Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

столбики разной высоты), e=2,71…; π=3,14…; m – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение. Для системы из двух переменных формула примет более сложный вид. Распределение системы двух случайных величин X и Y на плоскости x0y будет описываться формулой:

вместо двух имеется пять параметров: mx – математическое ожидание величины х, my – математическое ожидание величины y, σx – среднее квадратическое отклонение величины х, σy – среднее квадратическое отклонение величины y, r – коэффициент корреляции между величинами x и y. Нужно отметить, если случайные точки (х, y) на плоскости подчиняются нормальному закону, и при этом главные оси рассеивания параллельны координатным осям, а величины X и Y не коррелированны (независимы), то исходная формула заметно упрощается:

относительно простая формула не подходит для нашего случая, ибо деяния и оценки этих деяний всегда положительно коррелированны.

Положим, и деяния, и оценки этих деяний подчиняются нормальному закону распределения. Стоит еще раз отметить, что распределение деяний (переменная X) и распределение оценок этих деяний (переменная Y) – это разные распределения. То есть каждое

203

из них можно представить на плоскости, используя формулу:

– математическим ожиданием и стандартным отклонением. Тогда возникает вопрос, а нужно ли в нашем случае распределение для двух переменных одновременно? Ответим на данный вопрос положительно. Нужно хотя бы для того, чтобы определить степень смещения поверхности в системе координат «деяния-оценки», и самое главное для того, чтобы оценить вероятность попадания деяний и оценок случайной точки (х, y) в прямоугольник G, стороны которого параллельны координатным осям x0y (то есть главным осям рассеивания), которая рассчитывается по формуле:

[a; b] и [c; v] – стороны прямоугольника. Более удобная формула для подобных расчетов:

где Ф*(x) нормальная функция распределения (табличная).

Если бы деяния и оценки всегда совпадали, то есть оценки деяний ложились строго на линию справедливости, то коэффициент корреляции между переменными был бы равен единице – полное согласование. Нами была бы получена симметричная поверхность с вершиной в области определения равной нулю, которую мы строили бы по формуле:

204

С учетом того обстоятельства, что на пересечении координатных осей находится нейтральное поведение, за которое нельзя ни поощрить, ни наказать деятеля (субъекта правовых отношений), то для многомерных оценочных пространств всегда mх=0 и my=0, если принять стандартные отклонения по переменным

хи у равные 3, а коэффициент корреляции между ними равным 1:

mx=0; my=0; σх=3; σy=3; r=1, то получим нижеследующее вполне реалистичное распределение плотности вероятности переменных

хи у:

Поскольку не все оценки ложатся на линию абсолютной справедливости, постольку в формулу вводится соответствующий коэффициент корреляции. Например, для ранее решенной задачи об оценках деяний в системе судей таковым коэффициентом будет среднее средних нормированной корреляционной функции 0,92, и формула примет вид:

Задача №1.

Дано: распределение деяний с параметрами распределения: mx=0; σх=3.

Требуется: построить график функции плотности вероятности данного распределения.

205

Решение:

1). Поскольку имеем дело с одной переменной, постольку

1 − ( x−m)2

используем формулу: f (x) = σ 2π e 2σ 2 .

2). В формулу вместо x нужно вводить конкретные значения, например, от -10 до 10.

3). Чтобы не производить вычисления вручную воспользуемся

ПППExcel. Здесь нужно сделать следующее:

-ввести на рабочий лист исходные данные (значения переменной X);

-встать курсором на пустую ячейку (удобнее рядом с первым значением переменной X), и щелкнуть ЛКМ на значке f(x), вызывая, таким образом, «Мастер функций;

-в «Мастере функций» выбираем категорию «статистические», и в «статистических» выбираем функцию «НОРМРАСП», щелкнув на ней ЛКМ и нажав клавишу ОК;

-появится диалоговое окно «Аргументы функции». Здесь в поле X, вводим значения переменной X простым выделением курсором на рабочем листе, в поле для «среднего» введем значение 0 (нуль), а в поле для стандартного отклонения значение 3; в поле «интегральная» поставим значение нуль (в данном случае ноль не показатель математического ожидания из нашего примера, а типовая операция – в это поле всегда вводится либо ноль, либо единица. Когда вводится ноль, тогда выполняется операция

отыскания плотности вероятности, то есть выполняется

206

дифференциальная функция. Когда вводится единица, отыскивается первообразная или интегральная функция);

- в ячейке появляется первое значение функции. Чтобы получить остальные, нужно встать курсором на правый нижний край ячейки, содержащей первое значение функции, и удерживая ЛКМ протащить появившийся крестик на всю длину столбца переменной X.

4). Получаем таблицу данных необходимую для построения графика:

5). В командной строке выбираем «Вставка», и во «Вставке» берем «Точечная». В «Точечных» берем подходящую модель и щелкаем на ней ЛКМ. Обрабатываем полученный график (заполняем название, наименования осей и т.п.).

207

Стоит заметить, что полученное нами распределение близко к так называемому стандартизованному (стандартному) нормальному распределению, широко применяемую для решения ряда статистико-вероятностных задач (для обозначения случайной величины, имеющей такое распределение обычно используют букву Z) . Единственное отличие между приведенным и стандартизованным нормальным распределение – это разные стандартные отклонения (математические ожидания здесь одинаковы). В стандартизованном нормальном распределении σх=1, и оно поучается более стянутым к центру. Площадь же подграфика любой кривой нормального распределения равна единице (100%). Стандартизованное распределение как раз и используется для отыскания различных площадей под графиком кривой нормального распределения, то есть для отыскания вероятностей наступления определенных событий. Процедура здесь проста: 1) любое распределение с помощью специальной вычислительной процедуры приводят к нормальному; 2) по специальной таблице находят значение площади подграфика.

208

Покажем это на примере нашего распределения с параметрами: mx=0; σх=3. Пусть нас интересует вопрос, какова вероятность, что оцениваемое деяние окажется меньше пяти. Для этого от величины X нужно перейти к величине Z по формуле:

5 исходного распределения соответствует величине 1,67 стандартного распределения или 1, 67 стандартным отклонениям выше среднего значения (знак плюс перед числом 1,67).

В специальной статистической таблице вероятностей для стандартного нормального распределения находим z=1,67 и соответствующее ему значение вероятности:

Р(1,67)=0,9525. Таким образом, вероятность того, что искомая величина окажется меньше пяти составляет 0,9525 или 95,25%.

Для построения более сложных моделей нормального распределения случайных величин, удобно пользоваться продвинутыми статистическими пакетами типа Statistica. Например, чтобы построить поверхность для системы из двух случайных величин, скажем деяний и оценок, здесь можно выбрать в командной строке «Graphs», далее «3D XYZ Graphs», далее «Custom Function Plots» и в появившемся диалоговом окне набрать формулу нужной функции. Учитывая, что функция закона нормального распределения трудна в наборе, её можно выбрать из заготовок. Для этого достаточно после Z(x,y)= набрать N и всплывет окно функций, из которых нужно выбрать функцию

209

Normal(x; mu; sigma). Для нашего примера эта функция будет выглядеть так:

Z(x,y)= Normal(x;0;3)*Normal(y;0;3)

После чего достаточно нажать клавишу ОК, и появится соответствующий трехмерный график. Далее останется только отредактировать этот график.

Н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е д в у х в е л и ч и н

0 ,0 1 6

0 ,0 1 4

0 ,0 1 2

0 ,0 1

0 ,0 0 8

0 ,0 0 6

0 ,0 0 4 0 ,0 0 2

Свойства закона нормального распределения

1.Математическое ожидание, мода и медиана совпадают (равны одному и тому же числу).

2.Отклонения от математического ожидания расположены симметрично относительно него.

210

3. Правило трех сигм: если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ2, то практически достоверно, что её значения заключены в интервале (m – 3σ, m+3σ). Отсюда следует важный практический вывод, что отклонение нормально распределенной величины Х свыше трех сигм имеет вероятность, равную 0,0027 (0,27%), то есть ничтожно малую вероятность. При этом основная масса событий (68,27%) будет сгруппирована в пределах первых двух сигм, примыкающих к математическому ожиданию слева (34,13%) и справа (34,13%), далее в пределах вторых сигм по 13,59% (в сумме 27,18%) и в пределах третьих по 2,14% (4,28%).

4.Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

5.Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии плюс-минус одно стандартное отклонение.

§4. Сверхточная модель дисциплинарной юридической ответственности

Математическая модель юридической ответственности является достаточно абстрактной по той простой причине, что нами не проводится точное шкалирование осей. В частности, как деяния, так и их оценки мы можем измерять в каких-либо мифических единицах, например, баллах. Здесь я покажу, как с легкостью от абстрактной математической модели юридической ответственности можно перейти к конкретной, сверхточной модели юридической ответственности, вполне применимой на практике.

В качестве примера построим строгую сверхточную модель дисциплинарной юридической ответственности для конкретного предприятия17. Пусть директор завода «К», производящего продукцию s, руководствуясь законодательством о труде и экономическими соображениями, решил стимулировать (использовать «кнут и пряник») увеличение выпуска продукции за счет незначительного повышения времени трудовой деятельности

17 Данная математическая модель разработана мной в апреле 2006 года.

211

работников предприятия, поскольку очевидна положительная функциональная связь между временем, затраченным работниками на выполнение своих профессиональных обязанностей, и количеством выпускаемой ими продукции: q=f(t), где q – количество выпускаемой продукции. Пусть для нашего примера определенная функция выпуска продукции от времени в среднем на одного работника составляет в первые утренние часы: q=2t, где t – время в минутах, q – количество деталей в штуках. Следовательно, за каждую минуту работник производит 2 детали вида s, а все работники 2t∙25, поскольку на изучаемом нами предприятии трудится 25 работников примерно равной квалификации. Если бы все работники прибывали на рабочее место на 10 минут раньше времени ноль (допустим, это 8 часов утра), принятого за начало отсчета, например, к 7 часам 50 минутам, а не к 8 часам, то они смогли бы дополнительно изготовить 500 деталей (q=2∙10∙25=500).

Локальным нормативным актом (приказом по предприятию) директор ввел порядок поощрения и наказания тружеников рублем в зависимости от времени прибытия на рабочее место и, соответственно, начала работы.

Он установил временной диапазон плюс-минус десять минут от начала рабочего дня с оценкой каждой минуты в 10 рублей по эталонной функции справедливости: у(t)=10t, где у – дополнительная оплата в рублях (со знаком минус – вычет премиальных). Очевидно, что оси абсцисс и ординат в таком случае легко шкалировать с помощью вещественных чисел, и они будут обладать очень высокой точностью. Можно учитывать десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и так далее доли секунды (точность измерения будет зависеть только от качества используемых часов и императивно установленного округления). То же самое касается и оценки времени в рублях, поскольку можно сколь угодно глубоко детализировать рубли копейками, а копейки их долями. Например, если работник опоздал на полминуты, то из его зарплаты будет удержано 5 рублей, а если пришел раньше на 30 секунд, то получает дополнительно 3 рубля. Прибыл на работу на

212