Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

При построении таблиц такого рода мы пользуемся методом «протягивания», чтобы не заполнять значения ячеек вручную.

Из графиков наглядно видно, что большее СКО приводит к растягиванию кривой нормального распределения вокруг центра (среднего), а это значит, что левый и правый хвосты распределения удаляются на большее расстояние друг от друга. Прогноз становится менее надежным, ибо значение преступности может «улететь» далеко вправо или влево от центра. Напротив, при низких значениях СКО кривая нормального распределения стянута к центру, прогноз более надежен. Тоже самое касается, например, вложения денежных средств. Поведение фирмы, которая имеет по выплатам низкое СКО, более предсказуемо и надежно, чем поведение фирмы, имеющей высокое СКО по выплатам дивидендов. В данном случае на графике вместо преступности будет располагаться шкала выплат в рублях, долларах и т.п., а также возможны отрицательные значения выплат (потери, убытки клиентов).

Взвешенная дисперсия и СКО вычисляются обычным способом:

СКО = σ2 .

Глава 4. Государственное управление юридическими процессами в условиях неопределенности.

Для принятия управленческих решений в условиях высокой степени неопределенности возможны различные тривиальные методы анализа, например, методы макси-мина и макси-макса, альфа-критерий решения Гурвица, критерий потерь от мини-макса и другие.

124

1) Критерий решения Вальда (макси-мин) или подход пессимиста. 2) Критерий макси-макс или подход оптимиста.

Возьмем конкретную матрицу решений и выберем оптимальную стратегию сначала по методу макси-мина, а потом по методу макси-макса.

По критерию макси-мина: 1) выбираем в каждой строке минимум, и ставим его в итоговый столбец; 2) в итоговом столбце выбираем минимальное значение. Стратегия соответствующая этому значению и будет оптимальной. Для нашего примера это стратегия №4 (S4=-80).

По критерию макси-макса имеет место обратный алгоритм: 1) выбираем в каждой строке максимум, и ставим его в итоговый столбец; 2) в итоговом столбце выбираем наибольшее значение. Стратегия соответствующая этому значению принимается за оптимальную. Для нашего примера это стратегия №4 (S4=-10).

3) Альфа-критерий решения Гурвица.

Здесь для поиска оптимальной стратегии вычисляется индекс решения d =α × Mi + (1-α) × mi , где d – индекс решения, α – коэффициент оптимизма применяемый к максимальным отдачам (М), (1-α) – коэффициент пессимизма, применяемый к минимальным отдачам (m).

Коэффициент оптимизма выбирается субъективно (интуитивно) по усмотрению ЛПР. Например, для нашего примера примем его равным 0,4 (α=0,4). Откуда коэффициент пессимизма 1- α=0,6.

Решаем:

125

обеспечивает минимальный ущерб.

Критерий решения Сэйвиджа (критерий потерь от минимакса). В данном случае составляется матрица потерь. Каждая ячейка которой получается путем вычитания максимального значения по столбцу (не по строке) из каждого значения этого столбца, включая само максимальное значение (в этой ячейке получается нуль, когда максимум по столбцу вычитается из самого себя).

Максимальное число в первом столбце = -10. Вычитаем его из каждой ячейки столбца: (-30) – (-10)=-20 и т.д., и заносим на свое место в матрицу потерь. Во втором столбце максимум = -30, вычитаем это значение из всех ячеек столбца, а полученные значения заносим в матрицу потерь.

Следующий шаг – выбор максимумов по строкам.

Итоговый шаг – выбор максимума по столбцу потерь. В данном случае оптимальными будут стратегии №2 или №4, поскольку они минимизируют потери общества от преступности.

Глава 5. Математическая модель оптимального криминологического процесса.

«Поскольку борьба с преступностью стоит дорого, оптимальный уровень преступности является желательным. Иными словами, какой-то уровень преступности представляется

126

допустимым. Но какой уровень преступности можно принять? Общественные издержки преступности можно разделить на издержки жертвы (victim cost) и стоимость борьбы с преступностью (prevention cost)»21. Следуя данному утверждению, Артур О׳Салливан строит три функции: 1) функция издержек жертвы; 2) функция затрат на борьбу с преступностью; 3) функция совокупных издержек. Последняя функция получается как сумма первой и второй функций, а оптимальный уровень преступности соответствует минимуму функции совокупных издержек, который в свою очередь лежит над точкой пересечения первой и второй функций. Очевидно, что издержки жертв – это доходы преступников, поэтому рассуждения Салливана стоит уточнить, приняв в качестве первой функции функцию дохода преступников. Функцию дохода преступников и функцию затрат на борьбу с преступностью легко получить по соответствующим эмпирическим данным, а, следовательно, получить и функцию совокупных издержек. Вычислив её минимум на соответствующей территории в данное время, можно высказать определенные суждения насчет оптимального уровня преступности в каждом конкретном регионе.

Решим практическую задачу. Пусть в энском регионе получены следующие эмпирические данные об издержках жертв преступлений, государственных и муниципальных затратах на борьбу с преступностью в регионе. Эти данные представлены в приведенной ниже таблице.

21 О׳Салливан А. Экономика города. – 4-е изд.: пер с англ. – М.: ИНФРА-М, 2002. С.

648.

127

Построим по этим данным график.

На оси абсцисс расположено число преступлений, а на оси ординат соответственно издержки жертв и расходы на борьбу с преступностью. Видно, что максимальные издержки жертвы несут в том случае, если государственные и муниципальные расходы на борьбу с преступностью равны нулю. В этом случае имеем координаты (9; 2500) для функции V. То есть совершается 9 преступлений и жертвы «платят» 2500 условных рублей. При наращивании государственных и муниципальных расходов на борьбу с преступностью издержки жертв снижаются, а уровень преступности падает, но падает все медленнее. Компромисс находится на пересечении кривых C и V, что обеспечит минимальные совокупные издержки G=1290. Следовательно, оптимальный уровень преступности в регионе составляет 5 преступлений.

РЕЗЮМЕ (основные определения и формулы)

Аудит (audit) – это проверка объекта с целью оценки его реальных и заявленных показателей посредством проведения

128

специального исследования – сбора, фиксации, обработки и оценки информации об исследуемом объекте.

Безусловная оптимизация (unconstrained optimization)– метод принятия оптимального решения на основе отыскания и исследования экстремумов функций. Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума или максимума функции в отсутствие каких-либо ограничений. Несмотря на то, что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно с нескольких точек зрения. Многие алгоритмы решения задачи с ограничениями предполагают сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации. Другой класс методов основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления. Обоснование методов безусловной оптимизации может быть естественным образом распространено на обоснование процедур решения задач с ограничениями.

Верхняя контрольная граница (upper specification limits - USL) (ВКГ) – наибольшее допустимое значение исследуемого процесса.

Дисциплина обслуживания (servicing order) – это правила, по которым функционирует система массового обслуживания (СМО).

Доверительный интервал (confidence interval) (CI) содержащий полную разность генеральной совокупности:

статистики Стьюдента с числом степеней свободы n-1 при соответствующем уровне доверительной вероятности α, SD – среднее квадратическое отклонение разностей.

Допускаемые пределы (specification limits) – характеристики процесса, устанавливаемые руководством в зависимости от того, насколько эффективно оно имеет возможность и желание удовлетворять потребности общества.

Допустимое решение, допустимый план (feasible plan) – решение, удовлетворяющее всем ограничениям модели, включая условия не отрицательности, но необязательно оптимальное.

129

Исходящий поток (исходящий процесс) – поток «удовлетворенных» требований, вытекающий из системы массового обслуживания.

Канал обслуживания – составная часть системы массового обслуживания, включающая в себя обслуживающие единицы, принимающие, обрабатывающие, удовлетворяющие входящие требования, разрешающие запросы обратившихся.

Карты контроля качества: контрольные карты для размаха (R-карты (R-chart)) и для среднего значения ( Х − карты ( Х −chart )); карты контроля для процента брака (процентные контрольные карты).

Контролируемый процесс (in-control process) или процесс, поддающийся статистическому контролю (state of statistical control), состоит только из случайных колебаний.

Линейное программирование (ЛП) (Linear programming)

(LP) – метод оптимизации основанный на симплекс методе. Каждая модель ЛП имеет ограничения и целевую функцию (ЦФ), которую необходимо максимизировать, минимизировать или достичь её конкретного значения. При этом ЦФ и функции ограничений являются линейными.

Метод оценки разности (difference estimation) применяется, когда проверяющий (контролер) полагает, что в исследуемой генеральной совокупности имеются ошибки, величину которых нужно оценить с использованием выборочных данных.

Мощность процесса (process capability) – показатель степени удовлетворения качеством процесса.

Неконтролируемый процесс (out-of-control process) содержит как случайные, так и неслучайные колебания. Поскольку неслучайные колебания являются экзогенными (внешними) относительного данного процесса, он становится плохо предсказуемым.

Нелинейное программирование (nonlinear programming) –

это раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой

130

функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями.

Неслучайные колебания, изменения, вариации (special or assignable causes of variation) – крупные скачки (выход за контрольные границы), закономерности в динамике, например, наличие устойчивого тренда и т.п. Такие изменения зачастую объясняются изменениями самой системы, их следует либо устранить, либо использовать соответствующим образом.

Нижняя контрольная граница (lower specification limits - LSL) (НКГ) – наименьшее допустимое значение исследуемого процесса.

Нормированный градиент (в литературе его также называют «нормированная стоимость») каждой конкретной переменной модели – это величина, на которую можно изменить коэффициент при данной переменной в целевой функции, чтобы оптимальное значение этой переменной стало положительным (в линейном программировании).

Оптимизация (optimization) – это принятие наилучшего управленческого решения лицом, принимающим решения, из числа возможных решений, в частности о достижении максимума, минимума или какого-то заданного значения функции прибыли, полезности, издержек или других подобных функций, при существующих ограничениях и граничных условиях. Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области.

Показатель мощности (capability index) - Cp, вычисляется по

Поток обращений (входящий поток, входящий процесс) в

систему массового обслуживания – это различные запросы,

131

требования, заявления, сообщения, иски, то есть случайное количество обращений к каналам массового обслуживания.

Процентная карта (percentage chart) – демонстрирует процент брака, центральную линию и контрольные границы.

Седловая точка (saddle point) – это точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал – выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом.

Серия – это непрерывная последовательность близких характеристик. Покажем определение серий на примере: 5554466622 или ССАААССС. В первом случае имеем 4 серии, во втором – три.

Симплексный метод (simplex method) – метод последовательного перебора вершин (широко используется в решении задач линейного программирования). Вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений — перехода от одной базисной точки к другой, для которой значение целевой функции больше (эти операции фиксируются в симплексной таблице). Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов (за исключением т. н. вырожденной задачи, при которой возможно явление «зацикливания», т. е. многократного возврата к одному и тому же положению). Название метод получил от термина «n-мерный симплекс». Геометрическая интерпретация метода состоит в последовательном движении по вершинам симплекса.

Случайная вариация (случайные колебания, флуктуации, пертурбации, возмущения, белый шум) (chances of common causes of variation) – флуктуации свойственные самому процессу, внутренне присущие ему. Служит следствием ряда многих малозначительных факторов.

Среднее квадратическое отклонение разностей:

132

выборочная разность, Di – конкретная разность между фактическим и номинальным значением, n – объем выборки.

Статистический контроль качества (statistical quality control) – использование специальных статистических методов для контроля параметров и улучшения каких-либо процессов.

Стационарная точка (кривая) (stationary point) (критическая точка, особая точка, точка покоя) – точка, в которой производная (для функции от двух и более аргументов – частные производные) данной функции равна нулю. Все максимальные и минимальные величины возникают, когда производная обращается в нуль, поскольку именно в этой точке происходит «перелом первообразной функции». Неслучайно наличие стационарной точки называют условием первого порядка (для нахождения максимумов и минимумов). Условие второго порядка – когда в точке x производная равна нулю, а вторая производная отрицательна, то данный x определяет максимум функции у=f(x), и, наоборот, если вторая производная здесь положительна, то имеет место минимум.

«Стоимость, взвешенная по вероятности»

(«предполагаемая стоимость») вычисляется по формуле:

N

Е(Х ) = åpi xi , где хi – стоимость i-ой отдачи; pi – вероятность

i=1

этой отдачи.

Теневая цена (shadow price) (двойственная задача линейного программирования) – это величина чувствительности результата (целевой функции) к изменению ограничений.

Теория массового обслуживания (теория очередей) (queueing theory) – раздел теории вероятностей, изучающий оптимизацию систем массового обслуживания в свете анализа

133