Ольков_С_Г_Аналитическая юриспруденция

Pотк = λ λ+μ - вероятность отказа.

Пусть детективу поступает 30 заявок в год или в среднем 2,5 заявок в месяц (λ=30 заявок/год или 2,5 заявок/месяц); среднее время удовлетворения одной заявки составляет 10 суток или в годах 10/365=0,027 года. Следовательно, полная занятость детектива, если бы он принял все заявки (без отказа) составила 0,81 года (0,027∙30) или 295 рабочих дней. Интенсивность обслуживания μ=1/0,027=37 (1/год).

Тогда:

Занятость детектива составит 16,5∙0,027=0,4455 года или 162,6 трудовых дня.

Задача №2. Многоканальная система массового обслуживания с отказами. Вместо одного частного детектива представим частное детективное агентство или бюро, в котором трудится несколько детективов, которые могут принимать и обслуживать входящий поток заявок. Также предположим, что каждый детектив работает только по одному делу, закончив его, переходит к другому. В этом случае получим:

114

выражениях для предельных вероятностей р1, р2,… рn. Приведенная интенсивность потока заявок (интенсивность

загрузки канала) показывает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки, находится по формуле:

Среднее число занятых каналов можно найти по формуле:

число каналов, n=k1+k2+…+kn. ki = kn .

Пусть для нашего примера с детективным агентством поток заявок (входящий поток) на 3 канала (в агентстве работают 3 детектива) имеет интенсивность λ=190, а исходящий поток обслуживания μ=170. Тогда имеем:

1) Интенсивность загрузки канала (среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки):

115

Одноканальная система с неограниченной очередью. Пусть детектив из нашего примера готов возложить на себя

обязанность работать по неограниченному кругу дел. Если в данный момент он трудится по какому-то делу и поступает новая заявка на обслуживание, детектив ставит её в очередь, где заявка может находится сколь угодно долго до момента её разрешения. То есть не ограничена ни длина очереди, ни время ожидания в ней. Система может находиться в состояниях S0 – детектив свободен

одна заявка, а остальные ожидают своей очереди.

Известно, что при ρ<1 (среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок, то предельные

p0 =1- ρ ; p1 = ρp0 ; p2 = ρ2 p0 … pn = ρn p0 .

Очевидно, если СМО справляется с потоком заявок, то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе вычисляется по формуле:

Среднее число заявок в очереди:

116

Lоч = Lсист −Lоб =1ρ−2ρ .

Среднее число заявок, находящихся на обслуживании:

Lоб = Pзан =1- p0 = ρ .

Среднее время пребывания заявки в системе:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Многоканальная система с неограниченной очередью.

В дежурной части управления внутренних дел имеется несколько дежурных офицеров и ряд следственно-оперативных групп. Очевидно, что все поступающие заявления и сообщения о готовящихся и совершенных преступлениях должны быть зарегистрированы, и по ним будет начата предварительная проверка. Это и есть один из многочисленных примеров многоканальной СМО с неограниченной очередью. Также как и в других случаях входящий поток заявок на обслуживание имеет интенсивность λ, а исходящий поток обслуженных заявок интенсивность μ. СМО может находиться в одном из ряда состояний: S0 – система простаивает, все каналы обслуживания свободны; S1 – занят один канал обслуживания, остальные

117

Вероятность того, что заявка будет находиться в очереди вычисляется по формуле:

ρn+1

Pоч = n!×(n -ρ) × p0 .

Среднее число заявок в очереди находим по формуле:

Среднее число заявок в системе:

Lсист = Lоч +ρ .

Среднее время пребывания заявки в системе:

Tсист = λ1 × Lсист = Lсистλ .

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Tоч = λ1 × Lоч = Lλоч .

Среднее число занятых каналов обслуживания:

k = ρ = λμ .

Учитывая тот факт, что для многоканальной СМО с неограниченной очередью любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена при ρ<1вероятность отказа равна нулю (Ротк=0). Относительная пропускная способность Q=1, а абсолютная пропускная способность А=λ.

Системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

Задачи такого рода, по сути, являются частным случаем задач для одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с неограниченной очередью. Разница заключается лишь в том, что суммировать нужно не бесконечную прогрессию, а конечную.

118

Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания или «нетерпеливыми» заявками. В данном случае заявка «уходит» из очереди, если время ожидания превышает некоторую критическую величину. Заявка находится в очереди случайное время, распределенное по закону Пуассона с параметром ν, отражающим интенсивность движения «нетерпеливых» заявок.

В настоящее время задачи теории массового обслуживания любой сложности с легкостью решаются специальными компьютерными программами, например, программой «Тора». Достаточно правильно сформулировать задачу и ввести исходные данные.

Дополнительные сведения о теории массового обслуживания.

Успехи в развитии теории массового обслуживания во многом связаны с системой дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающих предельные вероятности соответствующих состояний СМО. В левой части каждого из таких уравнений стоит производная вероятности i-го состояния системы. В правой части – сумма произведений вероятности всех состояний (из которых на графе состояний идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного i-го состояния18.

§2. Выработка управленческого решения в условиях частичной определенности.

«Риск существует тогда, когда лицо, принимающее решение, не знает заранее его результатов, но способно установить объективное распределение вероятности возможных состояний внешней среды и связанных с ними отдач или результатов»19.

18Исследование операций в экономике: Учебн. Пособие для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1999. С. 342.

19Сио К.К. Управленческая экономика: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2000. С. 88.

119

Например, вполне очевидно, что гражданско-правовой договор, скажем, купля-продажа, может принести продавцу прибыль, а может и убытки в зависимости от того с каким покупателем он будет иметь дело, в зависимости от того, каково будет состояние конкурентной среды, состояние дел в экономике страны и т.п. Ущерб от преступности в следующем году зависит от достаточно большого числа факторов и т.д. Но в подобных случаях, как правило, ЛПР имеет возможность вычислить вероятности соответствующих исходов, пользуясь методами априори или апостериори.

Суть метода априори заключается в том, что ЛПР без проведения экспериментов и изучения прошлого опыта, статистических данных или данных выборочных исследований, а лишь на основе каких-либо общетеоретических положений и интуиции способно оценить вероятность соответствующих исходов. Метод апостериори, напротив, основывается на прошлом опыте, результатах экспериментирования, статистических данных, данных выборочных исследований.

В условиях частичной определенности важным критерием решения выступает «предполагаемая стоимость» или «стоимость, взвешенная по вероятности», которую вычисляем по формуле:

N

Е(Х ) = åpi xi , где хi – стоимость i-ой отдачи; pi – вероятность

i=1

этой отдачи.

Рассмотрим учебный пример. Пусть нас интересует ущерб от преступной деятельности в энском регионе в будущем году. Мы предполагаем три возможных состояния преступности по итогам будущего года: низкий (Н), средний (С) и высокий (В), а также различные стратегии по борьбе с преступностью (S1, S2, S3, S4),что выражается в финансовых затратах (содержание сил и средств, ведущих борьбу с преступностью). Используя методы априори и апостериори, оцениваем вероятности: PН=0,3; PС=0,5; PВ=0,2.

Для решения задачи строится матрица (таблица) решения:

120

Очевидно, что оптимальной будет стратегия №2 (S2=-29,5), поскольку именно она обеспечивает наименьший предполагаемый ущерб от преступности в регионе. Данной стратегии и следует придерживаться законодательным, исполнительным и правоохранительным органам энского региона.

§3. Измерение риска (изменчивости) с помощью среднего квадратического отклонения (СКО) и выбор оптимальной стратегии

Существует простое правило – чем больше среднее квадратическое отклонение, тем больше риск. Например, если некто собирается заключить договор, и инвестировать свои средства в какую-то сферу деятельности, то следует изучить стандартное отклонение доходности разных фирм. Далее следует выбрать ту из них, доходность которой имеет наименьшее СКО. Когда мы изучали изменчивость юридических процессов, то вели речь о размахе, СКО, бета коэффициентах изменчивости, коэффициенте вариации, коэффициенте осцилляции и т.д. Все эти меры как раз и характеризуют риск (изменчивость). Так, высокое СКО преступности в каком то регионе свидетельствует о том, что прогноз преступности здесь будет менее надежен, чем в регионе с более низким СКО. Используя модель нормального распределения, легко показать суть этого правила графически. Пусть СКО в регионе А составляет 100 преступлений, а в регионе Б равняется

121

400. При равных средних значениях20, например, 1500 имеем следующую картину:

Рис. №. 1. Кривые норамального распределения преступности для регионов А и Б при равных средних и разных СКО.

При разных математических ожиданиях, например, в регионе А равном 800, а в регионе Б 1600 имеем:

Рис. №. 1. Кривые норамального распределения преступности для регионов А и Б при разных средних и разных СКО.

Построить вышеприведенные графики довольно просто. В программе Excel задаем значение переменной X, а в соседних

20 Это условие не обязательно. Средние могут быть разными.

122

справа столбцах параметры нормального распределения для функции НОРМРАСП, получая нижеследующие данные (в командной строке выбираем «Формулы», а в формулах команду «Показать формулы». Если этого не сделать, то в таблице будут представлены только цифровые значения, по которым и построены соответствующие графики).

123