

1)любые нормально распределенные данные можно представить одинаковыми нормированными кривыми нормального распределения. Другими словами, любые нормально распределенные эмпирические данные представляются одной и той же нормированной кривой нормального распределения, независимо от величин их математического ожидания и стандартного отклонения.

2)Размеры кусочков (частей) площади под графиком нормированной кривой нормального распределения пропорциональны плотности их вероятности. То есть по размеру (величине) площади

(s)устанавливается величина вероятности (p) (s=p), а размер любой площади под графиком нормированной кривой нормального распределения мы находим с помощью определенного интеграла:

Поскольку значения интеграла для тех или иных площадей постоянны, то их рассчитывают и представляют в специальной статистической таблице, которая часто приводится в соответствующей учебной и научной литературе под названиями: 1) площадь под

1096

нормированной кривой нормального распределения; 2) стандартизованное нормальное распределение. Хотя желающие и сами могут рассчитать значение площадей, а, следовательно, и вероятностей по формуле. Например, мы хотим знать, сколько субъектов Российской Федерации имело коэффициент преступности в 2005 году в пределах от 1000 до 2000 преступлений. Нам известно, что среднее число зарегистрированных преступлений составило 2404 штуки, а среднее квадратическое отклонение равно 708 преступлений. Зная, что распределение преступности по территории нашего государства подчиняется закону Гаусса-Лапласа, определим, сколько регионов России имело в 2005 году уровень преступности в пределах от 1000 до 2000 преступлений на 100 тысяч народонаселения.

Для решения данной задачи проведем нормирование, сначала найдем значение z1.

нения). Минус перед числом ответа указывает, что оно находится слева от нуля под кривой нормированного нормального распределения. По таблице найдем площадь, соответствующую значению 1,27, обозначив её любой удобной буквой, скажем, s. В итоге получим s=0,398. Далее рассчитаем значение z2 .

ния).

По таблице найдем площадь, соответствующую значению 0,13. В итоге получим s=0,0517.

Сложим полученные значения площадей:

s1+s2=0,398+0,0517=0,4497.

1097

Учитывая, что площадь равна вероятности, имеем ответ, что 0,4497 или 44,97% регионов имеют уровень преступности в пределах от 1500 до 2500 преступлений. Учитывая, что в расчетах было задействовано 78 субъектов, получим: 78·0,4497=35 субъектов. Если провести расчет вручную, то ответ не сходится (немного отличается от полученного по теоретическим данным). В этом нет ничего удивительного. Мы лишь грубо приблизительно говорим, что распределение преступности непрерывно, но наблюдений у нас очень мало. Реально распределение дискретно. Можно было бы взять коэффициенты преступности по всем населенным пунктам России, и тогда бы дискретное распределение в большей мере приблизилось к непрерывному.

ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ДЕТЕРМИНАНТОВ

Понятие матрица, детерминант, ранг матрицы имеют значение для решения различных задач, в частности, систем линейных уравнений, определения идентифицируемости систем одновременных уравнений. Числа в матрице – массив, а конкретные значения - элементы массива или коэффициенты. Строки обычно обозначают буквой m, а столбцы буквой n.

Пусть имеется система уравнений:

5 x − 7 у = 7

8 x + 2 y = 12 .

Матрицы невозможно выразить в виде одного числа, однако их можно упростить или скомбинировать, чтобы отыскать неизвестные элементы.

Операции над матрицами:

1) Сложение.

1098

2)Вычитание.

3)Умножение.

Единичная матрица (I) - это матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все другие составляющие матрицу элементы равны нулю.

Детерминант матрицы выражается одним числом. Способ вычисления детерминанта зависит от размера матрицы.

Найти детерминант матрицы 3 х 3 сложней, ибо здесь вводится понятие минор элемента матрицы – это значение детерминанта матрицы 2х2, полученное при вычеркивании строки и столбца матрицы 3х3, включающих этот элемент. Например, если нам нужно найти минор элемента «9», содержащегося в мас-

нант этой матрицы: (3·12)-(6·5)=6. Поскольку число 9 находится в центре матрицы, его знак положителен, и значение минора составит 6. Это и будет алгебраическим дополнением элемента 9.

1099

Каждый минор имеет свой знак, и взятый вместе со знаком образует так называемое алгебраическое дополнение элемента. Знак

Для отыскания детерминанта матрицы 3х3 не нужно искать алгебраические дополнения всех элементов. Достаточно ограничиться одной строкой (любой) или одним столбцом (любым), поскольку детерминант матрицы 3х3 – это сумма произведений элементов на их алгебраические дополнения для любой строки или любого столбца соответствующей матрицы 3х3.

cad есть специальный оператор, позволяющий быстро вычислить определитель (детерминант) любой матрицы. Достаточно на панели «Матрицы» выбрать определитель, обозначенный |X| и прицепить его к введенной матрице любого размера. Для нашей матрицы име-

ем: . То есть мы ввели матрицу, затем прицепили к ней определитель, и нажали клавишу «равно» (=), получив сразу ответ. С такой же легкостью здесь можно совершать любые операции с матрицами: умножать их, складывать, вычитать, транспонировать (то есть менять местами столбцы и строки), что весьма полезно для решения систем уравнений, а также отыскивать ранг матрицы, что необходимо при определении идентификации систем одновременных уравнений.

1100

Ранг матрицы (rank of matrix) – это наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Вручную вычислять ранг матрицы довольно трудоемко. В ППП Mathcad это делается просто:

Изокванта – функция одного ресурса от другого при постоянном выпуске.

Изоклиналь – функция одного ресурса от другого при постоянной норме замещения.

Изокоста – функция одного ресурса от остальных при постоянном уровне затрат.

1101