Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Тестовая статистика (test statistic) – группа статистических методов, позволяющих принимать нулевую или альтернативную гипотезы в качестве статистического вывода. Важным требованием к таким методам является знание вида распределения в случае, когда нулевая гипотеза верна.

Нулевая гипотеза (null hypothesis) (H0) – предположение об отсутствии различий, то есть сходстве (1) или отсутствии связи (2), тестируемая как правило, с помощью средних тестов на значимость. Противоположной ей является альтернативная гипотеза, которую нужно доказать, чтобы опровергнуть нулевую гипотезу. Например, из двух нормально распределенных генеральных совокупностей извлекаем две выборки. В обеих выборках находим средние (µ) и стандартные отклонения (σ). Нулевая гипотеза утверждает, что средние и стандартные отклонения в выборках равны: µ1-µ2=0; σ1- σ2=0. Этим и вызвано название гипотезы – нулевая. Альтернативная гипотеза утверждает обратное – разность не является нулевой –

Н1: µ1-µ2≠0; σ1-σ2≠0.

Альтернативная гипотеза (alternative hypothesis) (H1) –

предположение о наличии различий (отсутствии сходства) или наличии связи. Если альтернативная гипотеза подтверждается, то нулевая гипотеза считается опровергнутой.

Сложная гипотеза (composite hypothesis) – предположение, в

котором утверждается более чем одно значение оцениваемого параметра. Скажем, гипотеза о том, что среднее больше некоторой конкретной величины.

Ошибка первого рода (type I error) – ошибочное отвержение нулевой гипотезы.

Ошибка второго рода (type II error) – ошибочное принятие нулевой гипотезы.

1075

Ошибка третьего рода (type III error) – принятие наихудшей процедуры за наилучшую.

Уровень значимости (significance level) – при проверке зна-

чимости статистического вывода нужно решить вопрос, где проходит граница между принятием и отвержением нулевой гипотезы? Идеальной точности здесь быть не может, такая граница носит приблизительный характер, и её конструирование основывается на понятии уровня значимости. Уровень значимости – это вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы или, что тоже самое - вероятность ошибки первого рода. В литературе уровень значимости обозначают буквами α или р. Очевидно, если уровень значимости α равен 0,01, то мощность критерия 1-0,01=0,99.

Мощность (power) – вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ошибочна. То есть вероятность принятия верного решения относительно нулевой гипотеза, когда она не верна или принятие альтернативной гипотезы, когда та верна. Мощность критерия показывает его способность выявлять различия.

Алгоритм принятия статистического вывода: 1) на основе эмпирических данных по специальному проверочному методу (критерию), например, критерию кси-квадрат (χ2) или F-критерию Фишера, t-критерию Стьюдента и т.п. рассчитывается эмпирическое значение этого критерия, обычно обозначаемое нижним индексом факт. или эмп., например, χ2эмп или χ2факт; 2) по специально разработанным таблицам находится теоретическое значение соответствующего критерия для выбранного уровня значимости; 3) фактическое и табличное значения сравниваются между собой; 4) если фактическое значение меньше табличного, то принимается нулевая гипотеза. Наоборот, если фактическое значение больше табличного, то принимается альтернативная гипотеза.

Если фактическое значение критерия попадает в зону не значимости (меньше табличного значения на уровне принятой значимости, например, α=0,05), то принимается нулевая гипотеза. Если фактическое значение выше табличного на уровне значимости α=0,05, но ниже чем на уровне значимости α=0,01, то принимается либо нулевая либо альтернативная гипотеза в зависимости от того, риск какой ошибки исследователь готов допустить. Если фактическое значение больше табличного на уровне значимости α=0,01, то принимается альтернативная гипотеза.

1077

не определенности

Табл. Знач. Табл. Знач.

СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ

Число степеней свободы (df – degrees of freedom )4 – это число,

варьирующих свободно, единиц выборки (хi). Скажем, если выбор-

ка состоит из n элементов и характеризуется средней Х , то любой элемент выборки (хi) можно получить, вычитая сумму элементов

N

∑ xi (не включая сюда, естественно, сам искомый элемент), из

i =1

произведения n× X . Рассмотрим пример. Пусть n=7: Х={3; 4; 6; 8;

9; 11; 14}, Х =7,857. Требуется найти пятое по счету число (9). Ре-

N

шение: n× X - ∑ xi =7·7,857-3-4-6-8-11-14=9. Следовательно, только

i =1

один элемент выборки не имеет здесь свободы, выражен через другие элементы и среднее. То есть число степеней свободы для дан-

ной задачи df =n-1=7-1=6.

Когда присутствует несколько ограничений свободы (два и более), число степеней свободы вычисляется по формуле: df=n-k, где k - число ограничений свободы вариации. В общем, для таблицы данных число степеней свободы определяют по формуле: df=(с- 1)·(n-1), где с – число столбцов, а n – число строк, соответствующих, в частности, числу испытуемых.

Шкалы измерительные (шкалирование) (scaling) – « линейки», «системы отсчета», позволяющие проводить измерения с большей

4 Обозначают и другими символами, например: ν.

1078

или меньшей степенью точности. Виды шкал: 1) номинальная (номинативная) шкала; 2) ранговая (порядковая, ординарная) шкала; 3) интервальная шкала (шкала равных интервалов); 4) шкала отношений (шкала равных отношений).

Обеспечение сопоставимости возрастных сеток (таблиц). При исследовании различных юридических процессов иногда возникает потребность соотнести возрастные сетки юридического процесса с возрастными сетками демографического процесса. Например5, приводится таблица распределения численности народонаселения региона по возрастным группам:

Таблица №1.

5 Сборник задач по общей теории статистики. Учебное пособие. Изд. 2-е. / Под ред. к.э.н. Серга Л.К. – М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», Рилант, 2001. С. 2425.

1079

и таблица численности осужденных за тот же период в том же регионе, но по другим возрастным группам:

Таблица №2.

При этом нас интересует ответ на вопрос, как распределялось число осужденных на 100000 народонаселения по соответствующим возрастным группам.

Для ответа на поставленный вопрос нужно провести перегруппировку возрастных групп первой таблицы, чтобы возрастные демографические группы соответствовали возрастным группам осужденных:

Таблица №3.

1080

Что означает 4/10? Дело в том, что величина второго возрастного интервала в первой таблице составляет 10 лет - от 10 до 19 лет включительно. Делая перегруппировку, мы добавляем к первому интервалу таблицы №3 четыре десятых части из второго интервала первой таблицы. Возрастную группу от 14 до 17 лет составляет 4/10 от возрастной группы 10-19 лет, то есть 162,2 тысячи человек. Следующую возрастную группу третьей таблицы составляют оставшиеся 2/10 части от группы 10-19 лет и 5/10 от возрастной группы 20-29 лет и так далее. Группу 50 лет и старше третьей таблицы количественно составляют три последние возрастные группы первой таблицы, которые просто суммируются.

Далее остается рассчитать коэффициенты числа осужденных приведенные на 100 тысяч народонаселения:

1) Для возрастной группы 14-17 лет получим:

((1,959·100000)/162,2)=1207 человек на 100 тыс. народонасе-

ления.

2) Для возрастной группы от 18 до 24 лет включительно:

((2,673·100000)/269,7)= 991 человек на 100 тыс. народонаселе-

ния и так далее.

1081

(weighted average), хi – конкретные значения переменной Х, fi – частоты повторяющихся значений, например, переменная хi встречается n раз.

N

X = ∑ w i x i , где X - средняя взвешенная, wi – доли (веса)

i =1

соответствующих значений переменной Х, сумма долей равна единице. Простое среднее арифметическое также можно рассматривать, как среднее взвешенное с равными весами 1/N.

Пример: имеется набор данных, в которых число 12 встречается 3 раза, число 23 встречается 5 раз, число 17 – два раза, число 29 – четыре раза, что сведено в таблицу.

i =1

При вычислении средней по таблице данных:

элементы таблицы (значения переменной), индекс j меняется от 1 до p, а индекс i – от 1 до n, где p – число столбцов в таблице, а n –

число строк; N=p·n. Символ ∑ ∑ – двойная сумма (все значе-

ния таблицы складываются и делятся на общее число элементов таблицы).

Мода (mode) – число (для количественных данных) или категория (для качественных данных), которые наиболее часто встречается в наборе данных.

Перцентили (persentile) – это ранжированные данные, выраженные в процентах, а не в числах, то есть ранжированные данные, представленные не в абсолютных, а в относительных величинах. Соответственно имеются перцентили от нуля до 100 включительно, и называются - нулевой перцентиль, первый, второй и т.д. Двадцать пятый (25%) и семьдесят пятый (75%) перцентили носят названия квартилей (quartiles), первый называют нижним квартилем, а второй – верхним. Пятидесятый перцентиль (50%) по ранжированному ряду называют медианой (median).

1083