Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Первое: меняем местами левую и правую части уравнения, чтобы искомое оказалось в левой части

k × t =

S

p

Второе: умножим обе части уравнения на p, чтобы избавиться от

Первое: меняем местами левую и правую части уравнения, чтобы искомое оказалось в левой части

1 × k × t 2 = d

2

Второе: чтобы избавиться от дроби в левой части уравнения, умножим левую и правую части выражения на два

1065

2 × 1 × k × t 2 = 2 × d

2

откуда имеем: k × t 2 = 2 d

чтобы избавиться от k в левой части уравнения, разделим обе части на k:

как следствие получим:

t 2 = 2 d k

чтобы избавиться от квадрата в левой части уравнения, извлечем квадратный корень из левой и правой части уравнения:

Для обычных уравнений порядок вычислений тот же.

Пример. Дано: y 0 , 5 = 6 . Требуется найти y.

Очевидно, что уравнение можно записать: y = 6 .

Поскольку выражение в левой части уравнения стоит под знаком радикала, чтобы избавиться от него возведем обе части уравнения в

квадрат: ( y )2 = 6 2 , и получим ответ: y = 36 .

1066

Краткий справочник по теории вероятностей и математической статистике

Генеральная совокупность (population) – полная совокупность,

множество, включающее 100% однородных объектов, например, преступность, как совокупность всех преступлений (100% всех совершенных преступлений за определенное время в определенном месте).

Выборка (sample) из генеральной совокупности – часть (доля) генеральной совокупности отобранная случайным образом в интересах проведения статистического исследования определенных характеристик генеральной совокупности, поскольку изучение всей генеральной совокупности далеко не всегда возможно или целесообразно. Например, генеральная совокупность «преступность» состоит из двух частей – зарегистрированных и латентных преступлений. Число латентных преступлений всегда случайно, так как невозможно точно измерить число латентных преступлений.

Выборочный метод – группа методов математической статистики, позволяющих получать репрезентативные выборки, обследовать их и делать статистические выводы о характеристиках соответствующих генеральных совокупностей. Извлекая долю (часть) из ка- кой-то общей совокупности (целого), мы делаем по этой доле выводы о целом, например, оцениваем среднее или дисперсию генеральной совокупности. То есть изученные свойства данной выборки распространяются на целое. Так, изучая зарегистрированные на данной территории за данное время преступления, можно считать их репрезентативной выборкой из генеральной совокупности называемой «преступностью». За целое можно принять и число зареги-

1067

стрированных преступлений или структурных составляющих преступности и делать выборку из этих совокупностей.

«Причин использования выборочного метода несколько: 1) как это ни парадоксально, это повышение точности данных: уменьшение числа единиц наблюдения в выборке резко снижает ошибки регистрации. Правда, за счет неполноты охвата единиц возникает ошибка репрезентативности. Но даже взятые вместе ошибка наблюдения для выборки плюс ошибка репрезентативности обеспечивают большую точность выборочных данных по сравнению с массовым наблюдением; 2) экономия материальных, трудовых, финансовых ресурсов и времени; 3) без выборки не обойтись, когда наблюдение связано с порчей наблюдаемых объектов (это относится, прежде всего, к изучению качества продукции)»1.

Теория выборочного метода основывается на двух разделах математической статистики: 1) выборе из конечной совокупности; 2) выборе из бесконечной совокупности. Выбор первого рода применяется к дискретным объектам. Например, числу допущенных уго- ловно-процессуальных правонарушений. Это число «неизвестная постоянная», которую и требуется оценить (измерить) с помощью выборочного исследования. Выбор второго рода направлен на изучение объектов непрерывной природы.

Репрезентативная выборка – выборка, позволяющая с высокой степенью точности, оценивать параметры генеральной совокупности по параметрам выборки. Для этого важно, чтобы каждый объект, изымаемый из генеральной совокупности и включаемый в выборку, был отобран случайным образом, имел равную вероятность попадания в выборку.

Способы отбора объектов наблюдения из генеральной совокупности в выборку: 1) повторный отбор (изъятый из генеральной

1 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – 5- е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. С. 214-215.

1068

совокупности объект обратно возвращается в генеральную совокупность и теоретически может снова - второй, третий… раз попасть в выборку); 2) бесповторный отбор - изъятые объекты обратно в генеральную совокупность не возвращаются; 3) простой отбор

– нумеруются все объекты генеральной совокупности, тщательно перемешиваются и изымаются повторным или бесповторным способом; 4) механический отбор – объекты из генеральной совокупности отбираются через конкретный интервал (через 1, через два и т.п.); 5) типический отбор – в этом случае генеральная совокупность делится на ряд непересекающихся частей, и из каждой такой части делается выборка; 5) серийный отбор – генеральная совокупность, как и в типическом отборе, делится на ряд непересекающихся частей, затем из этих частей отбирается несколько частей, из которых делается выборка. Нужно отметить, что объем выборки целесообразно делать пропорционально величине частей; 6) квотный отбор – выборка берется с учетом конкретных пропорций (квот).

Объем выборки (n) – количество выбираемых единиц (xi) для

допустимая погрешность, которая задается исследователем исходя из требуемой точности результатов, t – табличная величина, соответствующая заданной доверительной вероятности F(t), например, для 95% (0,95) t=1,96; σ2 – генеральная дисперсия. Учитывая, что генеральная дисперсия обычно неизвестна, её приблизительно оценивают различными способами:

∆ - допустимая погрешность. Если отбор бесповторный, то объем выборки следует уменьшить за счет уменьшения допустимой по-

1069

количество необходимых наблюдений за работой станочников в условиях стабильного производства. На основе отчетных данных коэффициент загруженности рабочих (k) составляет 0,8, величина

если на участке имеется 52 рабочих места, то чтобы зафиксировать 312 наблюдений в течение 8-часового рабочего дня, один регистратор должен сделать 312/52=6 обходов. На один обход регистратор будет иметь 480/6=80 минут. Допустим, после наблюдения установлено, что фактическая загруженность рабочих составила 243 из 312. Следовательно, фактическое k=0,78 или 78% (243/312), а не 80%. Тогда потери времени 0,22 или 22% (69/312), что в часах составляет соответственно 6,24 и 1,76»2.

Выборочный метод в аудиторской практике3 применяется при проверке бухгалтерских документов. Здесь решаются 2 задачи: 1) оценка количества документов в данной фирме в оформлении которых не соблюдались принятые правила (данную задачу решают с помощью атрибутивной выборки); 2) оценка правильности в документах сумм денежных средств (решают с помощью монетарной выборки).

При проведении атрибутивной выборки в качестве генеральной совокупности принимают всю совокупность документов за изучаемый период. Предварительно все документы разбиваются на однородные массивы – по характеру документов, по центрам ответственности, по географическому признаку, по временной последовательности, по интенсивности запросов данной информации и т.д. Каждому документу присваивается числовая метка и по таблице

2 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – 5- е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. С. 256.

3 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – 5- е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. С. 257-258.

1071

случайных чисел проводится отбор документов в количестве, соответствующем объему выборки. Можно провести и механический отбор с шагом отбора, равным N/n, где N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки.

Объем атрибутивной выборки вычисляется по формуле:

n = Q , где Q - коэффициент надежности, ∆ - максимально до-

пустимая частота отклонений от стандартов оформления документов. Коэффициент надежности определяется по таблице распределения Пуассона, поскольку появление ошибки в оформлении расчетных документов относится к классу редких событий. При этом предполагаемая средняя частота ошибок закрепляется на определенном уровне, например, 1, 1,5 или 2. Если фактическая частота несоответствий в оформлении документов меньше максимально допустимой, то вычисляют коэффициент надежности как произведение объема выборки на величину фактической частоты несоответствий, после чего по таблице распределения Пуассона определяют вероятность, соответствующую величине коэффициента надежности., чтобы убедиться, что доверительная вероятность результата выборки достаточно высока. Если фактически выявленная частота несоответствия превышает максимально допустимую величину, то обязательно проводят монетарную выборку.

При монетарной выборке генеральной совокупностью является сумма денежных средств, зафиксированных во всех проверяемых документах. В качестве единицы отбора выступает денежная единица (1 рубль), а единицей наблюдения является расчетный документ. Требуемая точность результатов задается как допустимая относительная сумма ошибки. Объем монетарной выборке вычисля-

ют по формуле: n = Q = QN , где в знаменателе стоит максималь-

N

1072

но возможная относительная сумма ошибок в документах. Коэф-

фициент надежности вычисляют по формуле: Q = n .

N

Статистической оценкой неизвестного параметра теорети-

ческого распределения считают его приближенное значение, полученное по выборочным данным, то есть зависящее от данных выборки (xi) и их частотного распределения (fi). Статистическая оценка – случайная величина, которая может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно. Обозначим оцениваемый параметр генеральной совокупности буквой θ, а его оценку, полученную по выборочным, данным как θ*. Тогда точность оценки тем больше, чем меньше разница между реальным значением параметра в генеральной совокупности и его оценкой, полученной по выборочным данным. В идеале разница должна быть нулевой:

θ −θ * = 0 . Оценка считается хорошей, если отвечает критериям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенность оценки определяется по правилу: М (θ * ) = θ .

То есть математическое ожидание оценки равняется оцениваемому параметру. В противном случае оценка считается смещенной.

Оценка считается состоятельной, если при любом числе δ>0

lim P(θ * −θ < δ ) = 1 . То есть разница между оценкой параметра и

x→∞

его реальным значением меньше некоторого числа при стремлении объема выборки к бесконечности с вероятностью равной единице (достоверное событие). В таком случае говорят, что оценка параметра генеральной совокупности сходится по вероятности к реальной оценке.

Оценка считается эффективной, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

1073

Вероятность γ выполнения неравенства θ −θ * < δ называется

надежностью оценки или доверительной вероятностью θ*:

P( θ * −θ < δ ) = γ . По сути, доверительная вероятность γ – это вероятность того, что реальное значение параметра в генеральной совокупности попадет в интервал (θ * −δ ;θ * + δ ) . Сам же этот ин-

тервал, в пределах которого с вероятностью γ находится истинный искомый параметр, называется доверительным интервалом. Если уровень надежности задан, например, на уровне 95% или 0,95, то число α=1-0,95=0,05 или 5% показывает величину вероятной ошибки. Это число называется уровнем значимости.

Проверка статистических гипотез (hypothesis testing) – это набор статистических тестов для проверки статистической надежности полученных по выборочным данным оценок каких-либо параметров генеральной совокупности. То есть проверяется, насколько хорошо согласуются полученные оценки с вероятными реальными показателями в генеральной совокупности. Например, среднее, полученное в выборке, с низкой долей вероятности может совпасть со средним в генеральной совокупности. Между ними обычно есть определенное различие. Тестирование по специальной методике позволит оценить, насколько вероятно близки (согласуются) оценочное среднее в выборке и генеральной совокупности. Тоже самое касается и любых других оцениваемых параметров – стандартного отклонения, параметров распределения, параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и т.д. Скажем, насколько эмпирическое распределение согласуется с нормальным, пуассоновским или иным теоретическим распределением (сравнивается, насколько теоретическая кривая близка к кривой эмпирической – в идеале они должны совпадать). При проверке статистических гипотез основными понятиями являются: нулевая гипотеза,

альтернативная гипотеза, сложная гипотеза, тест на значимость, уровень значимости, мощность критерия, ошибки I и II рода.

1074